Álgebra de Brauer

En matemáticas, un álgebra de Brauer es un álgebra asociativa introducida por Richard Brauer ^[1] en el contexto de la teoría de representación del grupo ortogonal . Desempeña el mismo papel que el grupo simétrico para la teoría de representación del grupo lineal general en la dualidad de Schur-Weyl .

Estructura

El álgebra de Brauer es un álgebra que depende de la elección de un entero positivo . Aquí es un indeterminado, pero en la práctica a menudo se especializa en la dimensión de la representación fundamental de un grupo ortogonal . El álgebra de Brauer tiene la dimensión ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{n}(\delta )}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\delta ]}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle O(\delta )}$

${\displaystyle \dim {\mathfrak {B}}_{n}(\delta )={\frac {(2n)!}{2^{n}n!}}=(2n-1)!!=(2n-1)(2n-3)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}$

Definición diagramática

El producto de dos elementos base A y B del álgebra de Brauer con n  = 12

Una base de consiste en todos los emparejamientos de un conjunto de elementos (es decir, todos los emparejamientos perfectos de un grafo completo : dos elementos cualesquiera pueden emparejarse entre sí, independientemente de sus símbolos). Los elementos se escriben generalmente en fila, con los elementos debajo de ellos. ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{n}(\delta )}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle X_{1},...,X_{n},Y_{1},...,Y_{n}}$ ${\displaystyle K_{2n}}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle Y_{i}}$

El producto de dos elementos base y se obtiene por concatenación: primero se identifican los puntos finales en la fila inferior de y la fila superior de (Figura AB en el diagrama), luego se eliminan los puntos finales en la fila del medio y se unen los puntos finales en las dos filas restantes si están unidas, directamente o por un camino, en AB (Figura AB=nn en el diagrama). De este modo, se eliminan todos los bucles cerrados en el medio de AB . El producto de los elementos base se define entonces como el elemento base correspondiente al nuevo emparejamiento multiplicado por donde es el número de bucles eliminados. En el ejemplo . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\cdot B}$ ${\displaystyle \delta ^{r}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle A\cdot B=\delta ^{2}AB}$

Generadores y relaciones

${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{n}(\delta )}$También puede definirse como el -álgebra con generadores que satisfacen las siguientes relaciones: ${\displaystyle \mathbb {Z} [\delta ]}$ ${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{n-1},e_{1},\ldots ,e_{n-1}}$

• Relaciones del grupo simétrico :

${\displaystyle s_{i}^{2}=1}$

${\displaystyle s_{i}s_{j}=s_{j}s_{i}}$cuando sea ${\displaystyle |i-j|>1}$

${\displaystyle s_{i}s_{i+1}s_{i}=s_{i+1}s_{i}s_{i+1}}$

• Relación casi idempotente :

${\displaystyle e_{i}^{2}=\delta e_{i}}$

• Conmutación:

${\displaystyle e_{i}e_{j}=e_{j}e_{i}}$

${\displaystyle s_{i}e_{j}=e_{j}s_{i}}$

cuando sea ${\displaystyle |i-j|>1}$

• Relaciones enredadas

${\displaystyle e_{i}e_{i\pm 1}e_{i}=e_{i}}$

${\displaystyle s_{i}s_{i\pm 1}e_{i}=e_{i\pm 1}e_{i}}$

${\displaystyle e_{i}s_{i\pm 1}s_{i}=e_{i}e_{i\pm 1}}$

• Desenrollando:

${\displaystyle s_{i}e_{i}=e_{i}s_{i}=e_{i}}$:

${\displaystyle e_{i}s_{i\pm 1}e_{i}=e_{i}}$

En esta presentación se representa el diagrama en el que siempre está conectado a directamente debajo de él excepto por y que están conectados a y respectivamente. De manera similar se representa el diagrama en el que siempre está conectado a directamente debajo de él excepto por estar conectado a y a . ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle X_{k}}$ ${\displaystyle Y_{k}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle X_{i+1}}$ ${\displaystyle Y_{i+1}}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle X_{k}}$ ${\displaystyle Y_{k}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle X_{i+1}}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle Y_{i+1}}$

Propiedades básicas

El álgebra de Brauer es una subálgebra del álgebra de partición .

El álgebra de Brauer es semisimple si . ^{[2] [3]} ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{n}(\delta )}$ ${\displaystyle \delta \in \mathbb {C} -\{0,\pm 1,\pm 2,\dots ,\pm n\}}$

El subálgebra generada por los generadores es el álgebra de grupo del grupo simétrico . ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{n}(\delta )}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle S_{n}}$

La subálgebra generada por los generadores es el álgebra de Temperley-Lieb . ^[4] ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{n}(\delta )}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle TL_{n}(\delta )}$

El álgebra de Brauer es un álgebra celular .

