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Cádlag

En matemáticas , una función càdlàg ( en francés : continue à droite, limite à gauche ), RCLL ("continua a la derecha con límites a la izquierda") o corlol ("continua a (la) derecha, límite a (la) izquierda") es una función definida sobre los números reales (o un subconjunto de ellos) que es continua a la derecha en todas partes y tiene límites a la izquierda en todas partes. Las funciones càdlàg son importantes en el estudio de procesos estocásticos que admiten (o incluso requieren) saltos, a diferencia del movimiento browniano , que tiene trayectorias muestrales continuas. La colección de funciones càdlàg en un dominio dado se conoce como espacio de Skorokhod .

Dos términos relacionados son càglàd , que significa " continúa a la izquierda, límite a la derecha ", la inversión de izquierda a derecha de càdlàg, y càllàl, que significa " continúa a la una, límite a la otra " (continua en un lado, límite en el otro lado), para una función que en cada punto del dominio es càdlàg o càglàd.

Definición

Las funciones de distribución acumulativa son ejemplos de funciones càdlàg.
Ejemplo de una función de distribución acumulativa con un conjunto infinito numerable de discontinuidades

Sea un espacio métrico y sea . Una función se denomina función càdlàg si, para cada ,

Es decir, es continua hacia la derecha con límites hacia la izquierda.

Ejemplos

Espacio Skorokhod

El conjunto de todas las funciones càdlàg desde hasta se denota a menudo por (o simplemente ) y se llama espacio de Skorokhod en honor al matemático ucraniano Anatoliy Skorokhod . Al espacio de Skorokhod se le puede asignar una topología que, intuitivamente, nos permite "mover un poco el espacio y el tiempo" (mientras que la topología tradicional de convergencia uniforme solo nos permite "mover un poco el espacio"). [1] Para simplificar, tome y — vea Billingsley [2] para una construcción más general.

Primero debemos definir un análogo del módulo de continuidad , . Para cualquier , establezca

y, para , defina el módulo càdlàg como

donde el ínfimo recorre todas las particiones , con . Esta definición tiene sentido para funciones no càdlàg (así como el módulo de continuidad habitual tiene sentido para funciones discontinuas). es càdlàg si y solo si .

Ahora denotemos el conjunto de todas las biyecciones continuas estrictamente crecientes desde a sí mismo (estas son "ondulaciones en el tiempo"). Sea

denota la norma uniforme sobre funciones en . Defina la métrica de Skorokhod sobre por

donde es la función identidad. En términos de la intuición del "bamboleo", mide el tamaño del "bamboleo en el tiempo" y mide el tamaño del "bamboleo en el espacio".

La métrica de Skorokhod es, en efecto, una métrica. La topología generada por se denomina topología de Skorokhod en .

Una métrica equivalente,

Se introdujo de forma independiente y se utilizó en la teoría de control para el análisis de sistemas de conmutación. [3]

Propiedades del espacio de Skorokhod

Generalización de la topología uniforme

El espacio de funciones continuas en es un subespacio de . La topología de Skorokhod relativizada coincide con la topología uniforme allí.

Lo completo

Aunque no es un espacio completo con respecto a la métrica de Skorokhod , existe una métrica topológicamente equivalente con respecto a la cual es completa. [4]

Posibilidad de separación

Con respecto a o , es un espacio separable . Por lo tanto, el espacio de Skorokhod es un espacio polaco .

Estrechez en el espacio de Skorokhod

Mediante una aplicación del teorema de Arzelà-Ascoli , se puede demostrar que una secuencia de medidas de probabilidad en el espacio de Skorokhod es ajustada si y solo si se cumplen las dos condiciones siguientes:

y

Estructura algebraica y topológica

Según la topología de Skorokhod y la adición puntual de funciones, no existe un grupo topológico, como se puede observar en el siguiente ejemplo:

Sea un intervalo semiabierto y tomemos como una sucesión de funciones características. A pesar de que en la topología de Skorokhod la sucesión no converge a 0.

Véase también

Referencias

  1. ^ "Espacio de Skorokhod - Enciclopedia de Matemáticas".
  2. ^ Billingsley, P. Convergencia de medidas de probabilidad . Nueva York: Wiley.
  3. ^ Georgiou, TT y Smith, MC (2000). "Robustez de un oscilador de relajación". Revista internacional de control robusto y no lineal . 10 (11–12): 1005–1024. doi :10.1002/1099-1239(200009/10)10:11/12<1005::AID-RNC536>3.0.CO;2-Q.{{cite journal}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
  4. ^ Billingsley, P. Convergencia de medidas de probabilidad . Nueva York: Wiley.

Lectura adicional