Tensor de tensión-energía de Belinfante-Rosenfeld

En física matemática , el tensor de Belinfante - Rosenfeld es una modificación del tensor de tensión-energía que se construye a partir del tensor de tensión-energía canónico y la corriente de espín para que sea simétrico pero aún así se conserve.

En una teoría de campo local clásica o cuántica , el generador de transformaciones de Lorentz se puede escribir como una integral

${\displaystyle M_{\mu \nu }=\int \mathrm {d} ^{3}x\,{M^{0}}_{\mu \nu }}$

de una corriente local

${\displaystyle {M^{\mu }}_{\nu \lambda }=(x_{\nu }{T^{\mu }}_{\lambda }-x_{\lambda }{T^{\mu }}_{\nu })+{S^{\mu }}_{\nu \lambda }.}$

Aquí está el tensor de tensión-energía canónico que satisface , y es la contribución del momento angular intrínseco (de espín) . La antisimetría ${\displaystyle {T^{\mu }}_{\lambda }}$ ${\displaystyle \partial _{\mu }{T^{\mu }}_{\lambda }=0}$ ${\displaystyle {S^{\mu }}_{\nu \lambda }}$

${\displaystyle {M^{\mu }}_{\nu \lambda }=-{M^{\mu }}_{\lambda \nu }}$

implica la antisimetría

${\displaystyle {S^{\mu }}_{\nu \lambda }=-{S^{\mu }}_{\lambda \nu }.}$

Conservación local del momento angular

${\displaystyle \partial _{\mu }{M^{\mu }}_{\nu \lambda }=0\,}$

requiere que

${\displaystyle \partial _{\mu }{S^{\mu }}_{\nu \lambda }=T_{\lambda \nu }-T_{\nu \lambda }.}$

Por lo tanto, una fuente de corriente de espín implica un tensor de tensión-energía canónico no simétrico.

El tensor de Belinfante-Rosenfeld ^{[1] [2]} es una modificación del tensor de tensión-energía

${\displaystyle T_{B}^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }+{\frac {1}{2}}\partial _{\lambda }(S^{\mu \nu \lambda }+S^{\nu \mu \lambda }-S^{\lambda \nu \mu })}$

que se construye a partir del tensor de tensión-energía canónico y la corriente de espín de manera que sea simétrico pero aún así se conserve, es decir, ${\displaystyle {S^{\mu }}_{\nu \lambda }}$

${\displaystyle \partial _{\mu }T_{B}^{\mu \nu }=0.}$

Una integración por partes muestra que

${\displaystyle M^{\nu \lambda }=\int (x^{\nu }T_{B}^{0\lambda }-x^{\lambda }T_{B}^{0\nu })\,\mathrm {d} ^{3}x,}$

Por lo tanto, una interpretación física del tensor de Belinfante es que incluye el "momento ligado" asociado con gradientes del momento angular intrínseco. En otras palabras, el término añadido es un análogo de la " corriente ligada " asociada con una densidad de magnetización . ${\displaystyle {\mathbf {J} }_{\text{bound}}=\nabla \times \mathbf {M} }$ ${\displaystyle {\mathbf {M} }}$

La curiosa combinación de componentes de espín-corriente requerida para hacer simétrica y aún así conservada parece totalmente ad hoc , pero tanto Rosenfeld como Belinfante demostraron que el tensor modificado es precisamente el tensor de tensión-energía simétrico de Hilbert que actúa como fuente de gravedad en la relatividad general . Así como es la suma de las corrientes ligadas y libres la que actúa como fuente del campo magnético, es la suma de la energía-momento ligada y libre la que actúa como fuente de gravedad. ${\displaystyle T_{B}^{\mu \nu }}$

Belinfante-Rosenfeld y el tensor de energía-momento de Hilbert

El tensor de energía-momento de Hilbert se define por la variación de la función de acción con respecto a la métrica como ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle S_{\rm {eff}}}$

