Bucle de Costas

Circuito demodulador basado en bucle de enganche de fase

Un bucle Costas es un circuito basado en bucle de enganche de fase (PLL) que se utiliza para la recuperación de frecuencia portadora de señales de modulación de portadora suprimida (por ejemplo, señales de portadora suprimida de banda lateral doble ) y señales de modulación de fase (por ejemplo, BPSK , QPSK ). Fue inventado por John P. Costas en General Electric en la década de 1950. ^{[1] [2]} Su invención fue descrita ^[3] como habiendo tenido "un profundo efecto en las comunicaciones digitales modernas". La aplicación principal de los bucles Costas es en receptores inalámbricos. Su ventaja sobre otros detectores basados ​​en PLL es que en pequeñas desviaciones el voltaje de error del bucle Costas es en comparación con . Esto se traduce en el doble de sensibilidad y también hace que el bucle Costas sea especialmente adecuado para rastrear portadoras desplazadas por Doppler , especialmente en receptores OFDM y GPS . ^[3] ${\displaystyle \sin(2(\theta _{i}-\theta _{f}))}$ ${\displaystyle \sin(\theta _{i}-\theta _{f})}$

Implementación clásica

Bucle de Costas funcionando en estado bloqueado.

En la implementación clásica de un bucle Costas, ^[4] un oscilador controlado por voltaje (VCO) local proporciona salidas en cuadratura , una a cada uno de los dos detectores de fase , por ejemplo , detectores de producto . La misma fase de la señal de entrada también se aplica a ambos detectores de fase, y la salida de cada detector de fase pasa a través de un filtro de paso bajo . Las salidas de estos filtros de paso bajo son entradas a otro detector de fase, cuya salida pasa a través de un filtro de reducción de ruido antes de usarse para controlar el oscilador controlado por voltaje. La respuesta general del bucle está controlada por los dos filtros de paso bajo individuales que preceden al tercer detector de fase, mientras que el tercer filtro de paso bajo cumple un papel trivial en términos de ganancia y margen de fase.

La figura anterior de un bucle Costas se ha dibujado en el estado "bloqueado", donde la frecuencia del VCO y la frecuencia de la portadora entrante se han vuelto iguales debido al proceso del bucle Costas. La figura no representa el estado "desbloqueado".

Modelos matemáticos

En el dominio del tiempo

Modelo de dominio temporal del bucle Costas de BPSK

En el caso más simple , no afecta la entrada del filtro de reducción de ruido. Las señales de la portadora y del oscilador controlado por voltaje (VCO) son oscilaciones periódicas con altas frecuencias . El bloque es un multiplicador analógico . ${\displaystyle m^{2}(t)=1}$ ${\displaystyle m^{2}(t)=1}$ ${\displaystyle f_{ref,vco}(\theta _{ref,vco}(t))}$ ${\displaystyle {\dot {\theta }}_{ref,vco}(t)}$ ${\displaystyle \bigotimes }$

Un filtro lineal se puede describir matemáticamente mediante un sistema de ecuaciones diferenciales lineales:

${\displaystyle {\begin{array}{ll}{\dot {x}}=Ax+bu_{d}(t),&u_{LF}=c^{*}x.\end{array}}}$

donde es una matriz constante, es un vector de estado del filtro y son vectores constantes. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

Generalmente se supone que el modelo de un VCO es lineal:

${\displaystyle {\begin{array}{ll}{\dot {\theta }}_{vco}(t)=\omega _{vco}^{free}+K_{vco}u_{LF}(t),&t\in [0,T],\end{array}}}$

donde es la frecuencia de funcionamiento libre del VCO y es el factor de ganancia del VCO. De manera similar, es posible considerar varios modelos no lineales de VCO. ${\displaystyle \omega _{vco}^{free}}$ ${\displaystyle K_{vco}}$

Supongamos que la frecuencia del generador maestro es constante Ecuación del VCO y ecuación del rendimiento del filtro ${\displaystyle {\dot {\theta }}_{ref}(t)\equiv \omega _{ref}.}$

${\displaystyle {\begin{array}{ll}{\dot {x}}=Ax+bf_{ref}(\theta _{ref}(t))f_{vco}(\theta _{vco}(t)),&{\dot {\theta }}_{vco}=\omega _{vco}^{free}+K_{vco}c^{*}x.\end{array}}}$

El sistema no es autónomo y es bastante complicado de investigar.

