La paradoja de Ross-Littlewood (también conocida como el problema de las bolas y el jarrón o el problema de la pelota de ping pong ) es un problema hipotético de matemáticas abstractas y lógica diseñado para ilustrar la naturaleza paradójica , o al menos no intuitiva , del infinito . Más específicamente, al igual que la paradoja de la lámpara de Thomson , la paradoja de Ross-Littlewood intenta ilustrar las dificultades conceptuales con la noción de una supertarea , en la que se completan secuencialmente un número infinito de tareas. [1] El problema fue descrito originalmente por el matemático John E. Littlewood en su libro de 1953 Littlewood's Miscellany , y luego fue ampliado por Sheldon Ross en su libro de 1988 A First Course in Probability .
El problema comienza con un jarrón vacío y una cantidad infinita de bolas. A continuación, se realizan una cantidad infinita de pasos, de modo que en cada paso se añaden 10 bolas al jarrón y se retira una. A continuación, se plantea la pregunta: ¿cuántas bolas hay en el jarrón cuando se termina la tarea?
Para completar un número infinito de pasos, se supone que el jarrón está vacío un minuto antes del mediodía y que se realizan los siguientes pasos:
Esto garantiza que se realice una cantidad infinita de pasos antes del mediodía. Como cada paso posterior toma la mitad del tiempo que el paso anterior, se realiza una cantidad infinita de pasos antes de que transcurra un minuto. La pregunta es entonces: ¿cuántas bolas hay en el jarrón al mediodía?
Las respuestas al rompecabezas se dividen en varias categorías.
La respuesta más intuitiva parece ser que el jarrón contiene una cantidad infinita de bolas al mediodía, ya que en cada paso del recorrido se añaden más bolas de las que se quitan. Por definición, en cada paso habrá una cantidad mayor de bolas que en el paso anterior. De hecho, no hay ningún paso en el que la cantidad de bolas disminuya con respecto al paso anterior. Si la cantidad de bolas aumenta cada vez, entonces, después de infinitos pasos, habrá una cantidad infinita de bolas.
Supongamos que las bolas de la cantidad infinita de bolas estuvieran numeradas y que en el paso 1 se insertan en el jarrón las bolas 1 a 10 y luego se retira la bola número 1. En el paso 2, se insertan las bolas 11 a 20 y luego se retira la bola 2. Esto significa que, al mediodía, cada bola etiquetada n que se inserta en el jarrón se retira eventualmente en un paso posterior (es decir, en el paso n ). Por lo tanto, el jarrón está vacío al mediodía. Esta es la solución que defienden los matemáticos Allis y Koetsier. Es la yuxtaposición de este argumento de que el jarrón está vacío al mediodía, junto con la respuesta más intuitiva de que el jarrón debería tener infinitas bolas, lo que ha justificado que este problema se denomine paradoja de Ross-Littlewood.
La versión probabilística del problema de Ross extendió el método de extracción al caso en el que, cada vez que se debe retirar una bola, ésta se selecciona de manera aleatoria y uniforme entre las que se encuentran en el jarrón en ese momento. En este caso, demostró que la probabilidad de que una bola en particular permaneciera en el jarrón al mediodía era 0 y, por lo tanto, utilizando la desigualdad de Boole y haciendo una suma contable de las bolas, la probabilidad de que el jarrón estuviera vacío al mediodía era 1. [2]
De hecho, el número de bolas que se obtiene depende del orden en que se retiran las bolas del jarrón. Como se dijo anteriormente, las bolas se pueden agregar y quitar de tal manera que no quede ninguna bola en el jarrón al mediodía. Sin embargo, si se retira la bola número 10 del jarrón en el paso 1, la bola número 20 en el paso 2, y así sucesivamente, entonces está claro que quedará una cantidad infinita de bolas en el jarrón al mediodía. De hecho, dependiendo de qué bola se retire en los diversos pasos, se puede colocar cualquier número elegido de bolas en el jarrón al mediodía, como demuestra el procedimiento siguiente. Esta es la solución favorecida por el filósofo lógico Tom Tymoczko y el matemático lógico Jim Henle. Esta solución corresponde matemáticamente a tomar el límite inferior de una secuencia de conjuntos .
El siguiente procedimiento describe exactamente cómo conseguir que un número n determinado de bolas queden en el jarrón.
Sea n el número final deseado de bolas en el jarrón ( n ≥ 0 ).
Sea i el número de operaciones que se están llevando a cabo actualmente ( i ≥ 1 ).
Procedimiento:
Es evidente que las primeras n bolas impares no se eliminan, mientras que todas las bolas mayores o iguales a 2 n sí lo hacen. Por lo tanto, quedan exactamente n bolas en el jarrón.
Aunque el estado de las bolas y del jarrón está bien definido en cada momento anterior al mediodía, no se puede llegar a ninguna conclusión sobre ningún momento anterior al mediodía o posterior . Por lo tanto, por lo que sabemos, al mediodía, el jarrón simplemente desaparece mágicamente, o le sucede algo más. Pero no lo sabemos, ya que el enunciado del problema no dice nada al respecto. Por lo tanto, al igual que la solución anterior, esta solución establece que el problema está subespecificado, pero de una manera diferente a la solución anterior. Esta solución es la que defiende el filósofo de las matemáticas Paul Benacerraf .
El problema está mal planteado. Para ser precisos, según el enunciado del problema, se realizará un número infinito de operaciones antes del mediodía, y luego se pregunta por el estado de cosas al mediodía. Pero, como en las paradojas de Zenón , si deben realizarse infinitas operaciones (secuencialmente) antes del mediodía, entonces el mediodía es un punto en el tiempo al que nunca se puede llegar. Por otro lado, preguntar cuántas bolas quedarán al mediodía es suponer que se llegará al mediodía. Por lo tanto, hay una contradicción implícita en el enunciado mismo del problema, y esta contradicción es la suposición de que uno puede de alguna manera "completar" un número infinito de pasos. Esta es la solución defendida por el matemático y filósofo Jean Paul Van Bendegem .