Aproximaciones medias efectivas

Método de aproximación de las propiedades de un material compuesto

En la ciencia de los materiales , las aproximaciones de medio efectivo ( EMA ) o la teoría de medio efectivo ( EMT ) pertenecen al modelado analítico o teórico que describe las propiedades macroscópicas de los materiales compuestos . Las EMA o EMT se desarrollan a partir del promedio de los valores múltiples de los constituyentes que forman directamente el material compuesto. A nivel de los constituyentes, los valores de los materiales varían y no son homogéneos . El cálculo preciso de los muchos valores de los constituyentes es casi imposible. Sin embargo, se han desarrollado teorías que pueden producir aproximaciones aceptables que a su vez describen parámetros útiles que incluyen la permitividad efectiva y la permeabilidad de los materiales en su conjunto. En este sentido, las aproximaciones de medio efectivo son descripciones de un medio (material compuesto) basadas en las propiedades y las fracciones relativas de sus componentes y se derivan de cálculos, ^{[1] [2]} y la teoría de medio efectivo . ^[3] Hay dos fórmulas ampliamente utilizadas. ^[4]

La permitividad y la permeabilidad efectivas son características dieléctricas y magnéticas promediadas de un medio microhomogéneo. Ambas se derivaron en una aproximación cuasiestática cuando el campo eléctrico dentro de una partícula de mezcla puede considerarse homogéneo. Por lo tanto, estas fórmulas no pueden describir el efecto del tamaño de partícula. Se realizaron muchos intentos para mejorar estas fórmulas.

Aplicaciones

Existen muchas aproximaciones diferentes de medio efectivo, ^[5] cada una de ellas más o menos precisa en condiciones distintas. Sin embargo, todas suponen que el sistema macroscópico es homogéneo y, como es típico en todas las teorías de campo medio, no logran predecir las propiedades de un medio multifásico cercano al umbral de percolación debido a la ausencia de correlaciones de largo alcance o fluctuaciones críticas en la teoría.

Las propiedades que se tienen en cuenta son normalmente la conductividad o la constante dieléctrica ^[6] del medio. Estos parámetros son intercambiables en las fórmulas de una amplia gama de modelos debido a la amplia aplicabilidad de la ecuación de Laplace. Los problemas que quedan fuera de esta clase se encuentran principalmente en el campo de la elasticidad y la hidrodinámica, debido al carácter tensorial de orden superior de las constantes efectivas del medio. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Las EMA pueden ser modelos discretos, como los aplicados a redes de resistencias, o teorías de continuos, como las aplicadas a la elasticidad o la viscosidad. Sin embargo, la mayoría de las teorías actuales tienen dificultades para describir sistemas de percolación. De hecho, entre las numerosas aproximaciones de medio efectivo, solo la teoría simétrica de Bruggeman es capaz de predecir un umbral. Esta característica de esta última teoría la coloca en la misma categoría que otras teorías de campo medio de fenómenos críticos . ^{[ cita requerida ]}

El modelo de Bruggeman

Para una mezcla de dos materiales con permitividades y con fracciones de volumen correspondientes y , DAG Bruggeman propuso una fórmula de la siguiente forma: ^[7] ${\displaystyle \varepsilon _{m}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{d}}$ ${\displaystyle c_{m}}$ ${\displaystyle c_{d}}$

Aquí, el signo positivo antes de la raíz cuadrada debe cambiarse a un signo negativo en algunos casos para obtener la parte imaginaria correcta de la permitividad compleja efectiva que está relacionada con la atenuación de las ondas electromagnéticas. La fórmula es simétrica con respecto al intercambio de los roles "d" y "m". Esta fórmula se basa en la igualdad

donde es el salto del flujo de desplazamiento eléctrico en toda la superficie de integración, es el componente del campo eléctrico microscópico normal a la superficie de integración, es la permitividad compleja relativa local que toma el valor dentro de la partícula metálica seleccionada, el valor dentro de la partícula dieléctrica seleccionada y el valor fuera de la partícula seleccionada, es el componente normal del campo eléctrico macroscópico. La fórmula (4) surge de la igualdad de Maxwell . Por lo tanto, solo se considera una partícula seleccionada en el enfoque de Bruggeman. La interacción con todas las demás partículas se tiene en cuenta solo en una aproximación de campo medio descrita por . La fórmula (3) da una curva resonante razonable para excitaciones plasmónicas en nanopartículas metálicas si su tamaño es de 10 nm o menor. Sin embargo, no puede describir la dependencia del tamaño para la frecuencia resonante de las excitaciones plasmónicas que se observan en los experimentos ^[8] ${\displaystyle \Delta \Phi }$ ${\displaystyle E_{n}(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \varepsilon _{r}(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \varepsilon _{m}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{d}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {eff} }}$ ${\displaystyle E_{0}}$ ${\displaystyle \operatorname {div} (\varepsilon _{r}\mathbf {E} )=0}$ ${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {eff} }}$

