En matemáticas , un anillo booleano R es un anillo para el cual x 2 = x para todo x en R , es decir, un anillo que consta únicamente de elementos idempotentes . [1] [2] [3] Un ejemplo es el anillo de números enteros módulo 2 .
Todo anillo de Boole da lugar a un álgebra de Boole , correspondiendo la multiplicación de anillos a la conjunción o encuentro ∧ , y la adición de anillos a la disyunción exclusiva o diferencia simétrica (no a la disyunción ∨ , [4] que constituiría un semianillo ). Por el contrario, todo álgebra de Boole da lugar a un anillo de Boole. Los anillos de Boole reciben su nombre del fundador del álgebra de Boole, George Boole .
Hay al menos cuatro sistemas de notación diferentes e incompatibles para los anillos y álgebras booleanas:
Históricamente, el término "anillo booleano" se ha utilizado para significar un "anillo booleano posiblemente sin una identidad", y "álgebra booleana" se ha utilizado para significar un anillo booleano con una identidad. La existencia de la identidad es necesaria para considerar el anillo como un álgebra sobre el cuerpo de dos elementos : de lo contrario, no puede haber un homomorfismo de anillo (unital) del cuerpo de dos elementos en el anillo booleano. (Esto es lo mismo que el antiguo uso de los términos "anillo" y "álgebra" en la teoría de la medida . [a] )
Un ejemplo de un anillo booleano es el conjunto potencia de cualquier conjunto X , donde la adición en el anillo es diferencia simétrica y la multiplicación es intersección . Como otro ejemplo, también podemos considerar el conjunto de todos los subconjuntos finitos o cofinitos de X , nuevamente con diferencia simétrica e intersección como operaciones. De manera más general, con estas operaciones, cualquier cuerpo de conjuntos es un anillo booleano. Por el teorema de representación de Stone, todo anillo booleano es isomorfo a un cuerpo de conjuntos (tratado como un anillo con estas operaciones).
Dado que la operación de unión ∨ en un álgebra booleana a menudo se escribe de forma aditiva, tiene sentido en este contexto denotar la adición de anillo mediante ⊕ , un símbolo que se utiliza a menudo para denotar la adición exclusiva o .
Dado un anillo booleano R , para x e y en R podemos definir
Estas operaciones satisfacen entonces todos los axiomas de encuentros, uniones y complementos en un álgebra de Boole . Por lo tanto, cada anillo de Boole se convierte en un álgebra de Boole. De manera similar, cada álgebra de Boole se convierte en un anillo de Boole, de la siguiente manera:
Si un anillo de Boole se traduce de esta manera a un álgebra de Boole y luego el álgebra de Boole se traduce a un anillo, el resultado es el anillo original. El resultado análogo se cumple a partir de un álgebra de Boole.
Una función entre dos anillos booleanos es un homomorfismo de anillos si y solo si es un homomorfismo de las álgebras booleanas correspondientes. Además, un subconjunto de un anillo booleano es un ideal de anillo (ideal de anillo primo, ideal de anillo maximal) si y solo si es un ideal de orden (ideal de orden primo, ideal de orden maximal) del álgebra booleana. El anillo cociente de un anillo booleano módulo un ideal de anillo corresponde al álgebra factorial del álgebra booleana correspondiente módulo el ideal de orden correspondiente.
Cada anillo booleano R satisface x ⊕ x = 0 para todo x en R , porque sabemos
y como ( R , ⊕) es un grupo abeliano, podemos restar x ⊕ x de ambos lados de esta ecuación, lo que da x ⊕ x = 0 . Una prueba similar muestra que todo anillo booleano es conmutativo :
La propiedad x ⊕ x = 0 muestra que cualquier anillo booleano es un álgebra asociativa sobre el cuerpo F 2 con dos elementos, precisamente de una manera. [ cita requerida ] En particular, cualquier anillo booleano finito tiene como cardinalidad una potencia de dos . No toda álgebra asociativa unitaria sobre F 2 es un anillo booleano: considere por ejemplo el anillo polinomial F 2 [ X ] .
El anillo cociente R / I de cualquier anillo booleano R módulo cualquier ideal I es nuevamente un anillo booleano. Asimismo, cualquier subanillo de un anillo booleano es un anillo booleano.
Cualquier localización RS −1 de un anillo booleano R por un conjunto S ⊆ R es un anillo booleano, ya que cada elemento en la localización es idempotente.
El anillo máximo de cocientes Q ( R ) (en el sentido de Utumi y Lambek ) de un anillo booleano R es un anillo booleano, ya que todo endomorfismo parcial es idempotente. [6]
Todo ideal primo P en un anillo booleano R es maximal : el anillo cociente R / P es un dominio integral y también un anillo booleano, por lo que es isomorfo al cuerpo F 2 , lo que muestra la maximalidad de P . Como los ideales maximales son siempre primos, los ideales primos y los ideales maximales coinciden en los anillos booleanos.
Todo ideal finitamente generado de un anillo booleano es principal (de hecho, ( x , y ) = ( x + y + xy )) . Además, como todos los elementos son idempotentes, los anillos booleanos son anillos regulares de von Neumann conmutativos y, por lo tanto, absolutamente planos, lo que significa que cada módulo sobre ellos es plano .
La unificación en anillos booleanos es decidible , [7] es decir, existen algoritmos para resolver ecuaciones arbitrarias sobre anillos booleanos. Tanto la unificación como el emparejamiento en anillos booleanos libres generados finitamente son NP-completos , y ambos son NP-difíciles en anillos booleanos presentados finitamente . [8] (De hecho, como cualquier problema de unificación f ( X ) = g ( X ) en un anillo booleano puede reescribirse como el problema de emparejamiento f ( X ) + g ( X ) = 0 , los problemas son equivalentes).
La unificación en anillos booleanos es unitaria si todos los símbolos de función no interpretados son nularios y finitarios en caso contrario (es decir, si los símbolos de función que no aparecen en la firma de los anillos booleanos son todos constantes, entonces existe un unificador más general y, en caso contrario, el conjunto completo mínimo de unificadores es finito). [9]