Acción auto-dual de Palatini

Las variables de Ashtekar , que eran un nuevo formalismo canónico de la relatividad general , generaron nuevas esperanzas para la cuantización canónica de la relatividad general y finalmente llevaron a la gravedad cuántica de bucles . Smolin y otros descubrieron de forma independiente que existe de hecho una formulación lagrangiana de la teoría al considerar la formulación autodual del principio de acción tetrádica de Palatini de la relatividad general. ^{[1] [2] [3]} Estas pruebas se dieron en términos de espinores. Una prueba puramente tensorial de las nuevas variables en términos de tríadas fue dada por Goldberg ^[4] y en términos de tétradas por Henneaux et al. ^[5]

La acción de Palatini

La acción de Palatini para la relatividad general tiene como variables independientes la tétrada y una conexión de espín . Se pueden encontrar muchos más detalles y derivaciones en el artículo acción tetrádica de Palatini . La conexión de espín define una derivada covariante . La métrica del espacio-tiempo se recupera de la tétrada mediante la fórmula Definimos la "curvatura" mediante ${\displaystyle e_{I}^{\alpha }}$ ${\displaystyle {\omega _{\alpha }}^{IJ}}$ ${\displaystyle D_{\alpha }}$ ${\displaystyle g_{\alpha \beta }=e_{\alpha }^{I}e_{\beta }^{J}\eta _{IJ}.}$

${\displaystyle {\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}=\partial _{\alpha }{\omega _{\beta }}^{IJ}-\partial _{\beta }{\omega _{\alpha }}^{IJ}+\omega _{\alpha }^{IK}{\omega _{\beta K}}^{J}-\omega _{\beta }^{IK}{\omega _{\alpha K}}^{J}\qquad Eq.1.}$

El escalar de Ricci de esta curvatura está dado por . La acción de Palatini para la relatividad general se lee ${\displaystyle e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }{\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}}$

${\displaystyle S=\int d^{4}x\;e\;e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }\;{\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}[\omega ]}$

donde . La variación con respecto a la conexión de espín implica que la conexión de espín está determinada por la condición de compatibilidad y, por lo tanto, se convierte en la derivada covariante habitual . Por lo tanto, la conexión se convierte en una función de las tétradas y la curvatura se reemplaza por la curvatura de . Entonces es el escalar de Ricci real . La variación con respecto a la tétrada da la ecuación de Einstein ${\displaystyle e={\sqrt {-g}}}$ ${\displaystyle {\omega _{\alpha }}^{IJ}}$ ${\displaystyle D_{\alpha }e_{I}^{\beta }=0}$ ${\displaystyle \nabla _{\alpha }}$ ${\displaystyle {\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}}$ ${\displaystyle {R_{\alpha \beta }}^{IJ}}$ ${\displaystyle \nabla _{\alpha }}$ ${\displaystyle e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }{R_{\alpha \beta }}^{IJ}}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle R_{\alpha \beta }-{1 \over 2}g_{\alpha \beta }R=0.}$

Variables autoduales

Partes (anti)autoduales de un tensor

Necesitaremos lo que se llama tensor de antisimetría total o símbolo de Levi-Civita , , que es igual a +1 o −1 dependiendo de si es una permutación par o impar de , respectivamente, y cero si dos índices cualesquiera toman el mismo valor. Los índices internos de se elevan con la métrica de Minkowski . ${\displaystyle \varepsilon _{IJKL}}$ ${\displaystyle IJKL}$ ${\displaystyle 0123}$ ${\displaystyle \varepsilon _{IJKL}}$ ${\displaystyle \eta ^{IJ}}$

Ahora, dado cualquier tensor antisimétrico , definimos su dual como ${\displaystyle T^{IJ}}$

${\displaystyle *T^{IJ}={1 \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}T^{KL}.}$

La parte autodual de cualquier tensor se define como ${\displaystyle T^{IJ}}$

${\displaystyle {}^{+}T^{IJ}:={1 \over 2}\left(T^{IJ}-{i \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}T^{KL}\right)}$

con la parte anti-auto-dual definida como

${\displaystyle {}^{-}T^{IJ}:={1 \over 2}\left(T^{IJ}+{i \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}T^{KL}\right)}$

(la aparición de la unidad imaginaria está relacionada con la firma de Minkowski como veremos a continuación). ${\displaystyle i}$

Descomposición tensorial

Ahora, dado cualquier tensor antisimétrico , podemos descomponerlo como ${\displaystyle T^{IJ}}$

