Distribución de von Mises bivariada

Distribución de probabilidad en un toro

Muestras de la variante coseno de la distribución de von Mises bivariada. Los puntos verdes se extraen de una distribución con alta concentración y sin correlación ( , ), los puntos azules se extraen de una distribución con alta concentración y correlación negativa ( , ), y los puntos rojos se extraen de una distribución con baja concentración y sin correlación ( ). ${\displaystyle \kappa _{1}=\kappa _{2}=200}$ ${\displaystyle \kappa _{3}=0}$ ${\displaystyle \kappa _{1}=\kappa _{2}=200}$ ${\displaystyle \kappa _{3}=100}$ ${\displaystyle \kappa _{1}=\kappa _{2}=20,\kappa _{3}=0}$

En teoría de probabilidad y estadística , la distribución de von Mises bivariada es una distribución de probabilidad que describe valores en un toro . Puede considerarse como un análogo en el toro de la distribución normal bivariada . La distribución pertenece al campo de la estadística direccional . La distribución de von Mises bivariada general fue propuesta por primera vez por Kanti Mardia en 1975. ^{[1] [2]} Una de sus variantes se utiliza hoy en día en el campo de la bioinformática para formular un modelo probabilístico de la estructura de las proteínas en detalle atómico, ^{[3] [4]} como las bibliotecas de rotámeros dependientes de la cadena principal .

Definición

La distribución de von Mises bivariada es una distribución de probabilidad definida en el toro , en . La función de densidad de probabilidad de la distribución de von Mises bivariada general para los ángulos está dada por ^[1] ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \phi ,\psi \in [0,2\pi ]}$

${\displaystyle f(\phi ,\psi )\propto \exp[\kappa _{1}\cos(\phi -\mu )+\kappa _{2}\cos(\psi -\nu )+(\cos(\phi -\mu ),\sin(\phi -\mu ))\mathbf {A} (\cos(\psi -\nu ),\sin(\psi -\nu ))^{T}],}$

donde y son las medias para y , y su concentración y la matriz está relacionada con su correlación. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \kappa _{1}}$ ${\displaystyle \kappa _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} \in \mathbb {M} (2,2)}$

Dos variantes comúnmente utilizadas de la distribución bivariada de von Mises son la variante seno y la variante coseno.

La variante coseno de la distribución bivariada de von Mises ^[3] tiene la función de densidad de probabilidad

${\displaystyle f(\phi ,\psi )=Z_{c}(\kappa _{1},\kappa _{2},\kappa _{3})\ \exp[\kappa _{1}\cos(\phi -\mu )+\kappa _{2}\cos(\psi -\nu )-\kappa _{3}\cos(\phi -\mu -\psi +\nu )],}$

donde y son las medias de y , y su concentración y está relacionada con su correlación. es la constante de normalización. Esta distribución con =0 se ha utilizado para estimaciones de densidad de kernel de la distribución de los ángulos diedros de proteínas y . ^[4] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \kappa _{1}}$ ${\displaystyle \kappa _{2}}$ ${\displaystyle \kappa _{3}}$ ${\displaystyle Z_{c}}$ ${\displaystyle \kappa _{3}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$

La variante seno tiene la función de densidad de probabilidad ^[5]

${\displaystyle f(\phi ,\psi )=Z_{s}(\kappa _{1},\kappa _{2},\kappa _{3})\ \exp[\kappa _{1}\cos(\phi -\mu )+\kappa _{2}\cos(\psi -\nu )+\kappa _{3}\sin(\phi -\mu )\sin(\psi -\nu )],}$

donde los parámetros tienen la misma interpretación.

Véase también

• Distribución de von Mises , una distribución similar en el círculo unitario unidimensional
• Distribución de Kent , una distribución relacionada en la esfera unitaria bidimensional
• Distribución de von Mises-Fisher
• Estadísticas direccionales

Referencias

1. Mardia, Kanti (1975). "Estadísticas de datos direccionales". Estadística JR. Soc. B . 37 (3): 349–393. JSTOR  2984782.
2. Mardia, KV; Frellsen, J. (2012). "Estadísticas de distribuciones de von Mises bivariadas". Métodos bayesianos en bioinformática estructural . Estadísticas para la biología y la salud. págs. 159. doi :10.1007/978-3-642-27225-7_6. ISBN 978-3-642-27224-0.
3. Boomsma, W.; Mardia, KV; Taylor, CC; Ferkinghoff-Borg, J.; Krogh, A.; Hamelryck, T. (2008). "Un modelo generativo y probabilístico de la estructura local de las proteínas". Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 105 (26): 8932–7. Bibcode :2008PNAS..105.8932B. doi : 10.1073/pnas.0801715105 . PMC 2440424 . PMID  18579771. 
4. Shapovalov MV, Dunbrack, RL (2011). "Una biblioteca de rotámeros dependiente de la estructura principal suavizada para proteínas derivadas de estimaciones y regresiones de densidad de núcleo adaptativo". Structure . 19 (6): 844–858. doi :10.1016/j.str.2011.03.019. PMC 3118414 . PMID  21645855. 
5. Singh, H. (2002). "Modelo probabilístico para dos variables circulares dependientes". Biometrika . 89 (3): 719–723. doi :10.1093/biomet/89.3.719.