Fórmulas

Sin perder la generalidad, se planteará el estudio de la conductividad efectiva (que puede ser tanto continua como alterna) para un sistema formado por inclusiones esféricas multicomponentes con diferentes conductividades arbitrarias. La fórmula de Bruggeman toma entonces la forma:

Inclusiones circulares y esféricas

En un sistema de dimensión espacial euclidiana que tiene un número arbitrario de componentes, ^[9] la suma se realiza sobre todos los constituyentes. y son respectivamente la fracción y la conductividad de cada componente, y es la conductividad efectiva del medio. (La suma sobre los es la unidad.) ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \delta _{i}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}}$ ${\displaystyle \sigma _{e}}$ ${\displaystyle \delta _{i}}$

Inclusiones elípticas y elipsoidales

Esta es una generalización de la ecuación (1) a un sistema bifásico con inclusiones elipsoidales de conductividad en una matriz de conductividad . ^[10] La fracción de inclusiones es y el sistema es dimensional. Para inclusiones orientadas aleatoriamente, ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma _{m}}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle n}$

donde las 's denotan el doblete/triplete apropiado de factores de despolarización que se rige por las relaciones entre los ejes de la elipse/elipsoide. Por ejemplo: en el caso de un círculo ( , ) y en el caso de una esfera ( , , ). (La suma sobre las 's es la unidad.) ${\displaystyle L_{j}}$ ${\displaystyle L_{1}=1/2}$ ${\displaystyle L_{2}=1/2}$ ${\displaystyle L_{1}=1/3}$ ${\displaystyle L_{2}=1/3}$ ${\displaystyle L_{3}=1/3}$ ${\displaystyle L_{j}}$

El caso más general al que se ha aplicado el enfoque de Bruggeman involucra inclusiones elipsoidales bianisotrópicas. ^[11]

Derivación

La figura ilustra un medio de dos componentes. ^[9] Considere el volumen rayado de conductividad , tómelo como una esfera de volumen y suponga que está incrustado en un medio uniforme con una conductividad efectiva . Si el campo eléctrico lejos de la inclusión es entonces las consideraciones elementales conducen a un momento dipolar asociado con el volumen ${\displaystyle \sigma _{1}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \sigma _{e}}$ ${\displaystyle {\overline {E_{0}}}}$

Esta polarización produce una desviación de . Si la desviación media se desvanece, la polarización total sumada sobre los dos tipos de inclusión debe desvanecerse. Por lo tanto ${\displaystyle {\overline {E_{0}}}}$

donde y son respectivamente la fracción de volumen del material 1 y 2. Esto se puede extender fácilmente a un sistema de dimensión que tenga un número arbitrario de componentes. Todos los casos se pueden combinar para obtener la ecuación (1). ${\displaystyle \delta _{1}}$ ${\displaystyle \delta _{2}}$ ${\displaystyle n}$

La ecuación (1) también se puede obtener al exigir que la desviación de la corriente desaparezca. ^{[12] [13]} Se ha derivado aquí a partir del supuesto de que las inclusiones son esféricas y se puede modificar para formas con otros factores de despolarización, lo que conduce a la ecuación (2).

También está disponible una derivación más general aplicable a materiales bianisotrópicos. ^[11]

Modelado de sistemas de percolación

La principal aproximación es que todos los dominios están ubicados en un campo medio equivalente. Desafortunadamente, no es el caso cerca del umbral de percolación donde el sistema está gobernado por el grupo más grande de conductores, que es un fractal, y las correlaciones de largo alcance que están totalmente ausentes de la fórmula simple de Bruggeman. Los valores del umbral en general no se predicen correctamente. Es del 33% en la EMA, en tres dimensiones, lejos del 16% esperado de la teoría de percolación y observado en experimentos. Sin embargo, en dos dimensiones, la EMA da un umbral del 50% y se ha demostrado que modela la percolación relativamente bien. ^{[14] [15] [16]}