${\displaystyle T^{IJ}={\frac {1}{2}}\left(T^{IJ}-{\frac {i}{2}}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}T^{KL}\right)+{\frac {1}{2}}\left(T^{IJ}+{\frac {i}{2}}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}T^{KL}\right)={}^{+}T^{IJ}+{}^{-}T^{IJ}}$

donde y son las partes auto-duales y anti-auto-duales de respectivamente. Defina el proyector sobre la parte (anti-)auto-dual de cualquier tensor como ${\displaystyle {}^{+}T^{IJ}}$ ${\displaystyle {}^{-}T^{IJ}}$ ${\displaystyle T^{IJ}}$

${\displaystyle P^{(\pm )}={1 \over 2}(1\mp i*).}$

El significado de estos proyectores se puede hacer explícito. Concentrémonos en , ${\displaystyle P^{+}}$

${\displaystyle \left(P^{+}T\right)^{IJ}=\left({1 \over 2}(1-i*)T\right)^{IJ}={1 \over 2}\left({\delta ^{I}}_{K}{\delta ^{J}}_{L}-i{1 \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}\right)T^{KL}={1 \over 2}\left(T^{IJ}-{i \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}T^{KL}\right)={}^{+}T^{IJ}.}$

Entonces

${\displaystyle {}^{\pm }T^{IJ}=\left(P^{(\pm )}T\right)^{IJ}.}$

El corchete de mentira

Un objeto importante es el corchete de Lie definido por

${\displaystyle [F,G]^{IJ}:=F^{IK}{G_{K}}^{J}-G^{IK}{F_{K}}^{J},}$

Aparece en el tensor de curvatura (ver los dos últimos términos de la ecuación 1), y también define la estructura algebraica. Tenemos los resultados (demostrado a continuación):

${\displaystyle P^{(\pm )}[F,G]^{IJ}=\left[P^{(\pm )}F,G\right]^{IJ}=\left[F,P^{(\pm )}G\right]^{IJ}=\left[P^{(\pm )}F,P^{(\pm )}G\right]^{IJ}\qquad Eq.2}$

y

${\displaystyle [F,G]=\left[P^{+}F,P^{+}G\right]+\left[P^{-}F,P^{-}G\right].}$

Es decir, el corchete de Lie, que define un álgebra, se descompone en dos partes independientes separadas. Escribimos

${\displaystyle {\mathfrak {so}}(1,3)_{\mathbb {C} }={\mathfrak {so}}(1,3)_{\mathbb {C} }^{+}+{\mathfrak {so}}(1,3)_{\mathbb {C} }^{-}}$

donde contiene solo los elementos auto-duales (anti-auto-duales) de ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(1,3)_{\mathbb {C} }^{\pm }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(1,3)_{\mathbb {C} }.}$

La acción Palatini auto-dual

Definimos la parte autodual, , de la conexión como ${\displaystyle {A_{\alpha }}^{IJ}}$ ${\displaystyle {\omega _{\alpha }}^{IJ}}$

${\displaystyle {A_{\alpha }}^{IJ}={1 \over 2}\left({\omega _{\alpha }}^{IJ}-{i \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}{\omega _{\alpha }}^{KL}\right),}$

que se puede escribir de forma más compacta

${\displaystyle {A_{\alpha }}^{IJ}=\left(P^{+}\omega _{\alpha }\right)^{IJ}.}$

Definir como la curvatura de la conexión auto-dual ${\displaystyle {F_{\alpha \beta }}^{IJ}}$

${\displaystyle {F_{\alpha \beta }}^{IJ}=\partial _{\alpha }{A_{\beta }}^{IJ}-\partial _{\beta }{A_{\alpha }}^{IJ}+{A_{\alpha }}^{IK}{A_{\beta K}}^{J}-{A_{\beta }}^{IK}{A_{\alpha K}}^{J}.}$

Usando la ecuación 2 es fácil ver que la curvatura de la conexión auto-dual es la parte auto-dual de la curvatura de la conexión,

${\displaystyle {\begin{aligned}{F_{\alpha \beta }}^{IJ}&=\partial _{\alpha }\left(P^{+}\omega _{\beta }\right)^{IJ}-\partial _{\beta }\left(P^{+}\omega _{\alpha }\right)^{IJ}+\left[P^{+}\omega _{\alpha },P^{+}\omega _{\beta }\right]^{IJ}\\&=\left(P^{+}2\partial _{[\alpha }\omega _{\beta ]}\right)^{IJ}+\left(P^{+}[\omega _{\alpha },\omega _{\beta }]\right)^{IJ}\\&=\left(P^{+}\Omega _{\alpha \beta }\right)^{IJ}\end{aligned}}}$

La acción auto-dual es

${\displaystyle S=\int d^{4}x\;e\;e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }\;{F_{\alpha \beta }}^{IJ}.}$

