257 gon

Polígono de 257 lados

En geometría , un 257-gono es un polígono con 257 lados. La suma de los ángulos interiores de cualquier 257-gono que no se intersecte consigo mismo es 45.900°.

257-gon regular

El área de un polígono regular de 257 es (con t = longitud del borde )

${\displaystyle A={\frac {257}{4}}t^{2}\cot {\frac {\pi }{257}}\approx 5255.751t^{2}.}$

Un polígono regular de 257 puntos no se puede distinguir visualmente de un círculo , y su perímetro difiere del del círculo circunscrito en aproximadamente 24 partes por millón .

Construcción

El polígono regular 257 (uno con todos los lados iguales y todos los ángulos iguales) es interesante por ser un polígono construible : es decir, se puede construir utilizando un compás y una regla sin marcar . Esto se debe a que 257 es un primo de Fermat , siendo de la forma 2 ^{2 n}  + 1 (en este caso n  = 3). Por lo tanto, los valores y son números algebraicos de 128 grados y, como todos los números construibles, se pueden escribir utilizando raíces cuadradas y no raíces de orden superior. ${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{257}}}$ ${\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{257}}}$

Aunque Gauss ya sabía en 1801 que el 257-gono regular era construible, las primeras construcciones explícitas de un 257-gono regular fueron dadas por Magnus Georg Paucker (1822) ^[1] y Friedrich Julius Richelot (1832). ^[2] Otro método implica el uso de 150 círculos, 24 de los cuales son círculos de Carlyle : este método se muestra en la siguiente imagen. Uno de estos círculos de Carlyle resuelve la ecuación cuadrática x ²  +  x  − 64 = 0. ^[3]

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  Paso 1
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  Paso 6
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  Paso 8
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  Paso 9

Simetría

El 257-gono regular tiene simetría Dih ₂₅₇ , orden 514. Como 257 es un número primo, hay un subgrupo con simetría diedral: Dih ₁ , y 2 simetrías de grupo cíclicas : Z ₂₅₇ y Z ₁ .

257 gramos

Un 257-gramo es un polígono estrellado de 257 lados . Como 257 es primo, hay 127 formas regulares generadas por símbolos de Schläfli {257/ n } para todos los números enteros 2 ≤  n  ≤ 128 como . ${\displaystyle \left\lfloor {\frac {257}{2}}\right\rfloor =128}$

A continuación se muestra una vista de {257/128}, con 257 aristas casi radiales, con sus ángulos internos en el vértice de la estrella de 180°/257 (~0,7°).

Véase también

• 17-gon

Referencias

1. Magnus Georg Paucker (1822). "Das regelmäßige Zweyhundersiebenundfunfzig-Eck im Kreise". Jahresverhandlungen der Kurländischen Gesellschaft für Literatur und Kunst (en alemán). 2 : 188.Recuperado el 8 de diciembre de 2015.
2. Federico Julio Richelot (1832). "De resolución algebraica aequationis x257 = 1, ..." Journal für die reine und angewandte Mathematik (en latín). 9 : 1–26, 146–161, 209–230, 337–358.Recuperado el 8 de diciembre de 2015.
3. DeTemple, Duane W. (febrero de 1991). "Círculos de Carlyle y simplicidad de Lemoine en construcciones de polígonos" (PDF) . The American Mathematical Monthly . 98 (2): 97–108. doi :10.2307/2323939. JSTOR  2323939. Archivado desde el original (PDF) el 21 de diciembre de 2015 . Consultado el 6 de noviembre de 2011 .

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "257-gon". MundoMatemático .
• Robert Dixon Mathographics . Nueva York: Dover, pág. 53, 1991.
• Benjamin Bold, Problemas famosos de geometría y cómo resolverlos. Nueva York: Dover, pág. 70, 1982. ISBN 978-0486242972 
• HSM Coxeter Introducción a la geometría , 2.ª ed. Nueva York: Wiley, 1969. Capítulo 2, Polígonos regulares
• Leonard Eugene Dickson Construcciones con regla y compás; polígonos regulares. Cap. 8 en Monografías sobre temas de matemáticas modernas *relevantes para el campo elemental (Ed. JWA Young). Nueva York: Dover, págs. 352–386, 1955.
• 257-gono, construcción exacta del 1er lado utilizando la cuadratriz según Hipias como ayuda adicional (alemán)