Modelo Bianconi-Barabási

Condensado de Bose-Einstein: el concepto de aptitud del modelo de Bianconi-Barabási se puede utilizar para explicar el condensado de Bose-Einstein . Aquí los picos muestran que a medida que la temperatura desciende, cada vez más átomos se condensan al mismo nivel de energía. A menor temperatura, cuando la "aptitud" es mayor, este modelo predice que habrá más átomos conectados al mismo nivel de energía.

El modelo de Bianconi-Barabási es un modelo de la ciencia de redes que explica el crecimiento de redes complejas en evolución. Este modelo puede explicar que los nodos con diferentes características adquieren enlaces a diferentes velocidades. Predice que el crecimiento de un nodo depende de su aptitud y puede calcular la distribución de grados. El modelo de Bianconi-Barabási ^{[1] [2]} recibe su nombre de sus inventores Ginestra Bianconi y Albert-László Barabási . Este modelo es una variante del modelo de Barabási-Albert . El modelo se puede mapear a un gas de Bose y este mapeo puede predecir una transición de fase topológica entre una fase de "los ricos se vuelven más ricos" y una fase de "el ganador se lleva todo". ^[2]

Conceptos

El modelo Barabási–Albert (BA) utiliza dos conceptos: crecimiento y adhesión preferencial . En este caso, el crecimiento indica el aumento del número de nodos en la red con el tiempo, y la adhesión preferencial significa que más nodos conectados reciben más enlaces. El modelo Bianconi–Barabási ^[1] , además de estos dos conceptos, utiliza otro concepto nuevo llamado aptitud. Este modelo hace uso de una analogía con los modelos evolutivos. Asigna un valor de aptitud intrínseca a cada nodo, que incorpora todas las propiedades excepto el grado. ^[3] Cuanto mayor sea la aptitud, mayor será la probabilidad de atraer nuevos bordes. La aptitud se puede definir como la capacidad de atraer nuevos enlaces: "una medida cuantitativa de la capacidad de un nodo para mantenerse por delante de la competencia". ^[4]

Mientras que el modelo de Barabási–Albert (BA) explica el fenómeno de la “ventaja del primero en llegar”, el modelo de Bianconi–Barabási explica cómo los que llegan tarde también pueden ganar. En una red donde la aptitud es un atributo, un nodo con mayor aptitud adquirirá enlaces a una tasa mayor que los nodos menos aptos. Este modelo explica que la edad no es el mejor predictor del éxito de un nodo, sino que los que llegan tarde también tienen la oportunidad de atraer enlaces para convertirse en un nodo central.

El modelo Bianconi–Barabási puede reproducir las correlaciones de grado de los sistemas autónomos de Internet. ^[5] Este modelo también puede mostrar transiciones de fase de condensación en la evolución de redes complejas. ^{[6] [2]} El modelo BB puede predecir las propiedades topológicas de Internet. ^[7]

Algoritmo

La red de aptitud comienza con un número fijo de nodos interconectados. Tienen diferentes aptitudes, que se pueden describir con un parámetro de aptitud, que se elige a partir de una distribución de aptitud  . ${\displaystyle \eta _{j}}$ ${\displaystyle \rho (\eta )}$

Crecimiento

En este caso, se supone que la aptitud de un nodo es independiente del tiempo y es fija. En cada paso de tiempo se agrega un nuevo nodo j con m enlaces y una aptitud . ${\displaystyle \eta _{j}}$

Apego preferencial

La probabilidad de que un nuevo nodo se conecte a uno de los enlaces existentes a un nodo en la red depende del número de aristas, , y de la aptitud del nodo , de modo que, ${\displaystyle \Pi _{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle k_{i}}$ ${\displaystyle \eta _{i}}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle \Pi _{i}={\frac {\eta _{i}k_{i}}{\sum _{j}\eta _{j}k_{j}}}.}$