Como la conexión es compleja, se trata de una relatividad general compleja y se deben especificar las condiciones adecuadas para recuperar la teoría real. Se pueden repetir los mismos cálculos realizados para la acción de Palatini, pero ahora con respecto a la conexión autodual . Variando el campo de la tétrada, se obtiene un análogo autodual de la ecuación de Einstein: ${\displaystyle {A_{\alpha }}^{IJ}}$

${\displaystyle {}^{+}R_{\alpha \beta }-{1 \over 2}g_{\alpha \beta }{}^{+}R=0.}$

El hecho de que la curvatura de la conexión autodual sea la parte autodual de la curvatura de la conexión ayuda a simplificar el formalismo 3+1 (los detalles de la descomposición en el formalismo 3+1 se darán más adelante). El formalismo hamiltoniano resultante se asemeja al de una teoría de calibre de Yang-Mills (esto no sucede con el formalismo 3+1 de Palatini, que básicamente se reduce al formalismo ADM habitual).

Derivación de los resultados principales para variables autoduales

Los resultados de los cálculos realizados aquí se pueden encontrar en el capítulo 3 de las notas Variables Ashtekar en la Relatividad Clásica. ^[6] El método de prueba sigue el dado en la sección II de El Hamiltoniano Ashtekar para la Relatividad General . ^[7] Necesitamos establecer algunos resultados para tensores lorentzianos (anti-)autoduales.

Identidades para el tensor totalmente antisimétrico

Dado que tiene firma , se deduce que ${\displaystyle \eta _{IJ}}$ ${\displaystyle (-,+,+,+)}$

${\displaystyle \varepsilon ^{IJKL}=-\varepsilon _{IJKL}.}$

Para ver esto considere,

${\displaystyle \varepsilon ^{0123}=\eta ^{0I}\eta ^{1J}\eta ^{2K}\eta ^{3L}\varepsilon _{IJKL}=(-1)(1)(1)(1)\varepsilon _{0123}=-\varepsilon _{0123}.}$

Con esta definición se pueden obtener las siguientes identidades,

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon ^{IJKO}\varepsilon _{LMNO}&=-6\delta _{[L}^{I}\delta _{M}^{J}\delta _{N]}^{K}&&{\text{Eq. 3}}\\\varepsilon ^{IJMN}\varepsilon _{KLMN}&=-4\delta _{[K}^{I}\delta _{L]}^{J}=-2\left(\delta _{K}^{I}\delta _{L}^{J}-\delta _{L}^{I}\delta _{K}^{J}\right)&&{\text{Eq. 4}}\end{aligned}}}$

(los corchetes indican antisimetrización sobre los índices).

Definición de tensor autodual

De la ecuación 4 se deduce que el cuadrado del operador de dualidad es menos la identidad,

${\displaystyle **T^{IJ}={1 \over 4}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}{\varepsilon _{MN}}^{KL}T^{MN}=-T^{IJ}}$

El signo menos aquí se debe al signo menos en la ecuación 4, que a su vez se debe a la firma de Minkowski. Si hubiéramos usado la firma euclidiana, es decir , en su lugar habría habido un signo positivo. Definimos que es autodual si y solo si ${\displaystyle (+,+,+,+)}$ ${\displaystyle S^{IJ}}$

${\displaystyle *S^{IJ}=iS^{IJ}.}$

(con la firma euclidiana la condición de autodualidad hubiera sido ). Digamos que es autodual, escríbalo como una parte real e imaginaria, ${\displaystyle *S^{IJ}=S^{IJ}}$ ${\displaystyle S^{IJ}}$

${\displaystyle S^{IJ}={1 \over 2}T^{IJ}+{\frac {i}{2}}U^{IJ}.}$

Escribe la condición autodual en términos de y , ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle *\left(T^{IJ}+iU^{IJ}\right)={1 \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}\left(T^{KL}+iU^{KL}\right)=i\left(T^{IJ}+iU^{IJ}\right).}$

Igualando partes reales leemos

${\displaystyle U^{IJ}=-{1 \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}T^{KL}}$

y entonces

${\displaystyle S^{IJ}={1 \over 2}\left(T^{IJ}-{i \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}T^{KL}\right)}$

¿Dónde está la parte real de ? ${\displaystyle T^{IJ}}$ ${\displaystyle 2S^{IJ}}$

