Anillo cerrado real

En matemáticas , un anillo real cerrado ( RCR ) es un anillo conmutativo A que es un subanillo de un producto de cuerpos reales cerrados , el cual es cerrado bajo funciones semialgebraicas continuas definidas sobre los números enteros .

Ejemplos de anillos cerrados reales

Dado que la definición rigurosa de un anillo cerrado real es de naturaleza técnica, es conveniente ver primero una lista de ejemplos destacados. Los siguientes anillos son todos anillos cerrados reales:

• campos cerrados reales . Éstos son exactamente los anillos cerrados reales que son campos .
• el anillo de todas las funciones continuas de valores reales en un espacio completamente regular X. Además, el anillo de todas las funciones continuas de valores reales acotadas en X es realmente cerrado.
• subanillos convexos de cuerpos cerrados reales. Se trata precisamente de esos anillos cerrados reales que también son anillos de valoración y que fueron estudiados inicialmente por Cherlin y Dickmann (ellos utilizaron el término "anillo cerrado real" para lo que ahora se llama un "anillo cerrado real de valoración").
• el anillo A de todas las funciones semialgebraicas continuas en un conjunto semialgebraico de un cuerpo real cerrado (con valores en ese cuerpo). Además, el subanillo de todas las funciones acotadas (en cualquier sentido) en A es un cuerpo real cerrado.
• (generalizando el ejemplo anterior) el anillo de todas las funciones definibles continuas (acotadas) en un conjunto definible S de una expansión arbitraria de primer orden M de un cuerpo real cerrado (con valores en M ). Además, el anillo de todas las funciones definibles (acotadas) es real cerrado. ${\displaystyle S\to M}$
• Los anillos cerrados reales son precisamente los anillos de secciones globales de espacios cerrados reales afines (una generalización de los espacios semialgebraicos ) y en este contexto fueron inventados por Niels Schwartz a principios de los años 1980.

Definición

Un anillo cerrado real es un anillo unitario conmutativo reducido A que tiene las siguientes propiedades:

1. El conjunto de cuadrados de A es el conjunto de elementos no negativos de orden parcial ≤ en A y ( A ,≤) es un f-anillo .
2. Condición de convexidad: Para todo a ,  b en A , si 0 ≤ a ≤ b entonces b  |  a ² .
3. Para cada ideal primo p de A , el anillo de clases de residuos A / p es integralmente cerrado y su campo de fracciones es un campo cerrado real.

El enlace a la definición al comienzo de este artículo se encuentra en la sección sobre propiedades algebraicas a continuación.

El cierre real de un anillo conmutativo

Todo anillo unitario conmutativo R tiene un llamado cierre real rcl( R ) y este es único hasta un homomorfismo de anillo único sobre R . Esto significa que rcl( R ) es un anillo cerrado real y hay un homomorfismo de anillo (no necesariamente inyectivo ) tal que para cada homomorfismo de anillo con algún otro anillo cerrado real A , hay un homomorfismo de anillo único con . ${\displaystyle r:R\to rcl(R)}$ ${\displaystyle f:R\to A}$ ${\displaystyle g:rcl(R)\to A}$ ${\displaystyle f=g\circ r}$

Por ejemplo, el cierre real del anillo polinomial es el anillo de funciones semialgebraicas continuas . ${\displaystyle \mathbb {R} [T_{1},...,T_{n}]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

Un anillo arbitrario R es semireal (es decir, −1 no es una suma de cuadrados en R ) si y solo si el cierre real de R no es el anillo nulo.

El cierre real de un cuerpo ordenado no es, en general, el cierre real del cuerpo subyacente. Por ejemplo, el cierre real del subcuerpo ordenado de es el cuerpo de los números algebraicos reales , mientras que el cierre real del cuerpo es el anillo (que corresponde a los dos órdenes de ). De manera más general, el cierre real de un cuerpo F es un cierto producto subdirecto de los cierres reales de los cuerpos ordenados ( F , P ), donde P recorre los ordenamientos de F . ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{alg}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{alg}\times \mathbb {R} _{alg}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$

Propiedades algebraicas

• La categoría RCR de anillos reales cerrados que tiene como objetos anillos reales cerrados y como morfismos homomorfismos de anillos tiene las siguientes propiedades:

1. Los productos arbitrarios , límites directos y límites inversos (en la categoría de anillos unitarios conmutativos) de anillos cerrados reales son nuevamente cerrados reales. La suma de fibras de dos anillos cerrados reales B , C sobre algún anillo cerrado real A existe en RCR y es la clausura real del producto tensorial de B y C sobre A .
2. RCR tiene límites y colimites arbitrarios .
3. RCR es una variedad en el sentido del álgebra universal (pero no una subvariedad de anillos conmutativos).

