Aproximación de GW

Aproximación en sistemas de muchos cuerpos

La aproximación GW (GWA) es una aproximación realizada para calcular la autoenergía de un sistema de electrones de muchos cuerpos . ^{[1] [2] [3]} La aproximación es que la expansión de la autoenergía Σ en términos de la función de Green de una sola partícula G y la interacción de Coulomb apantallada W (en unidades de ) ${\displaystyle \hbar =1}$

${\displaystyle \Sigma =iGW-GWGWG+\cdots }$

se puede truncar después del primer término:

${\displaystyle \Sigma \approx iGW}$

En otras palabras, la autoenergía se expande en una serie de Taylor formal en potencias de la interacción filtrada W y el término de orden más bajo se mantiene en la expansión en GWA.

Teoría

Las fórmulas anteriores son de naturaleza esquemática y muestran la idea general de la aproximación. Más precisamente, si etiquetamos una coordenada electrónica con su posición, espín y tiempo y agrupamos los tres en un índice compuesto (los números 1, 2, etc.), tenemos

${\displaystyle \Sigma (1,2)=iG(1,2)W(1^{+},2)-\int d3\int d4\,G(1,3)G(3,4)G(4,2)W(1,4)W(3,2)+...}$

donde el superíndice "+" significa que el índice de tiempo se desplaza hacia adelante en una cantidad infinitesimal. El GWA es entonces

${\displaystyle \Sigma (1,2)\approx iG(1,2)W(1^{+},2)}$

Para poner esto en contexto, si uno reemplaza W por la interacción de Coulomb simple (es decir, la interacción 1/r usual), uno genera la serie perturbativa estándar para la autoenergía que se encuentra en la mayoría de los libros de texto de muchos cuerpos. El GWA con W reemplazado por el Coulomb simple no produce nada más que el potencial de intercambio de Hartree-Fock (autoenergía). Por lo tanto, en términos generales, el GWA representa un tipo de autoenergía de Hartree-Fock filtrada dinámicamente.

En un sistema de estado sólido, la serie de la autoenergía en términos de W debería converger mucho más rápido que la serie tradicional en la interacción de Coulomb simple. Esto se debe a que el apantallamiento del medio reduce la fuerza efectiva de la interacción de Coulomb: por ejemplo, si se coloca un electrón en alguna posición de un material y se pregunta cuál es el potencial en alguna otra posición del material, el valor es menor que el dado por la interacción de Coulomb simple (distancia inversa entre los puntos) porque los otros electrones en el medio se polarizan (mueven o distorsionan sus estados electrónicos) de modo de apantallar el campo eléctrico. Por lo tanto, W es una cantidad menor que la interacción de Coulomb simple, de modo que una serie en W debería tener mayores esperanzas de converger rápidamente.

Para ver la convergencia más rápida, podemos considerar el ejemplo más simple que involucra el gas de electrones homogéneo o uniforme que se caracteriza por una densidad de electrones o, equivalentemente, la separación electrón-electrón promedio o radio de Wigner-Seitz . (Solo presentamos un argumento de escala y no calcularemos prefactores numéricos de orden uno). Estos son los pasos clave: ${\displaystyle r_{s}}$

• La energía cinética de un electrón escala como ${\displaystyle 1/r_{s}^{2}}$
• La repulsión electrón-electrón promedio de la interacción de Coulomb desnuda ( sin apantallar ) escala como (simplemente la inversa de la separación típica) ${\displaystyle 1/r_{s}}$
• La función dieléctrica del gas electrón en el modelo de apantallamiento de Thomas-Fermi más simple para un vector de onda es ${\displaystyle q}$

${\displaystyle \epsilon (q)=1+\lambda ^{2}/q^{2}}$

¿Dónde está el número de onda de detección que escala como? ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle r_{s}^{-1/2}}$

