La variación de presión vertical es la variación de la presión en función de la elevación . Dependiendo del fluido en cuestión y del contexto al que se hace referencia, también puede variar significativamente en las dimensiones perpendiculares a la elevación, y estas variaciones tienen relevancia en el contexto de la fuerza del gradiente de presión y sus efectos. Sin embargo, la variación vertical es especialmente significativa, ya que resulta de la atracción de la gravedad sobre el fluido; es decir, para el mismo fluido dado, una disminución en la elevación dentro de él corresponde a una columna de fluido más alta que pesa sobre ese punto.
Una versión relativamente simple [1] de la variación vertical de la presión del fluido es simplemente que la diferencia de presión entre dos elevaciones es el producto del cambio de elevación, la gravedad y la densidad . La ecuación es la siguiente: donde
El símbolo delta indica un cambio en una variable determinada. Como g es negativo, un aumento de altura corresponderá a una disminución de presión, lo que encaja con el razonamiento anteriormente mencionado sobre el peso de una columna de fluido.
Cuando la densidad y la gravedad son aproximadamente constantes (es decir, para cambios de altura relativamente pequeños), simplemente multiplicando la diferencia de altura, la gravedad y la densidad se obtendrá una buena aproximación de la diferencia de presión. Si se sabe que la presión en un punto de un líquido con densidad uniforme ρ es P 0 , entonces la presión en otro punto es P 1 :
donde h 1 - h 0 es la distancia vertical entre los dos puntos. [2]
Cuando se superponen diferentes fluidos, la diferencia de presión total se obtendría sumando las dos diferencias de presión; el primero desde el punto 1 hasta el límite, el segundo desde el límite hasta el punto 2; lo que simplemente implicaría sustituir los valores de ρ y Δ h para cada fluido y tomar la suma de los resultados. Si la densidad del fluido varía con la altura, se requeriría una integración matemática.
El hecho de que la densidad y la gravedad puedan aproximarse razonablemente como constantes depende del nivel de precisión necesario, pero también de la escala de longitud de la diferencia de altura, ya que la gravedad y la densidad también disminuyen a mayor elevación. Para la densidad en particular, el fluido en cuestión también es relevante; el agua de mar , por ejemplo, se considera un fluido incompresible ; su densidad puede variar con la altura, pero de manera mucho menos significativa que la del aire. Por lo tanto, la densidad del agua puede aproximarse más razonablemente como constante que la del aire, y dada la misma diferencia de altura, las diferencias de presión en el agua son aproximadamente iguales a cualquier altura.
La fórmula barométrica depende únicamente de la altura de la cámara de líquido y no de su ancho o largo. Dada una altura suficientemente grande, se puede alcanzar cualquier presión. Esta característica de la hidrostática se ha denominado paradoja hidrostática . Según lo expresado por WH Besant , [3]
El científico flamenco Simon Stevin fue el primero en explicar matemáticamente la paradoja. [4] En 1916, Richard Glazebrook mencionó la paradoja hidrostática al describir una disposición que atribuyó a Pascal : un peso pesado W descansa sobre una tabla con área A que descansa sobre una vejiga de fluido conectada a un tubo vertical con área de sección transversal α. Verter agua de peso w por el tubo eventualmente elevará el peso pesado. El equilibrio de fuerzas conduce a la ecuación.
Glazebrook dice: "Al hacer que el área de la tabla sea considerable y la del tubo pequeña, un peso grande W puede soportarse con un peso pequeño w de agua. Este hecho a veces se describe como la paradoja hidrostática". [5]
La maquinaria hidráulica emplea este fenómeno para multiplicar la fuerza o el par. Se utilizan demostraciones de la paradoja hidrostática para enseñar el fenómeno. [6] [7]
Si se analiza la variación de presión vertical de la atmósfera de la Tierra , la escala de longitud es muy significativa ( la troposfera por sí sola tiene varios kilómetros de altura; la termosfera tiene varios cientos de kilómetros) y el fluido involucrado (aire) es comprimible. La gravedad todavía se puede aproximar razonablemente como constante, porque las escalas de longitud del orden de kilómetros todavía son pequeñas en comparación con el radio de la Tierra, que en promedio es de unos 6371 km, [8] y la gravedad es una función de la distancia al núcleo de la Tierra. [9]
La densidad, por otra parte, varía más significativamente con la altura. De la ley de los gases ideales se deduce que donde
Dicho de manera más simple, la densidad del aire depende de la presión del aire. Dado que la presión del aire también depende de la densidad del aire, sería fácil tener la impresión de que se trata de una definición circular , pero es simplemente una interdependencia de diferentes variables. Esto produce entonces una fórmula más precisa, de la forma donde
Por lo tanto, en lugar de que la presión sea una función lineal de la altura, como cabría esperar de la fórmula más simple dada en la sección "fórmula básica", se representa con mayor precisión como una función exponencial de la altura.
Tenga en cuenta que en esta simplificación, la temperatura se trata como constante, aunque la temperatura también varía con la altura. Sin embargo, la variación de temperatura dentro de las capas inferiores de la atmósfera ( troposfera , estratosfera ) es solo de decenas de grados, a diferencia de su temperatura termodinámica , que es de cientos, por lo que la variación de temperatura es razonablemente pequeña y, por lo tanto, se ignora. Para diferencias de altura más pequeñas, incluidas aquellas de arriba a abajo incluso de los edificios más altos (como la Torre CN ) o para montañas de tamaño comparable, la variación de temperatura fácilmente será de un solo dígito. (Ver también tasa de lapso ).
En su lugar, se utiliza una derivación alternativa, mostrada por la Sociedad Aeroespacial del Estado de Portland, [10] para dar la altura en función de la presión. Esto puede parecer contrario a la intuición, ya que la presión resulta de la altura y no al revés, pero una fórmula de este tipo puede ser útil para encontrar la altura basándose en la diferencia de presión cuando se conoce lo último y no lo primero. Se presentan diferentes fórmulas para diferentes tipos de aproximaciones; para comparación con la fórmula anterior, la primera referenciada en el artículo será la que aplique la misma aproximación de temperatura constante; en cuyo caso: dónde (con los valores utilizados en el artículo)
Una fórmula más general derivada del mismo artículo tiene en cuenta un cambio lineal de temperatura en función de la altura (índice de caída) y se reduce a arriba cuando la temperatura es constante: donde
y las otras cantidades son las mismas que las anteriores. Esta es la fórmula recomendada a utilizar.
Stevin ofrece una demostración matemática original de la llamada paradoja hidrostática
Medios relacionados con la paradoja hidrostática en Wikimedia Commons