En el dominio de fase-frecuencia

Modelo equivalente de dominio de fase-frecuencia del bucle de Costas

Entrada VCO para el modelo de dominio de frecuencia de fase del bucle de Costas

En el caso más simple, cuando

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{ref}{\big (}\theta _{ref}(t){\big )}=\cos {\big (}\omega _{ref}t{\big )},\ f_{vco}{\big (}\theta _{vco}(t){\big )}&=\sin {\big (}\theta _{vco}(t){\big )}\\f_{ref}{\big (}\theta _{ref}(t){\big )}^{2}f_{vco}\left(\theta _{vco}(t)\right)f_{vco}\left(\theta _{vco}(t)-{\frac {\pi }{2}}\right)&=-{\frac {1}{8}}{\Big (}2\sin(2\theta _{vco}(t))+\sin(2\theta _{vco}(t)-2\omega _{ref}t)+\sin(2\theta _{vco}(t)+2\omega _{ref}t){\Big )}\end{aligned}}}$

La suposición estándar de ingeniería es que el filtro elimina la frecuencia de banda lateral superior de la entrada pero deja la banda lateral inferior sin cambios. Por lo tanto, se supone que la entrada del VCO es Esto hace que un bucle de Costas sea equivalente a un bucle de enganche de fase con una característica de detector de fase correspondiente a las formas de onda particulares y de las señales de entrada y del VCO. Se puede demostrar que las salidas del filtro en los dominios de tiempo y de frecuencia de fase son casi iguales. ^{[5] [6] [7]} ${\displaystyle \varphi (\theta _{ref}(t)-\theta _{vco}(t))={\frac {1}{8}}\sin(2\omega _{ref}t-2\theta _{vco}(t)).}$ ${\displaystyle \varphi (\theta )}$ ${\displaystyle f_{ref}(\theta )}$ ${\displaystyle f_{vco}(\theta )}$

De esta manera es posible ^[8] estudiar el sistema autónomo más simple de ecuaciones diferenciales

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=Ax+b\varphi (\Delta \theta ),\\\Delta {\dot {\theta }}&=\omega _{vco}^{free}-\omega _{ref}+K_{vco}c^{*}x,\\\Delta \theta &=\theta _{vco}-\theta _{ref}.\end{aligned}}}$.

El método de promediado de Krylov-Bogoliubov permite demostrar que las soluciones de ecuaciones autónomas y no autónomas son cercanas bajo ciertas suposiciones. Por lo tanto, el diagrama de bloques del bucle de Costas en el dominio del tiempo se puede cambiar asintóticamente al diagrama de bloques en el nivel de relaciones fase-frecuencia.

La transición al análisis de un modelo dinámico autónomo del bucle Costas (en lugar del no autónomo) permite superar las dificultades relacionadas con el modelado del bucle Costas en el dominio del tiempo, donde se debe observar simultáneamente una escala de tiempo muy rápida de las señales de entrada y una escala de tiempo lenta de la fase de la señal. Esta idea permite ^[9] calcular las características de rendimiento básicas: rangos de retención, atracción y bloqueo .

Adquisición de frecuencia

El bucle Costas clásico trabajará para hacer que la diferencia de fase entre la portadora y el VCO se convierta en un valor pequeño, idealmente cero. ^{[10] [11] [12]} La pequeña diferencia de fase implica que se ha logrado el bloqueo de frecuencia.