Para un emparejamiento, sea el número de bucles cerrados formados al identificar con para cualquier : entonces la traza de Jones obedece, es decir, es de hecho una traza . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n(A)}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle i=1,2,\dots ,n}$ ${\displaystyle {\text{Tr}}(A)=\delta ^{n(A)}}$ ${\displaystyle {\text{Tr}}(AB)={\text{Tr}}(BA)}$

Representaciones

Módulos Brauer-Specht

Los módulos de Brauer-Specht son módulos de dimensión finita del álgebra de Brauer. Si es tal que es semisimple, forman un conjunto completo de módulos simples de . ^[4] Estos módulos están parametrizados por particiones , porque se construyen a partir de los módulos de Specht del grupo simétrico , que a su vez están parametrizados por particiones. ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{n}(\delta )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{n}(\delta )}$

Para con , sea el conjunto de emparejamientos perfectos de elementos , tal que se empareja con uno de los elementos . Para cualquier anillo , el espacio es un módulo izquierdo, donde los elementos base de actúan por concatenación de grafos. (Esta acción puede producir emparejamientos que violen la restricción de que no pueden emparejarse entre sí: tales grafos deben eliminarse mediante mod). Además, el espacio es un módulo derecho . ^[5] ${\displaystyle 0\leq \ell \leq n}$ ${\displaystyle \ell \equiv n{\bmod {2}}}$ ${\displaystyle B_{n,\ell }}$ ${\displaystyle n+\ell }$ ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n},Y_{1},\dots ,Y_{\ell }}$ ${\displaystyle Y_{j}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle kB_{n,\ell }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{n}(\delta )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{n}(\delta )}$ ${\displaystyle Y_{1},\dots ,Y_{\ell }}$ ${\displaystyle kB_{n,\ell }}$ ${\displaystyle S_{\ell }}$

Dado un módulo de Specht de , donde es una partición de (es decir, ), el módulo de Brauer-Specht correspondiente de es ${\displaystyle V_{\lambda }}$ ${\displaystyle kS_{\ell }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle |\lambda |=\ell }$ ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{n}(\delta )}$

${\displaystyle W_{\lambda }=kB_{n,|\lambda |}\otimes _{kS_{|\lambda |}}V_{\lambda }\qquad {\big (}|\lambda |\leq n,|\lambda |\equiv n{\bmod {2}}{\big )}}$

Una base de este módulo es el conjunto de elementos , donde es tal que las líneas que terminan en elementos no se cruzan, y pertenece a una base de . ^[5] La dimensión es ${\displaystyle b\otimes v}$ ${\displaystyle b\in B_{n,|\lambda |}}$ ${\displaystyle |\lambda |}$ ${\displaystyle Y_{j}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle V_{\lambda }}$

${\displaystyle \dim(W_{\lambda })={\binom {n}{|\lambda |}}(n-|\lambda |-1)!!\dim(V_{\lambda })}$

es decir, el producto de un coeficiente binomial , un factorial doble y la dimensión del módulo de Specht correspondiente, que viene dado por la fórmula de longitud del gancho .

Dualidad Schur-Weyl

Sea un espacio vectorial euclidiano de dimensión , y el grupo ortogonal correspondiente. Luego, escriba para la especialización donde actúa sobre por multiplicación con . La potencia tensorial es naturalmente un módulo : actúa cambiando el factor tensorial n.° y n.° y actúa por contracción seguida de expansión en el factor tensorial n.° y n.°, es decir, actúa como ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle O(V)=O(d,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle B_{n}(d)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} [\delta ]}{\mathfrak {B}}_{n}(\delta )}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle V^{\otimes n}:=\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{n{\text{ times}}}}$ ${\displaystyle B_{n}(d)}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle (i+1)}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle (i+1)}$ ${\displaystyle e_{i}}$

${\displaystyle v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{i-1}\otimes {\Big (}v_{i}\otimes v_{i+1}{\Big )}\otimes \cdots \otimes v_{n}\mapsto v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{i-1}\otimes \left(\langle v_{i},v_{i+1}\rangle \sum _{k=1}^{d}(w_{k}\otimes w_{k})\right)\otimes \cdots \otimes v_{n}}$

donde es cualquier base ortonormal de . (La suma es de hecho independiente de la elección de esta base). ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{d}}$ ${\displaystyle V}$

Esta acción es útil en una generalización de la dualidad de Schur-Weyl : si , la imagen de dentro es el centralizador de dentro , y a la inversa la imagen de es el centralizador de . ^[2] La potencia tensorial es, por lo tanto, un - y un -módulo y satisface ${\displaystyle d\geq n}$ ${\displaystyle B_{n}(d)}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (V^{\otimes n})}$ ${\displaystyle O(V)}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (V^{\otimes n})}$ ${\displaystyle O(V)}$ ${\displaystyle B_{n}(d)}$ ${\displaystyle V^{\otimes n}}$ ${\displaystyle O(V)}$ ${\displaystyle B_{n}(d)}$

