Los tres teoremas principales de Brauer

Tres resultados en la teoría de la representación de grupos finitos

Los principales teoremas de Brauer son tres teoremas de la teoría de representación de grupos finitos que vinculan los bloques de un grupo finito (en característica p ) con los de sus p -subgrupos locales , es decir, los normalizadores de sus p -subgrupos no triviales.

El segundo y tercer teoremas principales permiten refinar las relaciones de ortogonalidad para caracteres ordinarios que pueden aplicarse en la teoría de grupos finitos . Estos no admiten actualmente una demostración puramente en términos de caracteres ordinarios. Los tres teoremas principales se enuncian en términos de la correspondencia de Brauer .

Correspondencia de Brauer

Hay muchas maneras de extender la definición que sigue, pero ésta se acerca a los primeros tratamientos de Brauer. Sea G un grupo finito, p un primo , F un cuerpo de característica p . Sea H un subgrupo de G que contiene

${\displaystyle QC_{G}(Q)}$

para algún p -subgrupo Q de G , y está contenido en el normalizador

${\displaystyle N_{G}(Q)}$,

¿Dónde está el centralizador de Q en G ? ${\displaystyle C_{G}(Q)}$

El homomorfismo de Brauer (con respecto a H ) es una función lineal desde el centro del álgebra de grupo de G sobre F hasta el álgebra correspondiente para H . Específicamente, es la restricción a de la proyección (lineal) desde a cuyo núcleo está abarcado por los elementos de G fuera de . La imagen de esta función está contenida en , y resulta que la función es también un homomorfismo de anillo . ${\displaystyle Z(FG)}$ ${\displaystyle FG}$ ${\displaystyle FC_{G}(Q)}$ ${\displaystyle C_{G}(Q)}$ ${\displaystyle Z(FH)}$

Puesto que se trata de un homomorfismo de anillo, para cualquier bloque B de FG , el homomorfismo de Brauer envía el elemento identidad de B a 0 o a un elemento idempotente . En el último caso, el idempotente puede descomponerse como una suma de idempotentes primitivos (mutuamente ortogonales ) de Z ( FH ). Cada uno de estos idempotentes primitivos es la identidad multiplicativa de algún bloque de FH. Se dice que el bloque b de FH es un correspondiente de Brauer de B si su elemento identidad aparece en esta descomposición de la imagen de la identidad de B bajo el homomorfismo de Brauer.

Primer teorema principal de Brauer

El primer teorema principal de Brauer (Brauer 1944, 1956, 1970) establece que si es un grupo finito y es un subgrupo de , entonces hay una biyección entre el conjunto de bloques (característicos p ) de con grupo de defectos y bloques del normalizador con grupo de defectos D . Esta biyección surge porque cuando , cada bloque de G con grupo de defectos D tiene un bloque correspondiente de Brauer único de H , que también tiene grupo de defectos D . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle N_{G}(D)}$ ${\displaystyle H=N_{G}(D)}$

Segundo teorema principal de Brauer

El segundo teorema principal de Brauer (Brauer 1944, 1959) proporciona, para un elemento t cuyo orden es una potencia de un primo p , un criterio para que un bloque (característico p ) de corresponda a un bloque dado de , mediante números de descomposición generalizada . Estos son los coeficientes que se producen cuando las restricciones de caracteres ordinarios de (del bloque dado) a elementos de la forma tu , donde u abarca elementos de orden primo a p en , se escriben como combinaciones lineales de los caracteres irreducibles de Brauer de . El contenido del teorema es que solo es necesario utilizar caracteres de Brauer de bloques de que sean correspondientes de Brauer del bloque elegido de G . ${\displaystyle C_{G}(t)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle C_{G}(t)}$ ${\displaystyle C_{G}(t)}$ ${\displaystyle C_{G}(t)}$

El tercer teorema principal de Brauer

El tercer teorema principal de Brauer (Brauer 1964, teorema 3) establece que cuando Q es un p -subgrupo del grupo finito G , y H es un subgrupo de G que contiene y está contenido en , entonces el bloque principal de H es el único correspondiente de Brauer del bloque principal de G (donde los bloques a los que se hace referencia se calculan en característica p ). ${\displaystyle QC_{G}(Q)}$ ${\displaystyle N_{G}(Q)}$

Referencias

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• Brauer, R. (1946), "Sobre bloques de caracteres de grupos de orden finito I", Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , 32 (6): 182–186, doi : 10.1073/pnas.32.6.182 , ISSN  0027-8424, JSTOR  87578, MR  0016418, PMC  1078910 , PMID  16578199
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• Brauer, R. (1956), "Zur Darstellungstheorie der Gruppen endlicher Ordnung", Mathematische Zeitschrift , 63 : 406–444, doi :10.1007/BF01187950, ISSN  0025-5874, MR  0075953, S2CID  186223039
• Brauer, R. (1959), "Zur Darstellungstheorie der Gruppen endlicher Ordnung. II", Mathematische Zeitschrift , 72 : 25–46, doi :10.1007/BF01162934, ISSN  0025-5874, MR  0108542, S2CID  122127627
• Brauer, R. (1964), "Algunas aplicaciones de la teoría de bloques de caracteres de grupos finitos. I", Journal of Algebra , 1 (2): 152–167, doi :10.1016/0021-8693(64)90031-6, ISSN  0021-8693, MR  0168662
• Brauer, R. (1970), "Sobre el primer teorema principal sobre bloques de caracteres de grupos finitos.", Illinois Journal of Mathematics , 14 (2): 183–187, doi : 10.1215/ijm/1256053174 , ISSN  0019-2082, MR  0267010
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• Ellers, H. (2001) [1994], "Segundo teorema principal de Brauer", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Ellers, H. (2001) [1994], "El tercer teorema principal de Brauer", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Walter Feit , La teoría de la representación de grupos finitos. North-Holland Mathematical Library, 25. North-Holland Publishing Co., Ámsterdam-Nueva York, 1982. xiv+502 pp.  ISBN 0-444-86155-6