• Para un anillo real cerrado A , el homomorfismo natural de A al producto de todos sus cuerpos de residuos es un isomorfismo sobre un subanillo de este producto que es cerrado bajo funciones semialgebraicas continuas definidas sobre los enteros. A la inversa, todo subanillo de un producto de cuerpos reales cerrados con esta propiedad es real cerrado.
• Si I es un ideal radical de un anillo real cerrado A , entonces también el anillo de clase de residuo A / I es realmente cerrado. Si I y J son ideales radicales de un anillo real cerrado, entonces la suma I  +  J es nuevamente un ideal radical.
• Todas las localizaciones clásicas S ⁻¹ A de un anillo real cerrado A son realmente cerradas. La envoltura epimórfica y el anillo completo de cocientes de un anillo real cerrado son nuevamente realmente cerrados.
• El anillo de holomorfía (real) H ( A ) de un anillo cerrado real A es nuevamente cerrado real. Por definición, H ( A ) consta de todos los elementos f en A con la propiedad −N  ≤  f  ≤  N para algún número natural N . Aplicado a los ejemplos anteriores, esto significa que los anillos de funciones continuas acotadas (semi-algebraicas/definibles) son todos cerrados reales.
• La función de soporte del espectro real de un anillo cerrado real a su espectro de Zariski , que envía un ordenamiento P a su soporte, es un homeomorfismo . En particular, el espectro de Zariski de cada anillo cerrado real A es un sistema raíz (en el sentido de la teoría de grafos ) y, por lo tanto, A es también un anillo de Gel'fand (es decir, cada ideal primo de A está contenido en un único ideal maximal de A ). La comparación del espectro de Zariski de A con el espectro de Zariski de H ( A ) conduce a un homeomorfismo entre los espectros maximales de estos anillos, generalizando el teorema de Gel'fand-Kolmogorov para anillos de funciones continuas de valores reales. ${\displaystyle P\cap -P}$
• La función natural r de un anillo arbitrario R a su cierre real rcl( R ) como se explicó anteriormente, induce un homeomorfismo del espectro real de rcl( R ) al espectro real de R .
• Resumiendo y reforzando significativamente las dos propiedades anteriores, se obtiene lo siguiente: La función natural r de un anillo arbitrario R a su cierre real rcl( R ) induce una identificación del esquema afín de rcl( R ) con el espacio real cerrado afín de R .
• Cada anillo real local cerrado es un anillo henseliano (pero en general los dominios reales locales cerrados no son anillos de valoración).

Propiedades teóricas del modelo

La clase de anillos cerrados reales es axiomatizable de primer orden e indecidible . La clase de todos los anillos de valoración cerrados reales es decidible (por Cherlin-Dickmann) y la clase de todos los cuerpos cerrados reales es decidible (por Tarski). Después de nombrar una relación radical definible, los anillos cerrados reales tienen un modelo acompañante , a saber, los anillos cerrados reales regulares de von Neumann .

Comparación con caracterizaciones de campos cerrados reales

Existen muchas caracterizaciones diferentes de los cuerpos reales cerrados . Por ejemplo, en términos de maximalidad (con respecto a extensiones algebraicas): un cuerpo real cerrado es un cuerpo máximamente ordenable; o, un cuerpo real cerrado (junto con su ordenamiento único) es un cuerpo máximamente ordenado. Otra caracterización dice que el teorema del valor intermedio se cumple para todos los polinomios en una variable sobre el cuerpo (ordenado). En el caso de los anillos conmutativos, todas estas propiedades pueden analizarse (y se analizan) en la literatura. Todas ellas conducen a diferentes clases de anillos que, lamentablemente, también se denominan "reales cerrados" (porque una cierta caracterización de los cuerpos reales cerrados se ha extendido a los anillos). Ninguno de ellos conduce a la clase de anillos reales cerrados y ninguno de ellos permite una noción satisfactoria de una operación de clausura. Un punto central en la definición de anillos reales cerrados es la globalización de la noción de un cuerpo real cerrado a los anillos cuando estos anillos se representan como anillos de funciones en algún espacio (típicamente, el espectro real del anillo).

Referencias

• Cherlin, Gregory. Anillos de funciones continuas: problemas de decisión. Teoría de modelos de álgebra y aritmética (Proc. Conf., Karpacz, 1979), págs. 44-91, Lecture Notes in Math., 834, Springer, Berlín, 1980.
• Cherlin, Gregory(1-RTG2); Dickmann, Max A. Anillos cerrados reales. II. Teoría de modelos. Ann. Pure Appl. Logic 25 (1983), núm. 3, 213–231.
• A. Prestel, N. Schwartz. Teoría de modelos de anillos cerrados reales. Teoría de la valoración y sus aplicaciones, vol. I (Saskatoon, SK, 1999), 261–290, Fields Inst. Commun., 32, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2002.
• Schwartz, Niels. La teoría básica de los espacios cerrados reales. Memorias de la American Mathematical Society 1989 ( ISBN  0821824600 )
• Schwartz, Niels; Madden, James J. Anillos de funciones semialgebraicas y reflectores de anillos parcialmente ordenados. Lecture Notes in Mathematics, 1712. Springer-Verlag, Berlín, 1999
• Schwartz, Niels. Anillos cerrados reales. Álgebra y orden (Luminy-Marseille, 1984), 175–194, Res. Exp. Math., 14, Heldermann, Berlín, 1986
• Schwartz, Niels. Anillos de funciones continuas como anillos cerrados reales. Estructuras algebraicas ordenadas (Curaçao, 1995), 277–313, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1997.
• Tressl, Marcus. Anillos cerrados súper reales. Fundamenta Mathematicae 194 (2007), núm. 2, 121–177.