${\displaystyle \delta S_{\rm {eff}}={\frac {1}{2}}\int d^{n}x{\sqrt {g}}\,T_{\mu \nu }\,\delta g^{\mu \nu },}$

o equivalentemente como

${\displaystyle \delta S_{\rm {eff}}=-{\frac {1}{2}}\int d^{n}x{\sqrt {g}}\,T^{\mu \nu }\,\delta g_{\mu \nu }.}$

(El signo menos en la segunda ecuación surge porque ) ${\displaystyle \delta g^{\mu \nu }=-g^{\mu \sigma }\delta g_{\sigma \tau }g^{\tau \nu }}$ ${\displaystyle \delta (g^{\mu \sigma }g_{\sigma \tau })=0.}$

También podemos definir un tensor de energía-momento variando un vierbein ortonormal de Minkowski para obtener ${\displaystyle T_{cb}}$ ${\displaystyle {\bf {e}}_{a}}$

${\displaystyle \delta S_{\rm {eff}}=\int d^{n}x{\sqrt {g}}\left({\frac {\delta S}{\delta e_{a}^{\mu }}}\right)\delta e_{a}^{\mu }\equiv \int d^{n}x{\sqrt {g}}\left(T_{cb}\eta ^{ca}e_{\mu }^{*b}\right)\delta e_{a}^{\mu }.}$

Aquí está la métrica de Minkowski para el marco vierbein ortonormal, y son los covectores duales a los vierbeins. ${\displaystyle \eta _{ab}={\bf {e}}_{a}\cdot {\bf {e}}_{b}}$ ${\displaystyle {\bf {e}}^{*b}}$

Con la variación de Vierbein no hay una razón obvia inmediata para que sea simétrica. Sin embargo, la función de acción debería ser invariante bajo una transformación local infinitesimal de Lorentz , , y así ${\displaystyle T_{cb}}$ ${\displaystyle S_{\rm {eff}}({\bf {e}}_{a})}$ ${\displaystyle \delta e_{a}^{\mu }=e_{b}^{\mu }{\theta ^{b}}_{a}(x)}$ ${\displaystyle \theta ^{ab}=-\theta ^{ba}}$

${\displaystyle \delta S_{\rm {eff}}=\int d^{n}x{\sqrt {g}}\,T_{cb}\,\eta ^{ca}e_{\mu }^{*b}e_{d}^{\mu }{\theta ^{d}}_{a}=\int d^{n}x{\sqrt {g}}\,T_{cb}\,\eta ^{ca}{\theta ^{b}}_{a}=\int d^{n}x{\sqrt {g}}\,T_{cb}\,\theta ^{bc}(x),}$

debe ser cero. Como es una matriz simétrica oblicua dependiente de la posición arbitraria, vemos que la invariancia de rotación y de Lorentz local requiere e implica que . ${\displaystyle \theta ^{bc}(x)}$ ${\displaystyle T_{bc}=T_{cb}}$

Una vez que sabemos que es simétrico, es fácil demostrar que , y por lo tanto el tensor de energía-momento de variación de Vierbein es equivalente al tensor de Hilbert de variación métrica. ${\displaystyle T_{ab}}$ ${\displaystyle T_{ab}=e_{a}^{\mu }e_{b}^{\nu }T_{\mu \nu }}$

Ahora podemos entender el origen de la modificación de Belinfante-Rosenfeld del tensor de momento de energía canónica de Noether. Supongamos que la acción es donde está la conexión de espín que está determinada por mediante la condición de ser compatible con la métrica y libre de torsión. La corriente de espín se define entonces por la variación ${\displaystyle S_{\rm {eff}}({\bf {e}}_{a},{\omega }_{\mu }^{ab})}$ ${\displaystyle {\omega }_{\mu }^{ab}}$ ${\displaystyle {\bf {e}}_{a}}$ ${\displaystyle {S^{\mu }}_{ab}}$