La evolución de cada nodo con el tiempo se puede predecir utilizando la teoría del continuo. Si el número inicial de nodos es , entonces el grado del nodo cambia a la velocidad: ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle {\frac {\partial k_{i}}{\partial t}}=m{\frac {\eta _{i}k_{i}}{\sum _{j}\eta _{j}k_{j}}}}$

Suponiendo que la evolución sigue una ley de potencia con un exponente de aptitud ${\displaystyle k_{i}}$ ${\displaystyle \beta (\eta _{i})}$

${\displaystyle k(t,t_{i},\eta _{i})=m\left({\frac {t}{t_{i}}}\right)^{\beta (\eta _{i})}}$,

¿Dónde está el tiempo desde la creación del nodo ? ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle i}$

Aquí, ${\displaystyle \beta (\eta )={\frac {\eta }{C}}{\text{ and }}C=\int \rho (\eta ){\frac {\eta }{1-\beta (\eta )}}\,d\eta .}$

Propiedades

Igualdad de aptitudes

Si todas las aptitudes son iguales en una red de aptitud, el modelo de Bianconi-Barabási se reduce al modelo de Barabási-Albert , cuando no se considera el grado, el modelo se reduce al modelo de aptitud (teoría de redes) .

Cuando las aptitudes son iguales, la probabilidad de que el nuevo nodo esté conectado al nodo cuando el grado del nodo es, ${\displaystyle \Pi _{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle k_{i}}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle \Pi _{i}={\frac {k_{i}}{\sum _{j}k_{j}}}.}$

Distribución de grados

La distribución de grados del modelo Bianconi–Barabási depende de la distribución de aptitud . Hay dos escenarios que pueden ocurrir según la distribución de probabilidad. Si la distribución de aptitud tiene un dominio finito, entonces la distribución de grados tendrá una ley de potencia al igual que el modelo BA. En el segundo caso, si la distribución de aptitud tiene un dominio infinito, entonces el nodo con el valor de aptitud más alto atraerá una gran cantidad de nodos y mostrará un escenario de ganadores que se llevan todo. ^[8] ${\displaystyle \rho (\eta )}$

Medición de la aptitud física de los nodos a partir de datos empíricos de la red

Existen varios métodos estadísticos para medir la aptitud de los nodos en el modelo Bianconi–Barabási a partir de datos de redes del mundo real. ^{[9] [10]} A partir de la medición, se puede investigar la distribución de la aptitud o comparar el modelo Bianconi–Barabási con varios modelos de red competitivos en esa red en particular. ^[10] ${\displaystyle \eta _{i}}$ ${\displaystyle \rho (\eta )}$

Variaciones del modelo Bianconi-Barabási

El modelo de Bianconi-Barabási se ha extendido a redes ponderadas ^[11] mostrando una escala lineal y superlineal de la fuerza con el grado de los nodos como se observa en los datos de red reales. ^[12] Este modelo ponderado puede conducir a la condensación de los pesos de la red cuando unos pocos enlaces adquieren una fracción finita del peso de toda la red. ^[11] Recientemente se ha demostrado que el modelo de Bianconi-Barabási puede interpretarse como un caso límite del modelo para la geometría de red hiperbólica emergente ^[13] llamada Geometría de red con sabor. ^[14] El modelo de Bianconi-Barabási también puede modificarse para estudiar redes estáticas donde el número de nodos es fijo. ^[15]

Condensación de Bose-Einstein

La condensación de Bose-Einstein en redes es una transición de fase observada en redes complejas que puede describirse mediante el modelo de Bianconi-Barabási. ^[1] Esta transición de fase predice un fenómeno de "el ganador se lo lleva todo" en redes complejas y puede mapearse matemáticamente al modelo matemático que explica la condensación de Bose-Einstein en física.

