Orden parcial en un grupo de Coxeter
En matemáticas, el orden Bruhat (también llamado orden fuerte , orden Bruhat fuerte , orden Chevalley , orden Bruhat-Chevalley u orden Chevalley-Bruhat ) es un orden parcial de los elementos de un grupo de Coxeter , que corresponde al orden de inclusión en Variedades Schubert .
Historia
El orden de Bruhat en las variedades de Schubert de una variedad bandera o de un Grassmanniano fue estudiado por primera vez por Ehresmann (1934), y Chevalley (1958) estudió el análogo para grupos algebraicos semisimples más generales. Verma (1968) inició el estudio combinatorio del orden de Bruhat en el grupo Weyl , e introdujo el nombre "orden de Bruhat" debido a la relación con la descomposición de Bruhat introducida por François Bruhat .
Björner (1984) estudió los ordenamientos débiles de Bruhat izquierdo y derecho.
Definición
Si ( W , S ) es un sistema Coxeter con generadores S , entonces el orden de Bruhat es un orden parcial en el grupo W. Recuerde que una palabra reducida para un elemento w de W es una expresión de longitud mínima de w como producto de elementos de S , y la longitud ℓ ( w ) de w es la longitud de una palabra reducida.
- El orden Bruhat (fuerte) se define por u ≤ v si alguna subcadena de alguna (o todas) palabras reducidas para v es una palabra reducida para u . (Tenga en cuenta que aquí una subcadena no es necesariamente una subcadena consecutiva).
- El orden débil izquierdo (Bruhat) se define por u ≤ L v si alguna subcadena final de alguna palabra reducida para v es una palabra reducida para u .
- El orden derecho débil (Bruhat) se define por u ≤ R v si alguna subcadena inicial de alguna palabra reducida para v es una palabra reducida para u .
Para obtener más información sobre los órdenes débiles, consulte el artículo orden débil de permutaciones .
gráfico bruhat
El gráfico de Bruhat es un gráfico dirigido relacionado con el orden (fuerte) de Bruhat. El conjunto de vértices es el conjunto de elementos del grupo de Coxeter y el conjunto de aristas consta de aristas dirigidas ( u , v ) siempre que u = tv para alguna reflexión t y ℓ ( u ) < ℓ ( v ). Se puede ver el gráfico como un gráfico dirigido con etiquetas de bordes provenientes del conjunto de reflexiones. (También se podría definir el gráfico de Bruhat usando la multiplicación a la derecha; como gráficos, los objetos resultantes son isomórficos, pero las etiquetas de los bordes son diferentes).
El orden de Bruhat fuerte en el grupo simétrico (permutaciones) tiene la función de Möbius dada por y, por lo tanto, este poset es euleriano, lo que significa que su función de Möbius es producida por la función de rango en el poset.
Ver también
Referencias
- Björner, Anders (1984), "Orderings of Coxeter groups", en Greene, Curtis (ed.), Combinatoria y álgebra (Boulder, Colorado, 1983), Contemp. Matemáticas, vol. 34, Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , págs. 175-195, ISBN 978-0-8218-5029-9, señor 0777701
- Björner, Anders; Brenti, Francesco (2005), Combinatoria de grupos de Coxeter , Textos de Graduado en Matemáticas, vol. 231, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/3-540-27596-7, ISBN 978-3-540-44238-7, señor 2133266
- Chevalley, C. (1958), "Sur les décompositions cellulaires des espaces G/B", en Haboush, William J.; Parshall, Brian J. (eds.), Grupos algebraicos y sus generalizaciones: métodos clásicos (University Park, PA, 1991), Proc. Simposios. Matemáticas puras, vol. 56, Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , págs. 1–23, ISBN 978-0-8218-1540-3, señor 1278698
- Ehresmann, Charles (1934), "Sur la Topologie de Certains Espaces Homogènes", Annals of Mathematics , segunda serie (en francés), 35 (2), Annals of Mathematics: 396–443, doi :10.2307/1968440, ISSN 0003- 486X, JFM 60.1223.05, JSTOR 1968440
- Verma, Daya-Nand (1968), "Estructura de ciertas representaciones inducidas de álgebras de Lie complejas semisimples", Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense , 74 : 160–166, doi : 10.1090/S0002-9904-1968-11921-4 , ISSN 0002-9904, SEÑOR 0218417