${\displaystyle {S^{\mu }}_{ab}={\frac {2}{\sqrt {g}}}\left.\left({\frac {\delta S_{\rm {eff}}}{\delta \omega _{\mu }^{ab}}}\right)\right|_{{\bf {e}}_{a}}}$

La barra vertical indica que se mantienen fijos durante la variación. El tensor de momento de energía de Noether "canónico" es la parte que surge de la variación donde mantenemos fija la conexión de espín: ${\displaystyle {\bf {e}}_{a}}$ ${\displaystyle T_{cb}^{(0)}}$

${\displaystyle T_{cb}^{(0)}\eta ^{ca}e_{\mu }^{*b}={\frac {1}{\sqrt {g}}}\left.\left({\frac {\delta S_{\rm {eff}}}{\delta e_{a}^{\mu }}}\right)\right|_{\omega _{\mu }^{ab}}.}$

Entonces

${\displaystyle \delta S_{\rm {eff}}=\int d^{n}x{\sqrt {g}}\left\{T_{cb}^{(0)}\eta ^{ca}e_{\mu }^{*b}\delta e_{a}^{\mu }+{\frac {1}{2}}{S^{\mu }}_{ab}\delta {\omega ^{ab}}_{\mu }\right\}.}$

Ahora, para una conexión libre de torsión y compatible con la métrica, tenemos que

${\displaystyle (\delta \omega _{ij\mu })e_{k}^{\mu }=-{\frac {1}{2}}\left\{(\nabla _{j}\delta e_{ik}-\nabla _{k}\delta e_{ij})+(\nabla _{k}\delta e_{ji}-\nabla _{i}\delta e_{jk})-(\nabla _{i}\delta e_{kj}-\nabla _{j}\delta e_{ki})\right\},}$

donde estamos usando la notación

${\displaystyle \delta e_{ij}={\bf {e}}_{i}\cdot \delta {\bf {e}}_{j}=\eta _{ib}[e_{\alpha }^{*b}\delta e_{j}^{\alpha }].}$

Utilizando la variante de conexión de espín, y después de una integración por partes, encontramos

${\displaystyle \delta S_{\rm {eff}}=\int d^{n}x{\sqrt {g}}\left\{T_{cb}^{(0)}+{\frac {1}{2}}\nabla _{a}({S_{bc}}^{a}+{S_{cb}}^{a}-{S^{a}}_{bc})\right\}\eta ^{cd}e_{\mu }^{*b}\,\delta e_{d}^{\mu }.}$

Así, vemos que las correcciones al tensor canónico de Noether que aparecen en el tensor de Belinfante-Rosenfeld ocurren porque necesitamos variar simultáneamente el vierbein y la conexión de espín si queremos preservar la invariancia local de Lorentz.

Como ejemplo, considere el Lagrangiano clásico para el campo de Dirac.

${\displaystyle \int d^{d}x{\sqrt {g}}\left\{{\frac {i}{2}}\left({\bar {\Psi }}\gamma ^{a}e_{a}^{\mu }\nabla _{\mu }\Psi -(\nabla _{\mu }{\bar {\Psi }})e_{a}^{\mu }\gamma ^{a}\Psi \right)+m{\bar {\Psi }}\Psi \right\}.}$

Aquí las derivadas covariantes del espinor son

${\displaystyle \nabla _{\mu }\Psi =\left({\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}+{\frac {1}{8}}[\gamma _{b},\gamma _{c}]{\omega ^{bc}}_{\mu }\right)\Psi ,}$

${\displaystyle \nabla _{\mu }{\bar {\Psi }}=\left({\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}-{\frac {1}{8}}[\gamma _{b},\gamma _{c}]{\omega ^{bc}}_{\mu }\right){\bar {\Psi }}.}$

Por lo tanto, obtenemos

${\displaystyle T_{bc}^{(0)}={\frac {i}{2}}\left({\bar {\Psi }}\gamma _{c}(\nabla _{b}\Psi )-(\nabla _{b}{\bar {\Psi }})\gamma _{c}\Psi \right),}$