Cálculo largo e importante

La demostración de la ecuación 2 es sencilla. Empezamos derivando un resultado inicial. Todas las demás fórmulas importantes se deducen fácilmente de él. A partir de la definición del corchete de Lie y con el uso de la identidad básica de la ecuación 3 tenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}*[F,*G]^{IJ}&={\frac {1}{2}}{\varepsilon _{MN}}^{IJ}\left(F^{MK}{(*G)_{K}}^{N}-(*G)^{MK}{F_{K}}^{N}\right)\\&={\frac {1}{2}}{\varepsilon _{MN}}^{IJ}\left(F^{MK}{\frac {1}{2}}{\varepsilon _{OPK}}^{N}G^{OP}-{\frac {1}{2}}{\varepsilon _{OP}}^{MK}G^{OP}{F_{K}}^{N}\right)\\&={1 \over 4}\left({\varepsilon _{MN}}^{IJ}{\varepsilon _{OP}}^{KN}+{\varepsilon _{NM}}^{IJ}{\varepsilon _{OP}}^{NK}\right){F^{M}}_{K}G^{OP}\\&={1 \over 2}{\varepsilon _{MN}}^{IJ}{\varepsilon _{OP}}^{KN}{F^{M}}_{K}G^{OP}\\&={1 \over 2}\varepsilon ^{MIJN}\varepsilon _{OPKN}{F_{M}}^{K}G^{OP}\\&=-{\frac {1}{2}}\varepsilon ^{KIJN}\varepsilon _{OPMN}{F^{M}}_{K}G^{OP}\\&={\frac {1}{2}}\left(\delta _{O}^{K}\delta _{P}^{I}\delta _{M}^{J}+\delta _{M}^{K}\delta _{O}^{I}\delta _{P}^{J}+\delta _{P}^{K}\delta _{M}^{I}\delta _{O}^{J}-\delta _{P}^{K}\delta _{O}^{I}\delta _{M}^{J}-\delta _{M}^{K}\delta _{P}^{I}\delta _{O}^{J}-\delta _{O}^{K}\delta _{M}^{I}\delta _{P}^{J}\right){F^{M}}_{K}G^{OP}\\&={\frac {1}{2}}\left({F^{J}}_{K}G^{KI}+{F^{K}}_{K}G^{IJ}+{F^{I}}_{K}G^{JK}-{F^{J}}_{K}G^{IK}-{F^{K}}_{K}G^{JI}-{F^{I}}_{K}G^{KJ}\right)\\&=-F^{IK}{G_{K}}^{J}+G^{IK}{F_{K}}^{J}\\&=-[F,G]^{IJ}\end{aligned}}}$

Eso da la fórmula

${\displaystyle *[F,*G]^{IJ}=-[F,G]^{IJ}\qquad Eq.5.}$

Derivación de resultados importantes

Ahora, utilizando la ecuación 5 junto con obtenemos ${\displaystyle **=-1}$

${\displaystyle *(-[F,G]^{IJ})=*(*[F,*G]^{IJ})=**[F,*G]^{IJ}=-[F,*G]^{IJ}.}$

Así que tenemos

${\displaystyle *[F,G]^{IJ}=[F,*G]^{IJ}\qquad Eq.6.}$

Considerar

${\displaystyle *[F,G]^{IJ}=-*[G,F]^{IJ}=-[G,*F]^{IJ}=[*F,G]^{IJ}.}$

donde en el primer paso hemos utilizado la antisimetría del corchete de Lie para intercambiar y , en el segundo paso hemos utilizado y en el último paso hemos utilizado de nuevo la antisimetría del corchete de Lie. Así que tenemos ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle Eq.6}$

${\displaystyle *[F,G]^{IJ}=[*F,G]^{IJ}\qquad Eq.7.}$

Entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(P^{(\pm )}[F,G]\right)^{IJ}&={1 \over 2}\left([F,G]^{IJ}\mp i*[F,G]^{IJ}\right)\\&={1 \over 2}\left([F,G]^{IJ}+[F,\mp i*G]^{IJ}\right)\\&=\left[F,P^{(\pm )}G\right]^{IJ}&&{\text{Eq. 8}}\end{aligned}}}$

donde usamos la ecuación 6 para pasar de la primera línea a la segunda. De manera similar, tenemos

${\displaystyle \left(P^{(\pm )}[F,G]\right)^{IJ}=[P^{(\pm )}F,G]^{IJ}\qquad Eq.9}$

utilizando la ecuación 7. Ahora bien, como es una proyección, satisface , como se puede verificar fácilmente mediante cálculo directo: ${\displaystyle P^{(\pm )}}$ ${\displaystyle (P^{(\pm )})^{2}=P^{(\pm )}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{}(P^{(\pm )})^{2}&={1 \over 4}(1\mp i*)(1\mp i*)\\{}&={1 \over 4}(1-**\mp 2i*)\\{}&={1 \over 4}(2\mp 2i*)\\{}&=P^{(\pm )}\end{aligned}}}$

