Teorema de Bombieri-Vinogradov

En matemáticas , el teorema de Bombieri-Vinogradov (a veces llamado simplemente teorema de Bombieri ) es un resultado importante de la teoría analítica de números , obtenido a mediados de la década de 1960, sobre la distribución de primos en progresiones aritméticas , promediadas sobre un rango de módulos. El primer resultado de este tipo fue obtenido por Mark Barban en 1961 ^[1] y el teorema de Bombieri-Vinogradov es un refinamiento del resultado de Barban. El teorema de Bombieri-Vinogradov recibe su nombre de Enrico Bombieri ^[2] y AI Vinogradov ^[3] , quienes publicaron sobre un tema relacionado, la hipótesis de la densidad, en 1965.

Este resultado es una aplicación importante del método del tamiz grande , que se desarrolló rápidamente a principios de la década de 1960, desde sus inicios en el trabajo de Yuri Linnik dos décadas antes. Además de Bombieri, Klaus Roth estaba trabajando en esta área. A fines de la década de 1960 y principios de la de 1970, Patrick X. Gallagher simplificó muchos de los ingredientes y estimaciones clave . ^[4]

Enunciado del teorema de Bombieri-Vinogradov

Sean y dos números reales positivos cualesquiera con ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle x^{1/2}\log ^{-A}x\leq Q\leq x^{1/2}.}$

Entonces

${\displaystyle \sum _{q\leq Q}\max _{y\leq x}\max _{1\leq a\leq q \atop (a,q)=1}\left|\psi (y;q,a)-{y \over \varphi (q)}\right|=O\left(x^{1/2}Q(\log x)^{5}\right)\!.}$

Aquí está la función totient de Euler , que es el número de sumandos para el módulo q , y ${\displaystyle \varphi (q)}$

${\displaystyle \psi (x;q,a)=\sum _{n\leq x \atop n\equiv a{\bmod {q}}}\Lambda (n),}$

donde denota la función de von Mangoldt . ${\displaystyle \Lambda }$

Una descripción verbal de este resultado es que aborda el término de error en el teorema de los números primos para progresiones aritméticas , promediado sobre los módulos q hasta Q . Para un cierto rango de Q , que son alrededor de si descuidamos los factores logarítmicos, el error promediado es casi tan pequeño como . Esto no es obvio, y sin el promedio se trata de la fuerza de la Hipótesis de Riemann Generalizada (GRH). ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$

Véase también

• Conjetura de Elliott-Halberstam (una generalización de la de Bombieri-Vinogradov)
• Teorema de Vinogradov (llamado así en honor a Ivan Matveyevich Vinogradov )
• Teorema de Siegel-Walfisz

Notas

1. Barban, MB (1961). "Nuevas aplicaciones del 'gran tamiz' de Yu. V. Linnik". Akad. Nauk. UzSSR Trudy. Inst. Mat . 22 : 1–20. MR  0171763.
2. Bombieri, E. (1987). Le Grand Crible dans la Théorie Analytique des Nombres . Astérisco. vol. 18 (Segunda ed.). París. SEÑOR  0891718. Zbl  0618.10042.{{cite book}}: Mantenimiento de CS1: falta la ubicación del editor ( enlace )
3. Vinogradov, AI (1965). "La hipótesis de densidad para la serie L de Dirichlet". Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. (en ruso). 29 (4): 903–934. MR  0197414.Corrección. ibídem. 30 (1966), páginas 719-720. (Ruso)
4. Tenenbaum, Gérald (2015). Introducción a la teoría analítica y probabilística de números . Estudios de posgrado en matemáticas. Vol. 163. American Mathematical Society. págs. 102-104. ISBN. 9780821898543.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Teorema de Bomberi". MundoMatemático .
• El teorema de Bombieri-Vinogradov, nota de clase de RC Vaughan .