${\displaystyle {S^{a}}_{bc}={\frac {i}{8}}{\bar {\Psi }}\{\gamma ^{a},[\gamma _{b},\gamma _{c}]\}\Psi .}$

No hay ninguna contribución si utilizamos las ecuaciones de movimiento, es decir, estamos en la capa. ${\displaystyle {\sqrt {g}}}$

Ahora

${\displaystyle \{\gamma _{a},[\gamma _{b},\gamma _{c}]\}=4\gamma _{a}\gamma _{b}\gamma _{c},}$

Si son distintas y cero en caso contrario. En consecuencia, es totalmente antisimétrica. Ahora, utilizando este resultado y nuevamente las ecuaciones de movimiento, encontramos que ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle S_{abc}}$

${\displaystyle \nabla _{a}{S^{a}}_{bc}=T_{cb}^{(0)}-T_{bc}^{(0)}.}$

Así, el tensor de Belinfante-Rosenfeld se convierte en

${\displaystyle T_{bc}=T_{bc}^{(0)}+{\frac {1}{2}}(T_{cb}^{(0)}-T_{bc}^{(0)})={\frac {1}{2}}(T_{bc}^{(0)}+T_{cb}^{(0)}).}$

Por lo tanto, se considera que el tensor de Belinfante-Rosenfeld para el campo de Dirac es el tensor de energía-momento canónico simetrizado.

Definición de Weinberg

Steven Weinberg definió el tensor de Belinfante como ^[3]

${\displaystyle T_{B}^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }-{\frac {i}{2}}\partial _{\kappa }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\kappa }\Psi ^{\ell })}}({\mathcal {J}}^{\mu \nu })_{\,\,m}^{\ell }\Psi ^{m}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\Psi ^{\ell })}}({\mathcal {J}}^{\kappa \nu })_{\,\,m}^{\ell }\Psi ^{m}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\Psi ^{\ell })}}({\mathcal {J}}^{\kappa \mu })_{\,\,m}^{\ell }\Psi ^{m}\right]}$

donde es la densidad lagrangiana , el conjunto {Ψ} son los campos que aparecen en el lagrangiano, el tensor de momento de energía no belinfante se define por ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle T^{\mu \nu }=\eta ^{\mu \nu }{\mathcal {L}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\Psi ^{\ell })}}\partial ^{\nu }\Psi ^{\ell }}$

y son un conjunto de matrices que satisfacen el álgebra del grupo homogéneo de Lorentz ^[4] ${\displaystyle {\mathcal {J^{\mu \nu }}}}$

${\displaystyle [{\mathcal {J}}^{\mu \nu },{\mathcal {J}}^{\rho \sigma }]=i{\mathcal {J}}^{\rho \nu }\eta ^{\mu \sigma }-i{\mathcal {J}}^{\sigma \nu }\eta ^{\mu \rho }-i{\mathcal {J}}^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }+i{\mathcal {J}}^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }}$.

Referencias

1. FJ Belinfante (1940). "Sobre la corriente y la densidad de la carga eléctrica, la energía, el momento lineal y el momento angular de campos arbitrarios". Physica . 7 (5): 449. Bibcode :1940Phy.....7..449B. CiteSeerX  10.1.1.205.8093 . doi :10.1016/S0031-8914(40)90091-X.
2. L. Rosenfeld (1940). "Sur le tenseur d'impulsion-énergie" (PDF) . Mémoires Acad. Roy. De Bélgica . 18 (6): 1–30.
3. Weinberg, Steven (2005). La teoría cuántica de campos (Repr., ed. del libro). Cambridge [ua]: Cambridge Univ. Press . ISBN 9780521670531.
4. Cahill, Kevin, Universidad de Nuevo México (2013). Matemáticas físicas (edición revisada). Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 9781107005211.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)