En teoría de probabilidad , un miembro de la clase de distribuciones ( a , b , 0) es cualquier distribución de una variable aleatoria discreta N cuyos valores son números enteros no negativos cuya función de masa de probabilidad satisface la fórmula de recurrencia.
para algunos números reales a y b , donde .
La clase de distribuciones (a,b,0) también se conoce como distribución Panjer, [1] [2] tipo Poisson o familia de distribuciones Katz, [3] [4] y se puede recuperar a través de la distribución Conway–Maxwell–Poisson .
Sólo las distribuciones de Poisson , binomial y binomial negativa satisfacen la forma completa de esta relación. Éstas son también las tres distribuciones discretas entre los seis miembros de la familia exponencial natural con funciones de varianza cuadrática (NEF–QVF).
Se pueden definir distribuciones más generales fijando algunos valores iniciales de p j y aplicando la recursión para definir los valores subsiguientes. Esto puede ser útil para ajustar distribuciones a datos empíricos. Sin embargo, hay otras distribuciones bien conocidas disponibles si la recursión anterior solo se cumple para un rango restringido de valores de k : [5] por ejemplo, la distribución logarítmica y la distribución uniforme discreta .
La clase de distribuciones ( a , b , 0) tiene aplicaciones importantes en la ciencia actuarial en el contexto de los modelos de pérdidas. [6]
Sundt [7] demostró que sólo la distribución binomial , la distribución de Poisson y la distribución binomial negativa pertenecen a esta clase de distribuciones, y que cada distribución está representada por un signo diferente de a . Además, Fackler [2] demostró que existe una fórmula universal para las tres distribuciones, llamada distribución de Panjer (unida) .
Los parámetros más habituales de estas distribuciones están determinados tanto por a como por b . Las propiedades de estas distribuciones en relación con la presente clase de distribuciones se resumen en la siguiente tabla. Nótese que denota la función generadora de probabilidad .
Nótese que la distribución de Panjer se reduce a la distribución de Poisson en el caso límite ; coincide con la distribución binomial negativa para números reales finitos positivos y es igual a la distribución binomial para números enteros negativos .
Una forma sencilla de determinar rápidamente si una muestra dada fue tomada de una distribución de la clase ( a , b , 0) es graficar la relación de dos datos observados consecutivos (multiplicados por una constante) contra el eje x .
Al multiplicar ambos lados de la fórmula recursiva por , obtienes
lo que demuestra que el lado izquierdo es obviamente una función lineal de . Cuando se utiliza una muestra de datos, se debe realizar una aproximación de la de . Si representa el número de observaciones que tienen el valor , entonces es un estimador insesgado del verdadero .
Por lo tanto, si se observa una tendencia lineal, se puede suponer que los datos se toman de una distribución ( a , b , 0). Además, la pendiente de la función sería el parámetro , mientras que la ordenada en el origen sería .