Bucle Costas QPSK

El bucle Costas clásico se puede adaptar a la modulación QPSK para obtener velocidades de datos más altas. ^[13]

Bucle de Costas QPSK clásico

La señal de entrada QPSK es la siguiente

${\displaystyle m_{1}(t)\cos \left(\omega _{\text{ref}}t\right)+m_{2}(t)\sin \left(\omega _{\text{ref}}t\right),m_{1}(t)=\pm 1,m_{2}(t)=\pm 1.}$

Las entradas de los filtros de paso bajo LPF1 y LPF2 son

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{1}(t)&=\cos \left(\theta _{\text{vco}}\right)\left(m_{1}(t)\cos \left(\omega _{\text{ref}}t\right)+m_{2}(t)\sin \left(\omega _{\text{ref}}t\right)\right),\\\varphi _{2}(t)&=\sin \left(\theta _{\text{vco}}\right)\left(m_{1}(t)\cos \left(\omega _{\text{ref}}t\right)+m_{2}(t)\sin \left(\omega _{\text{ref}}t\right)\right).\end{aligned}}}$

Después de la sincronización, las salidas de LPF1 y LPF2 se utilizan para obtener datos demodulados ( y ). Para ajustar la frecuencia del VCO a la frecuencia de referencia, las señales y se limitan y se multiplican de forma cruzada: ${\displaystyle Q(t)}$ ${\displaystyle I(t)}$ ${\displaystyle m_{1}(t)}$ ${\displaystyle m_{2}(t)}$ ${\displaystyle Q(t)}$ ${\displaystyle I(t)}$

${\displaystyle u_{d}(t)=I(t)\operatorname {sgn}(Q(t))-Q(t)\operatorname {sgn}(I(t)).}$

Luego, la señal se filtra mediante el filtro de bucle y forma la señal de sintonización para el VCO , similar al bucle Costas de BPSK. Por lo tanto, Costas QPSK se puede describir ^[14] mediante un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias : ${\displaystyle u_{d}(t)}$ ${\displaystyle u_{\text{LF}}(t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}_{1}&=A_{\text{LPF}}x_{1}+b_{\text{LPF}}\varphi _{1}(t),\\{\dot {x}}_{2}&=A_{\text{LPF}}x_{2}+b_{\text{LPF}}\varphi _{2}(t),\\{\dot {x}}&=A_{\text{LF}}x+b_{\text{LF}}{\big (}c_{\text{LPF}}^{*}x_{1}\operatorname {sgn}(c_{\text{LPF}}^{*}x_{2})-c_{\text{LPF}}^{*}x_{2}\operatorname {sgn}(c_{\text{LPF}}^{*}x_{1}){\big )},\\{\dot {\theta }}_{\text{vco}}&=\omega _{\text{vco}}^{\text{free}}+K_{\text{VCO}}{\Big (}c_{\text{LF}}^{*}x+h_{\text{LF}}{\big (}c_{\text{LPF}}^{*}x_{1}\operatorname {sgn}(c_{\text{LPF}}^{*}x_{2})-c_{\text{LPF}}^{*}x_{2}\operatorname {sgn}(c_{\text{LPF}}^{*}x_{1}){\big )}{\Big )}.\\\end{aligned}}}$

Aquí están los parámetros de LPF1 y LPF2 y son parámetros del filtro de bucle. ${\displaystyle A_{\text{LPF}},b_{\text{LPF}},c_{\text{LPF}}}$ ${\displaystyle A_{\text{LF}},b_{\text{LF}},c_{\text{LF}},h_{\text{LF}}}$