Fondo

En física , un condensado de Bose-Einstein es un estado de la materia que se da en ciertos gases a temperaturas muy bajas. Cualquier partícula elemental, átomo o molécula, puede clasificarse como uno de dos tipos: un bosón o un fermión . Por ejemplo, un electrón es un fermión, mientras que un fotón o un átomo de helio es un bosón. En mecánica cuántica , la energía de una partícula (ligada) está limitada a un conjunto de valores discretos, llamados niveles de energía. Una característica importante de un fermión es que obedece al principio de exclusión de Pauli , que establece que no pueden existir dos fermiones en el mismo estado. Los bosones, por otro lado, no obedecen al principio de exclusión, y cualquier número puede existir en el mismo estado. Como resultado, a energías (o temperaturas) muy bajas, una gran mayoría de los bosones en un gas de Bose pueden amontonarse en el estado de energía más bajo, creando un condensado de Bose-Einstein.

Bose y Einstein han establecido que las propiedades estadísticas de un gas de Bose están regidas por la estadística de Bose-Einstein . En la estadística de Bose-Einstein, cualquier número de bosones idénticos puede estar en el mismo estado. En particular, dado un estado de energía ε , el número de bosones que no interactúan en equilibrio térmico a la temperatura T = ⁠1/β⁠ viene dado por el número de ocupación de Bose

${\displaystyle n(\varepsilon )={\frac {1}{e^{\beta (\varepsilon -\mu )}-1}}}$

donde la constante μ está determinada por una ecuación que describe la conservación del número de partículas

${\displaystyle N=\int d\varepsilon \,g(\varepsilon )\,n(\varepsilon )}$

siendo g ( ε ) la densidad de estados del sistema.

Esta última ecuación puede carecer de solución a temperaturas suficientemente bajas cuando g ( ε ) → 0 para ε → 0 . En este caso se encuentra una temperatura crítica T _c tal que para T < T _c el sistema está en una fase condensada de Bose-Einstein y una fracción finita de los bosones están en el estado fundamental.

La densidad de estados g ( ε ) depende de la dimensionalidad del espacio. En particular , por lo tanto, g ( ε ) → 0 para ε → 0 solo en dimensiones d > 2 . Por lo tanto, una condensación de Bose-Einstein de un gas ideal de Bose solo puede ocurrir para dimensiones d > 2 . ${\displaystyle g(\varepsilon )\sim \varepsilon ^{\frac {d-2}{2}}}$

El concepto

La evolución de muchos sistemas complejos, incluida la World Wide Web, las redes de negocios y de citas, está codificada en la red dinámica que describe las interacciones entre los constituyentes del sistema. La evolución de estas redes está capturada por el modelo de Bianconi-Barabási, que incluye dos características principales de las redes en crecimiento: su crecimiento constante mediante la adición de nuevos nodos y enlaces y la capacidad heterogénea de cada nodo para adquirir nuevos enlaces descritos por la aptitud del nodo. Por lo tanto, el modelo también se conoce como modelo de aptitud . A pesar de su naturaleza irreversible y de no equilibrio, estas redes siguen las estadísticas de Bose y pueden mapearse a un gas de Bose. En este mapeo, cada nodo se mapea a un estado de energía determinado por su aptitud y cada nuevo enlace unido a un nodo dado se mapea a una partícula de Bose que ocupa el estado de energía correspondiente. Este mapeo predice que el modelo de Bianconi-Barabási puede experimentar una transición de fase topológica en correspondencia con la condensación de Bose-Einstein del gas de Bose. Por lo tanto, esta transición de fase se llama condensación de Bose-Einstein en redes complejas. En consecuencia, al abordar las propiedades dinámicas de estos sistemas de no equilibrio en el marco de los gases cuánticos de equilibrio se predice que los fenómenos de “ventaja del primero en actuar”, “ajuste-enriquecimiento” ( FGR ) y “el ganador se lleva todo” observados en sistemas competitivos son fases termodinámicamente distintas de las redes evolutivas subyacentes. ^[2]

Ilustración esquemática del mapeo entre el modelo de red y el gas de Bose. ^[2]

El mapeo matemático de la evolución de la red al gas de Bose

A partir del modelo Bianconi-Barabási, el mapeo de un gas de Bose a una red se puede realizar asignando una energía ε _i a cada nodo, determinada por su aptitud a través de la relación ^{[2] [16]}