${\displaystyle V^{\otimes n}=\bigoplus _{\lambda }U_{\lambda }\boxtimes W_{\lambda }}$

donde se ejecuta sobre un subconjunto de las particiones tales que y , es un módulo irreducible y es un módulo de Brauer-Specht de . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle |\lambda |\leq n}$ ${\displaystyle |\lambda |\equiv n{\bmod {2}}}$ ${\displaystyle U_{\lambda }}$ ${\displaystyle O(V)}$ ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle B_{n}(d)}$

De ello se deduce que el álgebra de Brauer tiene una acción natural en el espacio de polinomios en , que conmuta con la acción del grupo ortogonal. ${\displaystyle V^{n}}$

Si es un entero par negativo, el álgebra de Brauer está relacionada por la dualidad de Schur-Weyl con el grupo simpléctico , en lugar del grupo ortogonal. ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle {\text{Sp}}_{-\delta }(\mathbb {C} )}$

Álgebra de Brauer amurallada

El álgebra de Brauer amurallada es una subálgebra de . Diagramáticamente, consiste en diagramas donde los únicos emparejamientos permitidos son de los tipos , , , . Esto equivale a tener una pared que separa de , y requerir que los emparejamientos crucen la pared mientras que los emparejamientos no lo hagan. ^[6] ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{r,s}(\delta )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{r+s}(\delta )}$ ${\displaystyle X_{i\leq r}-X_{j>r}}$ ${\displaystyle Y_{i\leq r}-Y_{j>r}}$ ${\displaystyle X_{i\leq r}-Y_{j\leq r}}$ ${\displaystyle X_{i>r}-Y_{j>r}}$ ${\displaystyle X_{i\leq r},Y_{i\leq r}}$ ${\displaystyle X_{i>r},Y_{i>r}}$ ${\displaystyle X-Y}$ ${\displaystyle X-X,Y-Y}$

El álgebra de Brauer amurallada se genera mediante . Estos generadores obedecen a las relaciones básicas de que los involucran, más las dos relaciones ^[7] ${\displaystyle \{s_{i}\}_{1\leq i\leq r+s-1,i\neq r}\cup \{e_{r}\}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{r+s}(\delta )}$

${\displaystyle e_{r}s_{r+1}s_{r-1}e_{r}s_{r-1}=e_{r}s_{r+1}s_{r-1}e_{r}s_{r+1}\quad ,\quad s_{r-1}e_{r}s_{r+1}s_{r-1}e_{r}=s_{r+1}e_{r}s_{r+1}s_{r-1}e_{r}}$

(En , estas dos relaciones se derivan de las relaciones básicas.) ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{r+s}(\delta )}$

Para un entero natural, sea la representación natural del grupo lineal general . El álgebra de Brauer amurallada tiene una acción natural sobre , que está relacionada por la dualidad de Schur-Weyl con la acción de . ^[6] ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle GL_{\delta }(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{r,s}(\delta )}$ ${\displaystyle V^{\otimes r}\otimes (V^{*})^{\otimes s}}$ ${\displaystyle GL_{\delta }(\mathbb {C} )}$

Véase también

• Álgebra de Birman-Wenzl , una deformación del álgebra de Brauer.

Referencias

1. Brauer, Richard (1937), "Sobre las álgebras que están conectadas con los grupos continuos semisimples", Anales de Matemáticas , Segunda serie, 38 (4), Anales de Matemáticas: 857–872, doi :10.2307/1968843, ISSN  0003-486X, JSTOR  1968843
2. Benkart, Georgia; Moon, Dongho (26 de abril de 2005), "Representaciones de productos tensoriales de álgebras de Temperley-Lieb y polinomios de Chebyshev", Representaciones de álgebras y temas relacionados , Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, págs. 57-80, doi : 10.1090/fic/045/05, ISBN 9780821834152
3. Wenzl, Hans (1988), "Sobre la estructura de las álgebras centralizadoras de Brauer", Annals of Mathematics , Segunda serie, 128 (1): 173–193, doi :10.2307/1971466, ISSN  0003-486X, JSTOR  1971466, MR  0951511
4. Halverson, Tom; Jacobson, Theodore N. (24 de agosto de 2018). "Tablas de partición de conjuntos y representaciones de álgebras de diagramas". arXiv : 1808.08118v2 [math.RT].
5. Martin, Paul P (11 de agosto de 2009). "Las matrices de descomposición del álgebra de Brauer sobre el cuerpo complejo". arXiv : 0908.1500v1 [math.RT].
6. Cox, Anton; Visscher, De; Doty, Stephen; Martin, Paul (6 de septiembre de 2007). "Sobre los bloques del álgebra de Brauer amurallada". arXiv : 0709.0851v1 [math.RT].
7. Bulgakova, DV; Ogievetsky, O. (24 de noviembre de 2019). "Procedimiento de fusión para el álgebra de Brauer amurallada". Revista de geometría y física . 149 : 103580. arXiv : 1911.10537v1 . doi :10.1016/j.geomphys.2019.103580. S2CID  208267893.