Aplicando esto junto con la ecuación 8 y la ecuación 9 obtenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}{}\left(P^{(\pm )}[F,G]\right)^{IJ}&=\left((P^{(\pm )})^{2}[F,G]\right)^{IJ}\\&=\left(P^{(\pm )}[F,P^{(\pm )}G]\right)^{IJ}\\{}&=[P^{(\pm )}F,P^{(\pm )}G]^{IJ}\qquad Eq.10.\end{aligned}}}$

De la ecuación 10 y la ecuación 9 tenemos

${\displaystyle \left[P^{(\pm )}F,P^{(\pm )}G\right]^{IJ}=\left[P^{(\pm )}F,G\right]^{IJ}=\left[P^{(\pm )}F,P^{(\pm )}G+P^{(\mp )}G\right]^{IJ}=\left[P^{(\pm )}F,P^{(\pm )}G\right]^{IJ}+\left[P^{(\pm )}F,P^{(\mp )}G\right]^{IJ}}$

donde hemos utilizado que cualquier puede escribirse como una suma de sus partes auto-duales y anti-auto-duales, es decir . Esto implica: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=P^{(\pm )}G+P^{(\mp )}G}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{}\left[P^{+}F,P^{-}G\right]^{IJ}&=0\\{}\left[P^{-}F,P^{+}G\right]^{IJ}&=0\end{aligned}}}$

Resumen de los principales resultados

En total tenemos,

${\displaystyle \left(P^{(\pm )}[F,G]\right)^{IJ}=\left[P^{(\pm )}F,G\right]^{IJ}=\left[F,P^{(\pm )}G\right]^{IJ}=\left[P^{(\pm )}F,P^{(\pm )}G\right]^{IJ}}$

que es nuestro resultado principal, ya establecido anteriormente como ecuación 2. También tenemos que cualquier paréntesis se divide como

${\displaystyle [F,G]^{IJ}=\left[P^{+}F+P^{-}F,P^{+}G+P^{-}F\right]^{IJ}=\left[P^{+}F,P^{+}G\right]^{IJ}+\left[P^{-}F,P^{-}G\right]^{IJ}.}$

en una parte que depende sólo de tensores lorentzianos autoduales y es en sí misma la parte autodual de y una parte que depende sólo de tensores lorentzianos anti-autoduales y es la parte anti-autodual de ${\displaystyle [F,G]^{IJ},}$ ${\displaystyle [F,G]^{IJ}.}$

Derivación del formalismo de Ashtekar a partir de la acción dual del yo

La prueba que aquí se da sigue la dada en las conferencias de Jorge Pullin ^[8]

La acción de Palatini

${\displaystyle S(e,\omega )=\int d^{4}xee_{I}^{a}e_{J}^{b}{\Omega _{ab}}^{IJ}[\omega ]\qquad Eq.11}$

donde el tensor de Ricci, , se considera construido puramente a partir de la conexión , sin utilizar el cuerpo del marco. La variación con respecto a la tétrada da las ecuaciones de Einstein escritas en términos de las tétradas, pero para un tensor de Ricci construido a partir de la conexión que no tiene una relación a priori con la tétrada. La variación con respecto a la conexión nos dice que la conexión satisface la condición de compatibilidad habitual ${\displaystyle {\Omega _{ab}}^{IJ}}$ ${\displaystyle \omega _{a}^{IJ}}$

${\displaystyle D_{b}e_{a}^{I}=0.}$

Esto determina la conexión en términos de la tétrada y recuperamos el tensor de Ricci habitual.

La acción autodual para la relatividad general se da arriba.

${\displaystyle S(e,A)=\int d^{4}xee_{I}^{a}e_{J}^{b}{F_{ab}}^{IJ}[A]}$

¿Dónde está la curvatura de la , la parte auto-dual de , ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle A_{a}^{IJ}={1 \over 2}\left(\omega _{a}^{IJ}-{i \over 2}{\varepsilon ^{IJ}}_{MN}\omega _{a}^{MN}\right).}$

Se ha demostrado que es la parte dual del yo ${\displaystyle F[A]}$ ${\displaystyle \Omega [\omega ].}$

Sea el proyector sobre las tres superficies y defina campos vectoriales ${\displaystyle q_{b}^{a}=\delta _{b}^{a}+n^{a}n_{b}}$