Ecuación de Maxwell Garnett

En la aproximación de Maxwell Garnett , ^[17] el medio efectivo consiste en un medio matriz con e inclusiones con . Maxwell Garnett era hijo del físico William Garnett y recibió su nombre en honor al amigo de Garnett, James Clerk Maxwell . Propuso su fórmula para explicar las imágenes coloreadas que se observan en vidrios dopados con nanopartículas metálicas. Su fórmula tiene la forma ${\displaystyle \varepsilon _{m}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$

donde es la permitividad compleja relativa efectiva de la mezcla, es la permitividad compleja relativa del medio de fondo que contiene pequeñas inclusiones esféricas de permitividad relativa con fracción de volumen de . Esta fórmula se basa en la igualdad ${\displaystyle \varepsilon _{\text{eff}}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{d}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{m}}$ ${\displaystyle c_{m}\ll 1}$

donde es la permitividad absoluta del espacio libre y es el momento dipolar eléctrico de una sola inclusión inducida por el campo eléctrico externo E . Sin embargo, esta igualdad es válida solo para un medio homogéneo y . Además, la fórmula (1) ignora la interacción entre inclusiones individuales. Debido a estas circunstancias, la fórmula (1) da una curva resonante demasiado estrecha y demasiado alta para las excitaciones plasmónicas en las nanopartículas metálicas de la mezcla. ^[18] ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle p_{m}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{d}=1}$

Fórmula

La ecuación de Maxwell Garnett dice: ^[19]

donde es la constante dieléctrica efectiva del medio, de las inclusiones y de la matriz; es la fracción de volumen de las inclusiones. ${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {eff} }}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{m}}$ ${\displaystyle \delta _{i}}$

La ecuación de Maxwell Garnett se resuelve mediante: ^{[20] [21]}

siempre que el denominador no desaparezca. Una calculadora MATLAB sencilla que utiliza esta fórmula es la siguiente.

% Esta sencilla calculadora MATLAB calcula la constante dieléctrica efectiva de una mezcla de un material de inclusión en un medio base según la teoría de Maxwell Garnett % ENTRADAS: % eps_base: constante dieléctrica del material base; % eps_incl: constante dieléctrica del material de inclusión; % vol_incl: porción de volumen del material de inclusión; % SALIDA: % eps_mean: constante dieléctrica efectiva de la mezcla.función  eps_mean = MaxwellGarnettFormula ( eps_base, eps_incl, vol_incl )   corte_de_número_pequeño = 1e-6 ;   if vol_incl < 0 || vol_incl > 1 disp ( 'ADVERTENCIA: ¡la porción de volumen del material de inclusión está fuera de rango!' ); fin factor_up = 2 * ( 1 - vol_incl ) * eps_base + ( 1 + 2 * vol_incl ) * eps_incl ; factor_down = ( 2 + vol_incl ) * eps_base + ( 1 - vol_incl ) * eps_incl ; if abs ( factor_down ) < small_number_cutoff disp ( 'ADVERTENCIA: ¡el medio efectivo es singular!' ); eps_mean = 0 ; de lo contrario eps_mean = eps_base * factor_up / factor_down ; fin fin                                                        

Derivación

Para la derivación de la ecuación de Maxwell Garnett comenzamos con una matriz de partículas polarizables. Al utilizar el concepto de campo local de Lorentz, obtenemos la relación de Clausius-Mossotti : Donde es el número de partículas por unidad de volumen. Al utilizar la electrostática elemental, obtenemos para una inclusión esférica con constante dieléctrica y un radio una polarizabilidad : Si combinamos con la ecuación de Clausius Mosotti , obtenemos: Donde es la constante dieléctrica efectiva del medio, de las inclusiones; es la fracción de volumen de las inclusiones. Como el modelo de Maxwell Garnett es una composición de un medio matriz con inclusiones, mejoramos la ecuación: $${\displaystyle {\frac {\varepsilon -1}{\varepsilon +2}}={\frac {4\pi }{3}}\sum _{j}N_{j}\alpha _{j}}$$ ${\displaystyle N_{j}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle \alpha =\left({\frac {\varepsilon _{i}-1}{\varepsilon _{i}+2}}\right)a^{3}}$$ ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle \left({\frac {\varepsilon _{\mathrm {eff} }-1}{\varepsilon _{\mathrm {eff} }+2}}\right)=\delta _{i}\left({\frac {\varepsilon _{i}-1}{\varepsilon _{i}+2}}\right)}$$ ${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {eff} }}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ ${\displaystyle \delta _{i}}$

