Conjetura de Bunyakovsky

La conjetura de Bunyakovsky (o conjetura de Bouniakowsky ) proporciona un criterio para que un polinomio de una variable con coeficientes enteros dé un número infinito de valores primos en la secuencia. Fue formulada en 1857 por el matemático ruso Viktor Bunyakovsky . Las tres condiciones siguientes son necesarias para tener la propiedad de producción de primos deseada: ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(1),f(2),f(3),\ldots .}$ ${\displaystyle f(x)}$

1. El coeficiente principal es positivo ,
2. El polinomio es irreducible sobre los racionales (y enteros), y
3. No existe un factor común para todos los infinitos valores . (En particular, los coeficientes de deben ser primos entre sí. No es necesario que los valores f(n) sean primos entre sí por pares). ${\displaystyle f(1),f(2),f(3),\ldots }$ ${\displaystyle f(x)}$

La conjetura de Bunyakovsky es que estas condiciones son suficientes: si satisface (1)–(3), entonces es primo para infinitos números enteros positivos . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(n)}$ ${\displaystyle n}$

Una afirmación aparentemente más débil pero equivalente a la conjetura de Bunyakovsky es que para cada polinomio entero que satisface (1)–(3), es primo para al menos un entero positivo : pero entonces, dado que el polinomio traducido todavía satisface (1)–(3), en vista de la afirmación más débil es primo para al menos un entero positivo , por lo que es de hecho primo para infinitos enteros positivos . La conjetura de Bunyakovsky es un caso especial de la hipótesis H de Schinzel , uno de los problemas abiertos más famosos en la teoría de números. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f(x+n)}$ ${\displaystyle f(m)}$ ${\displaystyle m>n}$ ${\displaystyle f(n)}$ ${\displaystyle n}$

Discusión de tres condiciones

La primera condición es necesaria porque si el coeficiente principal es negativo, entonces para todos los números enteros positivos grandes , y por lo tanto no es un número primo (positivo) para números enteros positivos grandes . (Esto simplemente satisface la convención de signos de que los primos son positivos). ${\displaystyle f(x)<0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(n)}$ ${\displaystyle n}$

La segunda condición es necesaria porque si los polinomios y tienen coeficientes enteros, entonces tenemos para todos los números enteros ; pero y toman los valores 0 y sólo un número finito de veces, por lo que es compuesto para todos los grandes . ${\displaystyle f(x)=g(x)h(x)}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle h(x)}$ ${\displaystyle f(n)=g(n)h(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle h(x)}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle f(n)}$ ${\displaystyle n}$

La segunda condición también falla para los polinomios reducibles sobre los racionales.

Por ejemplo, el polinomio de valor entero no satisface la condición (2) ya que , por lo que al menos uno de los dos últimos factores debe ser divisor de para tener primo, lo que se cumple solo si . Los valores correspondientes son , por lo que estos son los únicos primos de este tipo para integral ya que todos estos números son primos. Esto no es un contraejemplo de la conjetura de Bunyakovsky ya que la condición (2) falla. ${\displaystyle P(x)=(1/12)\cdot x^{4}+(11/12)\cdot x^{2}+2}$ ${\displaystyle P(x)=(1/12)\cdot (x^{4}+11x^{2}+24)=(1/12)\cdot (x^{2}+3)\cdot (x^{2}+8)}$ ${\displaystyle 12}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle |x|\leq 3}$ ${\displaystyle 2,3,7,17}$ ${\displaystyle x}$

La tercera condición, que los números tengan mcd 1, es obviamente necesaria, pero es algo sutil y se entiende mejor con un contraejemplo. Consideremos , que tiene coeficiente principal positivo y es irreducible, y los coeficientes son primos entre sí; sin embargo es par para todos los números enteros , y por lo tanto es primo solo un número finito de veces (es decir, en , cuando ). ${\displaystyle f(n)}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}+x+2}$ ${\displaystyle f(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=0,-1}$ ${\displaystyle f(n)=2}$

En la práctica, la forma más fácil de verificar la tercera condición es encontrar un par de números enteros positivos y tales que y sean primos entre sí . En general, para cualquier polinomio de valor entero podemos usar para cualquier número entero , por lo que el mcd está dado por los valores de en cualquier número entero consecutivo . ^[1] En el ejemplo anterior, tenemos y por lo tanto el mcd es , lo que implica que tiene valores pares en los números enteros. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f(m)}$ ${\displaystyle f(n)}$ ${\displaystyle f(x)=c_{0}+c_{1}x+\cdots +c_{d}x^{d}}$ ${\displaystyle \gcd\{f(n)\}_{n\geq 1}=\gcd(f(m),f(m+1),\dots ,f(m+d))}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle d+1}$ ${\displaystyle f(-1)=2,f(0)=2,f(1)=4}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle x^{2}+x+2}$

Alternativamente, cuando un polinomio entero se escribe en base a polinomios de coeficientes binomiales : cada coeficiente es un entero y En el ejemplo anterior, esto es: y los coeficientes en el lado derecho de la ecuación tienen mcd 2. ${\displaystyle f(x)}$ $${\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}{\binom {x}{1}}+\cdots +a_{d}{\binom {x}{d}},}$$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle \gcd\{f(n)\}_{n\geq 1}=\gcd(a_{0},a_{1},\dots ,a_{d}).}$ $${\displaystyle x^{2}+x+2=2{\binom {x}{2}}+2{\binom {x}{1}}+2,}$$