${\displaystyle E_{I}^{a}=q_{b}^{a}e_{I}^{b},}$

que son ortogonales a . ${\displaystyle n^{a}}$

Escribiendo

${\displaystyle E_{I}^{a}=\left(\delta _{b}^{a}+n_{b}n^{a}\right)e_{I}^{b}}$

entonces podemos escribir

${\displaystyle {\begin{aligned}\int &d^{4}x\left(eE_{I}^{a}E_{J}^{b}{F_{ab}}^{IJ}-2eE_{I}^{a}e_{J}^{d}n_{d}n^{b}{F_{ab}}^{IJ}\right)=\\&=\int d^{4}x\left(e\left(\delta _{c}^{a}+n_{c}n^{a}\right)e_{I}^{c}\left(\delta _{d}^{b}+n_{d}n^{b}\right)e_{J}^{d}{F_{ab}}^{IJ}-2e\left(\delta _{c}^{a}+n_{c}n^{a}\right)e_{I}^{c}e_{J}^{d}n_{d}n^{b}{F_{ab}}^{IJ}\right)\\&=\int d^{4}x\left(ee_{I}^{a}e_{J}^{b}{F_{ab}}^{IJ}+en_{c}n^{a}e_{I}^{c}e_{J}^{b}{F_{ab}}^{IJ}+ee_{I}^{a}n_{d}n^{b}e_{J}^{d}{F_{ab}}^{IJ}+en_{c}n^{a}n_{d}n^{b}E_{I}^{c}E_{J}^{d}{F_{ab}}^{IJ}-2ee_{I}^{a}e_{J}^{d}n_{d}n^{b}{F_{ab}}^{IJ}-2n_{c}n^{a}e_{I}^{c}e_{J}^{d}n_{d}n^{b}{F_{ab}}^{IJ}\right)\\&=\int d^{4}xee_{I}^{a}e_{J}^{b}{F_{ab}}^{IJ}\\&=S(E,A)\end{aligned}}}$

donde usamos y . ${\displaystyle {F_{ab}}^{IJ}={F_{ba}}^{JI}}$ ${\displaystyle n^{a}n^{b}F_{ab}^{i}=0}$

Así que la acción se puede escribir

${\displaystyle S(E,A)=\int d^{4}x\left(eE_{I}^{a}E_{J}^{b}{F_{ab}}^{IJ}-2eE_{I}^{a}e_{J}^{d}n_{d}n^{b}{F_{ab}}^{IJ}\right)\qquad Eq.12}$

Tenemos . Ahora definimos ${\displaystyle e=N{\sqrt {q}}}$

${\displaystyle {\tilde {E}}_{I}^{a}={\sqrt {q}}E_{I}^{a}}$

Un tensor interno es autodual si y sólo si ${\displaystyle S^{IJ}}$

${\displaystyle *S^{IJ}:={1 \over 2}{\varepsilon ^{IJ}}_{MN}S^{MN}=iS^{IJ}}$

y dado que la curvatura es autodual tenemos ${\displaystyle {F_{ab}}^{IJ}}$

${\displaystyle {F_{ab}}^{IJ}=-i{1 \over 2}{\varepsilon ^{IJ}}_{MN}{F_{ab}}^{MN}}$

Sustituyendo esto en la acción (Ec. 12) tenemos,

${\displaystyle S(E,A)=\int d^{4}x\left(-i{\frac {1}{2}}\left({\frac {N}{\sqrt {q}}}\right){\tilde {E}}_{I}^{a}{\tilde {E}}_{J}^{b}{\varepsilon ^{IJ}}_{MN}{F_{ab}}^{MN}-2Nn^{b}{\tilde {E}}_{I}^{a}n_{J}{F_{ab}}^{IJ}\right)}$

donde denotamos . Elegimos el calibre y (esto significa ). Escribiendo , que en este calibre . Por lo tanto, ${\displaystyle n_{J}=e_{J}^{d}n_{d}}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}_{0}^{a}=0}$ ${\displaystyle n^{I}=\delta _{0}^{I}}$ ${\displaystyle n_{I}=\eta _{IJ}n^{J}=\eta _{00}\delta _{0}^{I}=-\delta _{0}^{I}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{IJKL}n^{L}=\varepsilon _{IJK}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{IJK0}=\varepsilon _{IJK}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S(E,A)&=\int d^{4}x\left(-i{1 \over 2}\left({N \over {\sqrt {q}}}\right){\tilde {E}}_{I}^{a}{\tilde {E}}_{J}^{b}\left({\varepsilon ^{IJ}}_{M0}{F_{ab}}^{M0}+{\varepsilon ^{IJ}}_{0M}{F_{ab}}^{0M}\right)-2Nn^{b}{\tilde {E}}_{I}^{a}n_{J}{F_{ab}}^{IJ}\right)\\&=\int d^{4}x\left(-i\left({N \over {\sqrt {q}}}\right){\tilde {E}}_{I}^{a}{\tilde {E}}_{J}^{b}{\varepsilon ^{IJ}}_{M}{F_{ab}}^{M0}+2Nn^{b}{\tilde {E}}_{I}^{a}{F_{ab}}^{I0}\right)\end{aligned}}}$

