Casi excelente

Demostración, con varillas de Cuisenaire , de la naturaleza 2-casi prima del número 6

En teoría de números , un número natural se llama k -casi primo si tiene k factores primos . ^{[1] [2] [3]} Más formalmente, un número n es k -casi primo si y sólo si Ω ( n ) = k , donde Ω( n ) es el número total de primos en la factorización prima de n (puede también puede verse como la suma de todos los exponentes de los primos):

${\displaystyle \Omega (n):=\sum a_{i}\qquad {\mbox{if}}\qquad n=\prod p_{i}^{a_{i}}.}$

Por tanto, un número natural es primo si y sólo si es 1-casi primo, y semiprimo si y sólo si es 2-casi primo. El conjunto de k -casi primos suele denotarse por P _k . El k -casi primo más pequeño es 2 k . Los primeros k -casi primos son:

El número π _k ( n ) de enteros positivos menores o iguales a n con exactamente k divisores primos (no necesariamente distintos) es asintótico a: ^{[4] [ ¿relevante? ]}

${\displaystyle \pi _{k}(n)\sim \left({\frac {n}{\log n}}\right){\frac {(\log \log n)^{k-1}}{(k-1)!}},}$

a consecuencia de Landau . ^[5] Véase también el teorema de Hardy-Ramanujan . ^{[ ¿importante? ]}

Propiedades

• El múltiplo de un casi primo y un casi primo es un casi primo. ${\displaystyle k_{1}}$ ${\displaystyle k_{2}}$ ${\displaystyle (k_{1}+k_{2})}$
• Un casi primo no puede tener un casi primo como factor para todos . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n>k}$

Referencias

1. Sándor, József; Dragoslav, Mitrinović S.; Crstici, Borislav (2006). Manual de teoría de números I. Saltador . pag. 316.doi :10.1007/1-4020-3658-2 . ISBN 978-1-4020-4215-7.
2. Rényi, Alfréd A. (1948). "Sobre la representación de un número par como la suma de un número primo único y un número casi primo único". Izvestiya Rossiiskoi Akademii Nauk. Seriya Matematicheskaya (en ruso). 12 (1): 57–78.
3. Heath-Brown, DR (mayo de 1978). "Casi primos en progresiones aritméticas e intervalos cortos". Actas matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 83 (3): 357–375. Código Bib : 1978MPCPS..83..357H. doi :10.1017/S0305004100054657. S2CID  122691474.
4. Tenenbaum, Gerald (1995). Introducción a la teoría de números analítica y probabilística . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-41261-2.
5. Landau, Edmund (1953) [publicado por primera vez en 1909]. "§ 56, Über Summen der Gestalt ". Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen . vol. 1. Compañía editorial de Chelsea . pag. 211. ${\displaystyle \sum _{p\leq x}F(p,x)}$

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Casi excelente". MundoMatemático .