Subespacio afín más pequeño que contiene un subconjunto
En matemáticas , el casco afín o tramo afín de un conjunto S en el espacio euclidiano R n es el conjunto afín más pequeño que contiene S , [1] o equivalentemente, la intersección de todos los conjuntos afines que contienen S. Aquí, un conjunto afín puede definirse como la traducción de un subespacio vectorial .
La cáscara afín aff( S ) de S es el conjunto de todas las combinaciones afines de elementos de S , es decir,
![{\displaystyle \operatorname {aff} (S)=\left\{\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}x_{i}\,{\Bigg |}\,k>0 ,\,x_{i}\in S,\,\alpha _{i}\in \mathbb {R} ,\,\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}=1\ bien\}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ejemplos
- La cáscara afín del conjunto vacío es el conjunto vacío.
- La estructura afín de un singleton (un conjunto formado por un solo elemento) es el singleton en sí.
- La envoltura afín de un conjunto de dos puntos diferentes es la línea que los atraviesa.
- El casco afín de un conjunto de tres puntos que no están en una línea es el avión que los atraviesa.
- El casco afín de un conjunto de cuatro puntos que no están en un plano en R 3 es el espacio completo R 3 .
Propiedades
Para cualquier subconjunto![{\displaystyle S,T\subseteq X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {aff} (\operatorname {aff} S)=\operatorname {aff} S}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es un conjunto cerrado si es de dimensión finita.![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {aff} (S+T)=\operatorname {aff} S+\operatorname {aff} T}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Si entonces .
![{\displaystyle 0\en S}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {aff} S=\operatorname {span} S}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Si entonces es un subespacio lineal de .
![{\displaystyle s_{0}\en S}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {aff} (S)-s_{0}=\operatorname {span} (S-s_{0})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
.- Entonces, en particular, siempre es un subespacio vectorial de .
![{\displaystyle \operatorname {aff} (SS)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Si es convexo entonces
![{\displaystyle S}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {aff} (SS)=\displaystyle \bigcup _ {\lambda >0}\lambda (SS)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Para cada , donde está el cono más pequeño que contiene (aquí, un conjunto es un cono si es para todos y todos no negativos ).
![{\displaystyle s_{0}\en S}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {aff} S=s_{0}+\operatorname {cono} (SS)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {cono} (SS)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle SS}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle C\subseteq X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle rc\en C}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle c\en C}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle r\geq 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Por tanto, siempre hay un subespacio lineal de paralelo a .
![{\displaystyle \operatorname {cono} (SS)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {aff} S}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Conjuntos relacionados
- Si en lugar de una combinación afín se usa una combinación convexa , es decir, en la fórmula anterior se requiere que todas sean no negativas, se obtiene la cáscara convexa de S , que no puede ser mayor que la cáscara afín de S ya que hay más restricciones involucradas. .
![{\displaystyle \alpha _ {i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- La noción de combinación cónica da lugar a la noción de casco cónico.
- Sin embargo , si no se impone ninguna restricción a los números , en lugar de una combinación afín se tiene una combinación lineal , y el conjunto resultante es el tramo lineal de S , que contiene la envoltura afín de S.
![{\displaystyle \alpha _ {i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Referencias
- ^ Romano 2008, pag. 430 §16
Fuentes