Los índices varían y los denotamos con letras minúsculas en un momento. Por la autodualidad de , ${\displaystyle I,J,M}$ ${\displaystyle 1,2,3}$ ${\displaystyle A_{a}^{IJ}}$

${\displaystyle A_{a}^{i0}=-i{1 \over 2}{\varepsilon ^{i0}}_{jk}A_{a}^{jk}=i{1 \over 2}{\varepsilon ^{i}}_{jk}A_{a}^{jk}=iA_{a}^{i}.}$

donde usamos

${\displaystyle {\varepsilon ^{i0}}_{jk}=-{\varepsilon ^{i}}_{0jk}=-{\varepsilon ^{i}}_{jk0}=-{\varepsilon ^{i}}_{jk}.}$

Esto implica

${\displaystyle {\begin{aligned}{F_{ab}}^{i0}&=\partial _{a}A_{b}^{i0}-\partial _{b}A_{a}^{i0}+A_{a}^{ik}{A_{bk}}^{0}-A_{b}^{ik}{A_{ak}}^{0}\\&=i\left(\partial _{a}A_{b}^{i}-\partial _{b}A_{a}^{i}+A_{a}^{ik}A_{bk}-A_{b}^{ik}A_{ak}\right)\\&=i\left(\partial _{a}A_{b}^{i}-\partial _{b}A_{a}^{i}+\varepsilon _{ijk}A_{a}^{j}A_{b}^{k}\right)\\&=iF_{ab}^{i}\end{aligned}}}$

Reemplazamos en el segundo término de la acción por . Necesitamos ${\displaystyle Nn^{b}}$ ${\displaystyle t^{b}-n^{b}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{t}A_{b}^{i}=t^{a}\partial _{a}A_{b}^{i}+A_{a}^{i}\partial _{b}t^{a}}$

y

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{b}\left(t^{a}A_{a}^{i}\right)=\partial _{b}\left(t^{a}A_{a}^{i}\right)+\varepsilon _{ijk}A_{b}^{j}\left(t^{a}A_{a}^{k}\right)}$

Para obtener

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{t}A_{b}^{i}-{\mathcal {D}}_{b}\left(t^{a}A_{a}^{i}\right)=t^{a}\left(\partial _{a}A_{b}^{i}-\partial _{b}A_{a}^{i}+\varepsilon _{ijk}A_{a}^{j}A_{b}^{k}\right)=t^{a}F_{ab}^{i}.}$

La acción se convierte en

${\displaystyle {\begin{aligned}S&=\int d^{4}x\left(-i\left({N \over {\sqrt {q}}}\right){\tilde {E}}_{I}^{a}{\tilde {E}}_{J}^{b}{\varepsilon ^{IJ}}_{M}{F_{ab}}^{M0}-2\left(t^{a}-N^{a}\right){\tilde {E}}_{I}^{b}{F_{ab}}^{I0}\right)\\&=\int d^{4}x\left(-2i{\tilde {E}}_{i}^{b}{\mathcal {L}}_{t}A_{b}^{i}+2i{\tilde {E}}_{i}^{b}{\mathcal {D}}_{b}\left(t^{a}A_{a}^{i}\right)+2iN^{a}{\tilde {E}}_{i}^{b}F_{ab}^{i}-\left({N \over {\sqrt {q}}}\right)\varepsilon _{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}F_{ab}^{k}\right)\end{aligned}}}$

donde intercambiamos las variables ficticias y en el segundo término de la primera línea. Integrando por partes en el segundo término, ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int d^{4}x{\tilde {E}}_{i}^{b}{\mathcal {D}}_{b}\left(t^{a}A_{a}^{i}\right)&=\int dtd^{3}x{\tilde {E}}_{i}^{b}\left(\partial _{b}(t^{a}A_{a}^{i})+\varepsilon _{ijk}A_{b}^{j}(t^{a}A_{a}^{k})\right)\\&=-\int dtd^{3}xt^{a}A_{a}^{i}\left(\partial _{b}{\tilde {E}}_{i}^{b}+\varepsilon _{ijk}A_{b}^{j}{\tilde {E}}_{k}^{b}\right)\\&=-\int d^{4}xt^{a}A_{a}^{i}{\mathcal {D}}_{b}{\tilde {E}}_{i}^{b}\end{aligned}}}$

donde hemos descartado el término límite y hemos utilizado la fórmula para la derivada covariante en una densidad vectorial : ${\displaystyle {\tilde {V}}_{i}^{b}}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{b}{\tilde {V}}_{i}^{b}=\partial _{b}{\tilde {V}}_{i}^{b}+\varepsilon _{ijk}A_{b}^{j}{\tilde {V}}_{k}^{b}.}$