${\displaystyle \varepsilon _{i}=-{\frac {1}{\beta }}\ln {\eta _{i}}}$

donde β = 1 / T . En particular, cuando β = 0 todos los nodos tienen la misma aptitud, mientras que cuando β ≫ 1 los nodos con diferente "energía" tienen una aptitud muy diferente. Suponemos que la red evoluciona a través de un mecanismo de unión preferencial modificado . En cada momento un nuevo nodo i con energía ε _i extraído de una distribución de probabilidad p ( ε ) entra en la red y une un nuevo enlace a un nodo j elegido con probabilidad:

${\displaystyle \Pi _{j}={\frac {e^{-\beta \varepsilon _{j}}k_{j}}{\sum _{r}e^{-\beta \varepsilon _{r}}k_{r}}}.}$

En el mapeo a un gas de Bose, asignamos a cada nuevo enlace vinculado por unión preferencial al nodo j una partícula en el estado de energía ε _j .

La teoría del continuo predice que la tasa a la que se acumulan enlaces en el nodo i con "energía" ε _i viene dada por

${\displaystyle {\frac {\partial k_{i}(\varepsilon _{i},t,t_{i})}{\partial t}}=m{\frac {e^{-\beta \varepsilon _{i}}k_{i}(\varepsilon _{i},t,t_{i})}{Z_{t}}}}$

donde indica el número de enlaces adjuntos al nodo i que se agregó a la red en el paso de tiempo . es la función de partición , definida como: ${\displaystyle k_{i}(\varepsilon _{i},t,t_{i})}$ ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle Z_{t}}$

${\displaystyle Z_{t}=\sum _{i}e^{-\beta \varepsilon _{i}}k_{i}(\varepsilon _{i},t,t_{i}).}$

La solución de esta ecuación diferencial es:

${\displaystyle k_{i}(\varepsilon _{i},t,t_{i})=m\left({\frac {t}{t_{i}}}\right)^{f(\varepsilon _{i})}}$

donde el exponente dinámico satisface , μ juega el papel del potencial químico, satisfaciendo la ecuación ${\displaystyle f(\varepsilon )}$ ${\displaystyle f(\varepsilon )=e^{-\beta (\varepsilon -\mu )}}$

${\displaystyle \int d\varepsilon \,p(\varepsilon ){\frac {1}{e^{\beta (\varepsilon -\mu )}-1}}=1}$

donde p ( ε ) es la probabilidad de que un nodo tenga "energía" ε y "aptitud" η = e ^−βε . En el límite, t → ∞ , el número de ocupación, que da el número de enlaces vinculados a nodos con "energía" ε , sigue las estadísticas familiares de Bose

${\displaystyle n(\varepsilon )={\frac {1}{e^{\beta (\varepsilon -\mu )}-1}}.}$

La definición de la constante μ en los modelos de red es sorprendentemente similar a la definición del potencial químico en un gas de Bose. En particular, para probabilidades p ( ε ) tales que p ( ε ) → 0 para ε → 0 con un valor suficientemente alto de β, tenemos una transición de fase de condensación en el modelo de red. Cuando esto ocurre, un nodo, el que tiene mayor aptitud, adquiere una fracción finita de todos los enlaces. La condensación de Bose-Einstein en redes complejas es, por lo tanto, una transición de fase topológica después de la cual la red tiene una estructura dominante tipo estrella.

Transición de fase de Bose-Einstein en redes complejas

Evidencia numérica de la condensación de Bose-Einstein en un modelo de red. ^[2]

El mapeo de un gas de Bose predice la existencia de dos fases distintas como una función de la distribución de energía. En la fase de ajuste-enriquecimiento, que describe el caso de aptitud uniforme, los nodos más aptos adquieren aristas a una tasa mayor que los nodos más viejos pero menos aptos. Al final, el nodo más apto tendrá la mayor cantidad de aristas, pero el nodo más rico no es el ganador absoluto, ya que su participación en las aristas (es decir, la relación de sus aristas con el número total de aristas en el sistema) se reduce a cero en el límite de tamaños de sistema grandes (Fig.2(b)). El resultado inesperado de este mapeo es la posibilidad de condensación de Bose-Einstein para T < T _BE , cuando el nodo más apto adquiere una fracción finita de las aristas y mantiene esta participación de aristas a lo largo del tiempo (Fig.2(c)).