Utilizando esta fórmula de mcd, se puede demostrar si y sólo si hay números enteros positivos y tales que y son primos entre sí. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle \gcd\{f(n)\}_{n\geq 1}=1}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f(m)}$ ${\displaystyle f(n)}$

Ejemplos

Un polinomio cuadrático simple

En la siguiente tabla se enumeran algunos valores primos del polinomio (valores de la forma OEIS secuencia A005574; los de la forma A002496). ${\displaystyle f(x)=x^{2}+1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{2}+1}$

Que sea primo infinitamente a menudo es un problema que Euler planteó por primera vez, y es también la quinta conjetura de Hardy-Littlewood y el cuarto de los problemas de Landau . A pesar de la amplia evidencia numérica ^[2] no se sabe que esta secuencia se extienda indefinidamente. ${\displaystyle n^{2}+1}$

Polinomios ciclotómicos

Los polinomios ciclotómicos para satisfacen las tres condiciones de la conjetura de Bunyakovsky, por lo que para todo k , debería haber infinitos números naturales n tales que sean primos. Se puede demostrar ^{[ cita requerida ]} que si para todo k , existe un entero n > 1 con primo, entonces para todo k , hay infinitos números naturales n con primo. ${\displaystyle \Phi _{k}(x)}$ ${\displaystyle k=1,2,3,\ldots }$ ${\displaystyle \Phi _{k}(n)}$ ${\displaystyle \Phi _{k}(n)}$ ${\displaystyle \Phi _{k}(n)}$

La siguiente secuencia da el número natural más pequeño n > 1 tal que es primo, para : ${\displaystyle \Phi _{k}(n)}$ ${\displaystyle k=1,2,3,\ldots }$

3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 5, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 6, 2, 4, 3, 2, 10, 2, 22, 2, 2, 4, 6, 2, 2, 2, 2, 2, 14, 3, 61, 2, 10, 2, 14, 2, 15, 25, 11, 2, 5, 5, 2, 6, 30, 11, 24, 7, 7, 2, 5, 7, 19, 3, 2, 2, 3, 30, 2, 9, 46, 85, 2, 3, 3, 3, 11, 16, 59, 7, 2, 2, 22, 2, 21, 61, 41, 7, 2, 2, 8, 5, 2, 2, ... (secuencia A085398 en la OEIS ).

Se sabe que esta secuencia contiene algunos términos grandes: el término 545 es 2706, el 601 es 2061 y el 943 es 2042. Este caso de la conjetura de Bunyakovsky es ampliamente aceptado, pero nuevamente no se sabe que la secuencia se extienda indefinidamente.

Generalmente, hay un entero entre 2 y (donde es la función totiente de Euler , por lo que es el grado de ) tal que es primo, ^{[ cita requerida ]} pero hay excepciones; las primeras son: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \phi (k)}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi (k)}$ ${\displaystyle \Phi _{k}(n)}$ ${\displaystyle \Phi _{k}(n)}$

1, 2, 25, 37, 44, 68, 75, 82, 99, 115, 119, 125, 128, 159, 162, 179, 183, 188, 203, 213, 216, 229, 233, 243, 277, 289, 292, ....

Resultados parciales: sólo el teorema de Dirichlet

Hasta la fecha, el único caso de la conjetura de Bunyakovsky que se ha demostrado es el de los polinomios de grado 1. Se trata del teorema de Dirichlet , que establece que cuando y son números enteros primos entre sí, hay infinitos números primos . Esta es la conjetura de Bunyakovsky para (o si ). La tercera condición de la conjetura de Bunyakovsky para un polinomio lineal es equivalente a que y sean primos entre sí. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle p\equiv a{\pmod {m}}}$ ${\displaystyle f(x)=a+mx}$ ${\displaystyle a-mx}$ ${\displaystyle m<0}$ ${\displaystyle mx+a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle m}$

No se ha probado ningún caso único de la conjetura de Bunyakovsky para un grado mayor que 1, aunque la evidencia numérica en un grado superior es consistente con la conjetura.

Conjetura generalizada de Bunyakovsky

Dados polinomios con grados positivos y coeficientes enteros, cada uno de los cuales satisface las tres condiciones, supóngase que para cualquier primo existe un tal que ninguno de los valores de los polinomios en son divisibles por . Dados estos supuestos, se conjetura que hay infinitos enteros positivos tales que todos los valores de estos polinomios en son primos. Esta conjetura es equivalente a la conjetura generalizada de Dickson y a la hipótesis de Schinzel H . ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x=n}$

Véase también

• Polinomio de valor entero
• Criterio de irreducibilidad de Cohn
• Hipótesis de Schinzel H
• Conjetura de Bateman-Horn
• Conjetura de Hardy y Littlewood F

Referencias

1. Hensel, Kurt (1896). "Ueber den grössten gemeinsamen Theiler aller Zahlen, welche durch eine ganze Function von n Veränderlichen darstellbar sind". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 1896 (116): 350–356. doi :10.1515/crll.1896.116.350. S2CID  118266353.
2. Wolf, Marek (2013), "Algunas conjeturas sobre números primos de la forma m2 + 1" (PDF) , Journal of Combinatorics and Number Theory , 5 : 103–132

Bibliografía

• Ed Pegg, Jr. "Conjetura de Bouniakowsky". MathWorld .
• Rupert, Wolfgang M. (5 de agosto de 1998). "Reducibilidad de polinomios f ( x , y ) módulo p ". arXiv : math/9808021 .
• Bouniakowsky, V. (1857). "Sur les diviseurs numériques invariables des fonctions rationnelles entières". Mém. Acad. Carolina del Sur. San Petersburgo . 6 : 305–329.