La forma final de la acción que requerimos es

${\displaystyle S=\int d^{4}x\left(-2i{\tilde {E}}_{i}^{b}{\mathcal {L}}_{t}A_{b}^{i}-2i\left(t^{a}A_{a}^{i}\right){\mathcal {D}}_{b}{\tilde {E}}_{i}^{b}+2iN^{a}{\tilde {E}}_{i}^{b}F_{ab}^{i}+\left({N \over {\sqrt {q}}}\right)\varepsilon _{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}F_{ab}^{k}\right)}$

Hay un término de la forma " ", por lo que la cantidad es el momento conjugado de . Por lo tanto, podemos escribir inmediatamente ${\displaystyle p{\dot {q}}}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$ ${\displaystyle A_{a}^{i}}$

${\displaystyle \left\{A_{a}^{i}(x),{\tilde {E}}_{j}^{b}(y)\right\}={i \over 2}\delta _{a}^{b}\delta _{j}^{i}\delta ^{3}(x,y).}$

La variación de la acción con respecto a las cantidades no dinámicas , es decir, el componente de tiempo de la conexión de cuatro, la función de desplazamiento y la función de lapso dan las restricciones ${\displaystyle (t^{a}A_{a}^{i})}$ ${\displaystyle N^{b}}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{a}{\tilde {E}}_{i}^{a}=0,}$

${\displaystyle F_{ab}^{i}{\tilde {E}}_{i}^{b}=0,}$

${\displaystyle \varepsilon _{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}F_{ab}^{k}=0\qquad Eq.13.}$

Al variar con respecto a, se obtiene la última restricción en la ecuación 13 dividida por , y se ha reescalado para hacer que la restricción sea polinómica en las variables fundamentales. La conexión se puede escribir ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\sqrt {q}}}$ ${\displaystyle A_{a}^{i}}$

${\displaystyle A_{a}^{i}={1 \over 2}{\varepsilon ^{i}}_{jk}A_{a}^{jk}={1 \over 2}{\varepsilon ^{i}}_{jk}\left(\omega _{a}^{jk}-i{1 \over 2}\left({\varepsilon ^{jk}}_{m0}\omega _{a}^{m0}+{\varepsilon ^{jk}}_{0m}\omega _{a}^{0m}\right)\right)=\Gamma _{a}^{i}-i\omega _{a}^{0i}}$

y

${\displaystyle E_{ci}\omega _{a}^{0i}=-q_{a}^{b}E_{ci}\omega _{b}^{i0}=-q_{a}^{b}E_{ci}e^{di}\nabla _{b}e_{d}^{0}=q_{a}^{b}q_{c}^{d}\nabla _{b}n_{d}=K_{ac}}$

donde usamos

${\displaystyle e_{d}^{0}=\eta ^{0I}g_{dc}e_{I}^{c}=-g_{dc}e_{0}^{c}=-n_{d},}$

Por lo tanto . Así que la conexión se lee ${\displaystyle \omega _{a}^{0i}=K_{a}^{i}}$

${\displaystyle A_{a}^{i}=\Gamma _{a}^{i}-iK_{a}^{i}.}$

Esta es la llamada conexión de espín quiral.

Condiciones de la realidad

Como las variables de Ashtekar son complejas, se obtiene una relatividad general compleja. Para recuperar la teoría real hay que imponer lo que se conoce como condiciones de realidad. Éstas exigen que la tríada densificada sea real y que la parte real de la conexión de Ashtekar sea igual a la conexión de espín compatible.

Más adelante se dirá más sobre esto.

Véase también

• Álgebra de Lie
• Acción de Plebanski
• Modelo BF

Referencias

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2. Jacobson, Ted; Smolin, Lee (1987). "La conexión de espín zurdo como variable para la gravedad canónica". Physics Letters B . 196 (1). Elsevier BV: 39–42. Bibcode :1987PhLB..196...39J. doi :10.1016/0370-2693(87)91672-8. ISSN  0370-2693.
3. Jacobson, T; Smolin, L (1988-04-01). "Acción covariante para la forma de gravedad canónica de Ashtekar". Gravedad clásica y cuántica . 5 (4). IOP Publishing: 583–594. Bibcode :1988CQGra...5..583J. doi :10.1088/0264-9381/5/4/006. ISSN  0264-9381. S2CID  250866876.
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