Referencias

1. Costas, John P. (1956). "Comunicaciones sincrónicas". Actas del IRE . 44 (12): 1713–1718. doi :10.1109/jrproc.1956.275063.
2. Costas, John P. (agosto de 2002) [1956]. "Comunicaciones sincrónicas". Actas del IEEE . 90 (8): 1461–1466. doi :10.1109/JPROC.2002.800876.
3. Taylor, D. (agosto de 2002). "Introducción a las 'comunicaciones sincrónicas', un artículo clásico de John P. Costas". Actas del IEEE . 90 (8): 1459–1460. doi :10.1109/jproc.2002.800719.
4. Feigin, Jeff (1 de enero de 2002). «Diseño práctico de bucles Costas» (PDF) . RF Design : 20–36. Archivado desde el original (PDF) el 11 de febrero de 2012. Consultado el 17 de febrero de 2010 .
5. Leonov, GA; Kuznetsov, NV; Yuldashev, MV; Yuldashev, RV (agosto de 2012). «Ecuaciones diferenciales del bucle de Costas» (PDF) . Doklady Matemáticas . 86 (2): 723–728. doi :10.1134/s1064562412050080. S2CID  255276607.
6. Leonov, GA; Kuznetsov, NV; Yuldashev, MV; Yuldashev, RV (2012). "Método analítico para el cálculo de la característica del detector de fase" (PDF) . IEEE Transactions on Circuits and Systems Part II . 59 (10): 633–637. doi :10.1109/tcsii.2012.2213362. S2CID  2405056.^{[ enlace muerto permanente ]}
7. Leonov, GA; Kuznetsov, NV; Yuldashev, MV; Yuldashev, RV (2015). "Modelo dinámico no lineal del bucle de Costas y un enfoque para el análisis de su estabilidad en el gran" (PDF) . Procesamiento de señales . 108 . Elsevier: 124–135. Código Bibliográfico :2015SigPr.108..124L. doi : 10.1016/j.sigpro.2014.08.033 . Archivado (PDF) desde el original el 2022-10-09.
8. Kuznetsov, NV; Leonov, GA; Neittaanmaki, P.; Seledzhi, SM; Yuldashev, MV; Yuldashev, RV (2012). "Modelos matemáticos no lineales de Costas Loop para la forma de onda general de la señal de entrada". 2012 IEEE 4th International Conference on Nonlinear Science and Complexity (NSC) . IEEE Press. págs. 75–80. doi :10.1109/NSC.2012.6304729. ISBN 978-1-4673-2703-9. Número de identificación del sujeto  5812970.
9. Kuznetsov, NV; Leonov, GA; Seledzhi, SM; Yuldashev, MV; Yuldashev, RV (2017). "Modelo no lineal del bucle óptico de Costas: estimación del rango de pull-in y oscilaciones ocultas". IFAC-PapersOnLine . 50 . ELSEVIER: 3325–3330. doi : 10.1016/j.ifacol.2017.08.514 . ISSN  2405-8963.
10. Costas 1956 afirma: "El oscilador local debe mantenerse en la fase adecuada para que las contribuciones de salida de audio de las bandas laterales superior e inferior se refuercen entre sí. Si la fase del oscilador está a 90° del valor óptimo, se producirá un nulo en la salida de audio, lo que es típico de los detectores de este tipo. El método real de control de fase se explicará en breve, pero para el propósito de esta discusión, se asumirá el mantenimiento de la fase correcta del oscilador".
11. El uso de un filtro de bucle con un integrador permite un error de fase de estado estable de cero. Consulte Controlador PID § Término integral .
12. Best, Roland E. (1997). Phase-Locked Loops (tercera edición). Nueva York: McGraw-Hill. págs. 44-45. ISBN 0-07-006051-7.
13. Patente estadounidense 4.085.378, Carl R. Ryan y James H. Stilwell, "Desmodulador QPSK", publicada el 26 de noviembre de 1976, asignada a Motorola Solutions Inc. 
14. Best, RE; Kuznetsov, NV; Leonov, GA; Yuldashev, MV; Yuldashev, RV (2016). "Tutorial sobre análisis dinámico del bucle Costas". Revisiones anuales en control . 42 . ELSEVIER: 27–49. arXiv : 1511.04435 . doi :10.1016/j.arcontrol.2016.08.003. S2CID  10703739.

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