Avión Bragg

Diagrama de rayos de la formulación de Von Laue.

En física , un plano de Bragg es un plano en el espacio recíproco que biseca un vector reticular recíproco, , en ángulos rectos. [ ^1] El plano de Bragg se define como parte de la condición de Von Laue para picos de difracción en cristalografía de difracción de rayos X. ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {K} }$

Considerando el diagrama adyacente, la onda plana de rayos X que llega se define por:

${\displaystyle e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }=\cos {(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )}+i\sin {(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )}}$

¿Dónde está el vector de onda incidente dado por: ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {k} }$

${\displaystyle \mathbf {k} ={\frac {2\pi }{\lambda }}{\hat {n}}}$

donde es la longitud de onda del fotón incidente . Mientras que la formulación de Bragg supone una elección única de planos reticulares directos y reflexión especular de los rayos X incidentes, la fórmula de Von Laue solo supone luz monocromática y que cada centro de dispersión actúa como una fuente de ondículas secundarias como se describe en el principio de Huygens . Cada onda dispersa contribuye a una nueva onda plana dada por: ${\displaystyle \scriptstyle \lambda }$

${\displaystyle \mathbf {k^{\prime }} ={\frac {2\pi }{\lambda }}{\hat {n}}^{\prime }}$

La condición para que haya interferencia constructiva en la dirección es que la diferencia de trayectoria entre los fotones sea un múltiplo entero (m) de su longitud de onda. Sabemos entonces que para que haya interferencia constructiva tenemos: ${\displaystyle \scriptstyle {\hat {n}}^{\prime }}$

${\displaystyle |\mathbf {d} |\cos {\theta }+|\mathbf {d} |\cos {\theta ^{\prime }}=\mathbf {d} \cdot \left({\hat {n}}-{\hat {n}}^{\prime }\right)=m\lambda }$

donde . Multiplicando lo anterior por formulamos la condición en términos de los vectores de onda, y : ${\displaystyle \scriptstyle m~\in ~\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {2\pi }{\lambda }}}$ ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {k^{\prime }} }$

${\displaystyle \mathbf {d} \cdot \left(\mathbf {k} -\mathbf {k^{\prime }} \right)=2\pi m}$

El plano de Bragg en azul, con su vector reticular recíproco asociado K.

Ahora considere que un cristal es una matriz de centros de dispersión, cada uno en un punto en la red de Bravais . Podemos establecer uno de los centros de dispersión como el origen de una matriz. Dado que los puntos de la red están desplazados por los vectores de la red de Bravais, , las ondas dispersas interfieren de manera constructiva cuando la condición anterior se cumple simultáneamente para todos los valores de que son vectores de la red de Bravais, la condición se convierte entonces en: ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {R} }$

${\displaystyle \mathbf {R} \cdot \left(\mathbf {k} -\mathbf {k^{\prime }} \right)=2\pi m}$

Una afirmación equivalente (véase la descripción matemática de la red recíproca ) es decir que:

${\displaystyle e^{i\left(\mathbf {k} -\mathbf {k^{\prime }} \right)\cdot \mathbf {R} }=1}$

Al comparar esta ecuación con la definición de un vector de red recíproca, vemos que se produce interferencia constructiva si es un vector de la red recíproca. Observamos que y tienen la misma magnitud, podemos reformular la formulación de Von Laue como que requiere que la punta del vector de onda incidente, , se encuentre en el plano que es una bisectriz perpendicular del vector de red recíproca, . Este plano espacial recíproco es el plano de Bragg . ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {K} ~=~\mathbf {k} \,-\,\mathbf {k^{\prime }} }$ ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {k^{\prime }} }$ ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {K} }$

Véase también

• Cristalografía de rayos X
• Red recíproca
• Celosía de Bravais
• Difracción de polvo
• Línea Kikuchi
• Zona de Brillouin

Referencias

1. Ashcroft, Neil W.; Mermin, David (2 de enero de 1976). Física del estado sólido (1.ª ed.). Brooks Cole. págs. 96-100. ISBN 0-03-083993-9.