Una distribución de aptitud representativa que conduce a la condensación está dada por ${\displaystyle \rho (\eta )}$

${\displaystyle \rho (\eta )=(\lambda +1)(1-\eta )^{\lambda },}$

dónde . ${\displaystyle \lambda =1}$

Sin embargo, la existencia de la condensación de Bose-Einstein o la fase de ajuste-enriquecimiento no depende de la temperatura o β del sistema, sino que depende solo de la forma funcional de la distribución de aptitud del sistema. Al final, β desaparece de todas las cantidades topológicamente importantes. De hecho, se puede demostrar que la condensación de Bose-Einstein existe en el modelo de aptitud incluso sin mapearla a un gas de Bose. ^[17] Se puede ver una gelificación similar en modelos con unión preferencial superlineal , ^[18] sin embargo, no está claro si esto es un accidente o si existe una conexión más profunda entre esto y el modelo de aptitud. ${\displaystyle \rho (\eta )}$

Véase también

• Modelo de Barabási-Albert

Referencias

1. Bianconi, Ginestra; Barabási, Albert-László (2001). "Competencia y multiescalamiento en redes en evolución". Europhysics Letters . 54 (4): 436–442. arXiv : cond-mat/0011029 . Bibcode :2001EL.....54..436B. doi :10.1209/epl/i2001-00260-6. S2CID  250871164.
2. Bianconi, Ginestra; Barabási, Albert-László (2001). "Condensación de Bose-Einstein en redes complejas". Physical Review Letters . 86 (24): 5632–5635. arXiv : cond-mat/0011224 . Código Bibliográfico :2001PhRvL..86.5632B. doi :10.1103/physrevlett.86.5632. PMID  11415319. S2CID  18375451.
3. Pastor-Satorras, Romualdo; Vespignani, Alessandro (2007). Evolución y estructura de Internet: un enfoque desde la física estadística (1.ª ed.). Cambridge University Press. pág. 100.
4. Barabási, Albert-László (2002). Vinculado: La nueva ciencia de las redes . Grupo de Libros de Perseo. pag. 95.
5. Vázquez, Alexei; Pastor-Satorras, Romualdo; Vespignani., Alessandro (2002). "Propiedades topológicas y dinámicas a gran escala de Internet". Physical Review E . 65 (6): 066130. arXiv : cond-mat/0112400 . Bibcode :2002PhRvE..65f6130V. doi :10.1103/physreve.65.066130. PMID  12188806. S2CID  9944774.
6. Su, Guifeng; Xiaobing, Zhang; Zhang, Yi (2012). "Transición de fase de condensación en redes de aptitud no lineal". EPL . 100 (3): 38003. arXiv : 1103.3196 . Bibcode :2012EL....10038003S. doi :10.1209/0295-5075/100/38003. S2CID  14821593.
7. Caldarelli, Guido; Catanzaro, Michele (2012). Redes: una introducción muy breve . Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 78.
8. Guanrong, Chen; Xiaofan, Wang; Xiang, Li (2014). Fundamentos de redes complejas: modelos, estructuras y dinámicas . pág. 126.
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17. Dorogovtsev, SN; Mendes, JFF (26 de abril de 2001). "Propiedades de escalamiento de redes evolutivas sin escala: enfoque continuo". Physical Review E . 63 (5): 056125. arXiv : cond-mat/0012009 . Código Bibliográfico :2001PhRvE..63e6125D. doi :10.1103/physreve.63.056125. ISSN  1063-651X. PMID  11414979. S2CID  11295775.
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Enlaces externos

• Redes: una introducción muy breve
• Dinámica de red avanzada