Validez

En términos generales, se espera que la EMA de Maxwell Garnett sea válida en fracciones de volumen bajas , ya que se supone que los dominios están separados espacialmente y se descuida la interacción electrostática entre las inclusiones elegidas y todas las demás inclusiones vecinas. ^[22] La fórmula de Maxwell Garnett, en contraste con la fórmula de Bruggeman, deja de ser correcta cuando las inclusiones se vuelven resonantes. En el caso de la resonancia plasmónica, la fórmula de Maxwell Garnett es correcta solo en la fracción de volumen de las inclusiones . ^[23] Se ha estudiado la aplicabilidad de la aproximación del medio efectivo para multicapas dieléctricas ^[24] y multicapas metal-dieléctricas ^[25] , mostrando que hay ciertos casos en los que la aproximación del medio efectivo no se cumple y uno necesita ser cauteloso en la aplicación de la teoría. ${\displaystyle \delta _{i}}$ ${\displaystyle \delta _{i}<10^{-5}}$

Generalización de la ecuación de Maxwell Garnett para describir la distribución del tamaño de las nanopartículas

La ecuación de Maxwell Garnett describe las propiedades ópticas de los nanocompuestos que consisten en un conjunto de nanopartículas perfectamente esféricas. Todas estas nanopartículas deben tener el mismo tamaño. Sin embargo, debido al efecto de confinamiento, las propiedades ópticas pueden verse influenciadas por la distribución del tamaño de las nanopartículas. Como lo demostraron Battie et al., ^[26] la ecuación de Maxwell Garnett se puede generalizar para tener en cuenta esta distribución.

${\displaystyle {\frac {(\varepsilon _{\text{eff}}-\varepsilon _{m})}{\varepsilon _{\text{eff}}-2\varepsilon _{m}}}={\frac {3i\lambda ^{3}}{16\pi ^{2}\varepsilon _{m}^{1.5}}}{\frac {f}{R_{m}^{3}}}\int P(R)a_{1}(R)dR}$

${\displaystyle R}$y son el radio y la distribución de tamaño de las nanopartículas, respectivamente. y son el radio medio y la fracción de volumen de las nanopartículas, respectivamente. es el primer coeficiente eléctrico de Mie. Esta ecuación revela que la ecuación clásica de Maxwell Garnett da una estimación falsa de la fracción de volumen de las nanopartículas cuando no se puede descuidar la distribución de tamaño. ${\displaystyle P(R)}$ ${\displaystyle R_{m}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a_{1}}$

Generalización para incluir la distribución de formas de nanopartículas.

La ecuación de Maxwell Garnett sólo describe las propiedades ópticas de un conjunto de nanopartículas perfectamente esféricas. Sin embargo, las propiedades ópticas de los nanocompositos son sensibles a la distribución de la forma de las nanopartículas. Para superar este límite, Y. Battie et al. ^[27] han desarrollado la teoría del medio efectivo distribuido según la forma (SDEMT). Esta teoría del medio efectivo permite calcular la función dieléctrica efectiva de un nanocomposito que consiste en un conjunto de nanopartículas elipsoidales distribuidas según la forma.

${\displaystyle \varepsilon _{\text{eff}}={\frac {(1-f)\varepsilon _{m}+f\beta \varepsilon _{i}}{1-f+f\beta }}}$

con ${\displaystyle \beta ={\frac {1}{3}}\iint P(L_{1},L_{2})\sum _{i\mathop {=} 1}^{3}{\frac {\varepsilon _{m}}{\varepsilon _{m}+L_{i}(\varepsilon _{i}-\varepsilon _{m})}}dL_{1}dL_{2}}$

Los factores de despolarización ( ) solo dependen de la forma de las nanopartículas. es la distribución de los factores de despolarización. f es la fracción de volumen de las nanopartículas. ${\displaystyle L_{1},L_{2},L_{3}}$ ${\displaystyle P(L_{1},L_{2})}$

La teoría SDEMT se utilizó para extraer la distribución de formas de nanopartículas a partir de espectros de absorción ^[28] o elipsométricos. ^{[29] [30]}