• Los vectores de onda típicos escalan como (nuevamente, separación inversa típica) ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle 1/r_{s}}$
• Por lo tanto, un valor de detección típico es ${\displaystyle \epsilon \sim 1+r_{s}}$
• La interacción de Coulomb apantallada es ${\displaystyle W(q)=V(q)/\epsilon (q)}$

Por lo tanto, para la interacción de Coulomb simple, la relación entre la energía de Coulomb y la energía cinética es del orden de 2-5 para un metal típico y no es pequeña en absoluto: en otras palabras, la interacción de Coulomb simple es bastante fuerte y produce una expansión perturbativa deficiente. Por otro lado, la relación entre una energía típica y la energía cinética se reduce en gran medida por el apantallamiento y es del orden de un buen comportamiento y menor que la unidad incluso para grandes : la interacción apantallada es mucho más débil y es más probable que produzca una serie perturbativa que converge rápidamente. ${\displaystyle r_{s}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle r_{s}/(1+r_{s})}$ ${\displaystyle r_{s}}$

Software que implementa la aproximación GW

• ABINIT - método pseudopotencial de ondas planas
• BerkeleyGW - método pseudopotencial de ondas planas
• CP2K : método pseudopotencial y totalmente electrónico de escala baja basado en Gauss
• ELK - método de onda plana aumentada de potencial completo (linealizado) (FP-LAPW)
• FHI-aims - método numérico de orbitales centrados en átomos
• Fiesta - Método gaussiano de todos los electrones
• GAP: un código GW totalmente electrónico basado en ondas planas aumentadas, actualmente interconectado con WIEN2k
• Promedio de votos
• VERDE: GW totalmente autoconsistente en base gaussiana para moléculas y sólidos
• Molgw - código de base gaussiana pequeña
• NanoGW: funciones de onda en el espacio real y métodos iterativos de Lanczos
• PySCF
• QuantumATK - Métodos LCAO y PW .
• ESPRESSO Cuántico - Método de pseudopotencial de función Wannier
• Questaal - Método de potencial completo (FP-LMTO)
• SaX Archivado el 3 de febrero de 2009 en Wayback Machine - método pseudopotencial de ondas planas
• Spex - método de onda plana aumentada de potencial completo (linealizado) (FP-LAPW)
• TURBOMOLE - Método Gaussiano de todos los electrones
• VASP - método de ondas aumentadas por proyector (PAW)
• Oeste - GW a gran escala
• Código YAMBO : método pseudopotencial de ondas planas

Fuentes

• Las publicaciones clave sobre la aplicación de la aproximación GW Archivado el 4 de febrero de 2019 en Wayback Machine.
• Imagen de Lars Hedin, inventor de GW
• GW100 - Evaluación comparativa del enfoque GW para moléculas.

Referencias

1. Hedin, Lars (1965). "Nuevo método para calcular la función de Green de una partícula con aplicación al problema electrón-gas". Phys. Rev . 139 (3A): A796–A823. Bibcode :1965PhRv..139..796H. doi :10.1103/PhysRev.139.A796. S2CID  73720887.
2. Aulbur, Wilfried G.; Jönsson, Lars; Wilkins, John W. (2000). "Cálculos de cuasipartículas en sólidos". Física del estado sólido . 54 : 1–218. doi :10.1016/S0081-1947(08)60248-9. ISBN 9780126077544. ISSN  0081-1947.
3. Aryasetiawan, F; Gunnarsson, O (1998). "El método GW ". Informes sobre el progreso en física . 61 (3): 237–312. arXiv : cond-mat/9712013 . Código Bibliográfico :1998RPPh...61..237A. doi :10.1088/0034-4885/61/3/002. ISSN  0034-4885. S2CID  119000468.

Lectura adicional

• Correlación electrónica en el estado sólido, Norman H. March (editor), World Scientific Publishing Company
• Aryasetiawan, Ferdi. "Efectos de correlación en sólidos a partir de primeros principios" (PDF) . {{cite journal}}: Requiere citar revista |journal=( ayuda )