Fórmula que describe el efecto del tamaño

Se propuso una nueva fórmula que describe el efecto del tamaño. ^[18] Esta fórmula tiene la forma $${\displaystyle \varepsilon _{\text{eff}}={\frac {1}{4}}\left(H_{\varepsilon }+i{\sqrt {-H_{\varepsilon }^{2}-8\varepsilon _{m}\varepsilon _{d}J(k_{m}a)}}\right),}$$

$${\displaystyle J(x)=2{\frac {1-x\cot(x)}{x^{2}+x\cot(x)-1}},}$$donde a es el radio de la nanopartícula y es el número de onda. Se supone aquí que la dependencia temporal del campo electromagnético está dada por el factor En este artículo se utilizó el enfoque de Bruggeman, pero el campo electromagnético para el modo de oscilación dipolar eléctrica dentro de la partícula seleccionada se calculó sin aplicar la aproximación cuasiestática . Por lo tanto, la función se debe a la no uniformidad del campo dentro de la partícula seleccionada. En la región cuasiestática ( , es decir, para Ag esta función se vuelve constante y la fórmula (5) se vuelve idéntica a la fórmula de Bruggeman. ${\displaystyle k_{m}={\sqrt {\varepsilon _{m}\mu _{m}}}\omega /c}$ ${\displaystyle \mathrm {exp} (-i\omega t).}$ ${\displaystyle J(k_{m}a)}$ ${\displaystyle k_{m}a\ll 1}$ ${\displaystyle a\leq \mathrm {10\,nm} }$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle J(k_{m}a)=1}$

Fórmula de permeabilidad eficaz

La fórmula para la permeabilidad efectiva de las mezclas tiene la forma ^[18]

$${\displaystyle H_{\mu }=(2-3c_{m})\mu _{d}-(1-3c_{m})\mu _{m}J(k_{m}a).}$$

Aquí se muestra la permeabilidad compleja relativa efectiva de la mezcla, es la permeabilidad compleja relativa del medio de fondo que contiene pequeñas inclusiones esféricas de permeabilidad relativa con fracción de volumen de . Esta fórmula se derivó en aproximación dipolar. El modo octopolar magnético y todos los demás modos de oscilación magnética de órdenes impares se descuidaron aquí. Cuando y esta fórmula tiene una forma simple ^[18] ${\displaystyle \mu _{\text{eff}}}$ ${\displaystyle \mu _{d}}$ ${\displaystyle \mu _{m}}$ ${\displaystyle c_{m}\ll 1}$ ${\displaystyle \mu _{m}=\mu _{d}}$ ${\displaystyle k_{m}a\ll 1}$

Teoría del medio efectivo para redes de resistencias

Para una red que consiste en una alta densidad de resistencias aleatorias, una solución exacta para cada elemento individual puede ser poco práctica o imposible. En tal caso, una red de resistencias aleatorias puede considerarse como un gráfico bidimensional y la resistencia efectiva puede modelarse en términos de medidas gráficas y propiedades geométricas de redes. ^[31] Suponiendo que la longitud de los bordes es mucho menor que el espaciado de los electrodos y que los bordes se distribuyen uniformemente, se puede considerar que el potencial cae uniformemente de un electrodo a otro. La resistencia de la lámina de una red aleatoria de este tipo ( ) puede escribirse en términos de densidad de bordes (alambres) ( ), resistividad ( ), ancho ( ) y espesor ( ) de los bordes (alambres) como: ${\displaystyle R_{sn}}$ ${\displaystyle N_{E}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle t}$

Véase también

• Ecuación constitutiva
• Umbral de percolación

Referencias

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31. Kumar, Ankush; Vidhyadhiraja, NS; Kulkarni, G. U. (2017). "Distribución de corriente en redes de nanocables conductores". Journal of Applied Physics . 122 (4): 045101. Bibcode :2017JAP...122d5101K. doi :10.1063/1.4985792.

Lectura adicional

• Lakhtakia, A., ed. (1996). Artículos seleccionados sobre materiales compuestos ópticos lineales [Milestone Vol. 120] . Bellingham, WA, EE. UU.: SPIE Press. ISBN 978-0-8194-2152-4.
• Tuck, Choy (1999). Teoría del medio efectivo (1.ª ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-851892-1.
• Lakhtakia (Ed.), A. (2000). Campos electromagnéticos en materiales y estructuras no convencionales . Nueva York: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-36356-9.
• Weiglhofer (Ed.) ; Lakhtakia (Ed.), A. (2003). Introducción a los medios complejos para la óptica y el electromagnetismo . Bellingham, WA, EE. UU.: SPIE Press. ISBN 978-0-8194-4947-4.
• Mackay, TG ; Lakhtakia, A. (2010). Anisotropía y bianisotropía electromagnética: una guía de campo (1.ª ed.). Singapur: World Scientific. ISBN 978-981-4289-61-0.