Bucle de 't Hooft

Operador de bucle magnético dual al bucle Wilson

En la teoría cuántica de campos , el bucle 't Hooft es un análogo magnético del bucle de Wilson para el cual los bucles espaciales dan lugar a bucles delgados de flujo magnético asociados con vórtices magnéticos . Desempeñan el papel de un parámetro de desorden para la fase de Higgs en la teoría de calibre pura . Las condiciones de consistencia entre cargas eléctricas y magnéticas limitan los posibles bucles 't Hooft que se pueden utilizar, de manera similar a la forma en que la condición de cuantificación de Dirac limita el conjunto de monopolos magnéticos permitidos . Fueron introducidos por primera vez por Gerard 't Hooft en 1978 en el contexto de las posibles fases que admiten las teorías de calibre. ^[1]

Definición

Hay varias formas de definir las líneas y los bucles de 't Hooft. Para las curvas temporales , son equivalentes a la configuración de calibración que surge de la línea de mundo trazada por un monopolo magnético. ^[2] Se trata de configuraciones de campo de calibración singulares en la línea, de modo que su porción espacial tiene un campo magnético cuya forma se aproxima a la de un monopolo magnético. ${\displaystyle C}$

${\displaystyle B^{i}\xrightarrow {r\rightarrow 0} {\frac {x^{i}}{4\pi r^{3}}}Q(x),}$

donde en la teoría de Yang-Mills se encuentra el objeto generalmente valorado en el álgebra de Lie que especifica la carga magnética. Las líneas de 't Hooft también se pueden insertar en la integral de trayectoria al requerir que la medida del campo de calibre solo pueda ejecutarse sobre configuraciones cuyo campo magnético adopte la forma anterior. ${\displaystyle Q(x)}$

De manera más general, el bucle 't Hooft se puede definir como el operador cuyo efecto es equivalente a realizar una transformación de calibre modificada que es singular en el bucle de tal manera que cualquier otro bucle parametrizado por con un número de vueltas alrededor satisface ^[3] ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C'}$ ${\displaystyle s\in [0,1]}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle \Omega (s=1)=e^{i2\pi l/N}\Omega (s=0).}$

Estas transformaciones de calibre modificadas no son transformaciones de calibre verdaderas, ya que no dejan la acción invariante. Para los bucles temporales, crean las configuraciones de campo mencionadas anteriormente, mientras que para los bucles espaciales, en cambio, crean bucles de flujo magnético de color, denominados vórtices centrales . Al construir tales transformaciones de calibre, se puede derivar una forma explícita para el bucle 't Hooft introduciendo el operador de momento conjugado de Yang-Mills.

${\displaystyle \Pi _{i}^{a}(x)=-i{\frac {\delta }{\delta A_{i}^{a}(x)}}.}$

Si el bucle encierra una superficie , entonces una forma explícita del operador de bucle 't Hooft es ^[4] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle T[C]=e^{i\int d^{3}xA_{i}^{a}(\Sigma ,x)\Pi _{i}^{a}(x)}.}$

Usando el teorema de Stokes, esto se puede reescribir de una manera que muestre que mide el flujo eléctrico a través de , de manera análoga a cómo el bucle de Wilson mide el flujo magnético a través de la superficie cerrada. ${\displaystyle \Sigma }$

Existe una relación estrecha entre los bucles de 't Hooft y Wilson, donde dados dos bucles y que tienen número de enlace , entonces el bucle de 't Hooft y el bucle de Wilson satisfacen ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C'}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle T[C]}$ ${\displaystyle W[C']}$

${\displaystyle T[C]W[C']=z^{l}W[C']T[C],}$

donde es un elemento del centro del grupo de calibración. Esta relación puede tomarse como una característica definitoria de los bucles de 't Hooft. Las propiedades de conmutación entre estos dos operadores de bucle se utilizan a menudo en la teoría de campos topológicos donde estos operadores forman un álgebra . ${\displaystyle z}$

Operador de desorden

El bucle 't Hooft es un operador de desorden ya que crea singularidades en el campo de calibración, con su valor esperado que distingue la fase desordenada de la teoría pura de Yang-Mills de la fase de confinamiento ordenada . De manera similar al bucle de Wilson, el valor esperado del bucle 't Hooft puede seguir la ley del área ^[5]

${\displaystyle \langle T[C]\rangle \sim e^{-aA[C]},}$

donde es el área encerrada por el bucle y es una constante, o puede seguir la ley del perímetro ${\displaystyle A[C]}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle \langle T[C]\rangle \sim e^{-bL[C]},}$

donde es la longitud del bucle y es una constante. ${\displaystyle L[C]}$ ${\displaystyle b}$

Sobre la base de la relación de conmutación entre los bucles de 't Hooft y Wilson, se pueden identificar cuatro fases para las teorías de calibración que además contienen escalares en representaciones invariantes bajo la simetría central . Las cuatro fases son ${\displaystyle {\text{SU}}(N)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{N}}$

• Confinamiento: los bucles de Wilson siguen la ley del área, mientras que los bucles de 't Hooft siguen la ley del perímetro.
• Fase de Higgs: los bucles de Wilson siguen la ley del perímetro mientras que los bucles de 't Hooft siguen la ley del área.
• Confinamiento junto con fase parcialmente de Higgs: ambos siguen la ley del área.
• Fase mixta: ambas siguen la ley del perímetro.

En la tercera fase, el grupo de calibración se descompone solo parcialmente en un subgrupo no abeliano más pequeño . La fase mixta requiere que los bosones de calibración sean partículas sin masa y no se produce en el caso de las teorías, pero es similar a la fase de Coulomb para la teoría de calibración abeliana . ${\displaystyle {\text{SU}}(N)}$

Dado que los operadores 't Hooft son operadores de creación para vórtices centrales, juegan un papel importante en el escenario de vórtice central para confinamiento. ^[6] En este modelo, son estos vórtices los que conducen a la ley del área del bucle de Wilson a través de las fluctuaciones aleatorias en el número de vórtices vinculados topológicamente .

Restricciones de carga

En presencia de líneas de 't Hooft y líneas de Wilson, una teoría requiere condiciones de consistencia similares a la condición de cuantificación de Dirac que surge cuando están presentes tanto monopolos eléctricos como magnéticos. ^[7] Para un grupo de calibración donde es el grupo de recubrimiento universal con un álgebra de Lie y es un subgrupo del centro, entonces el conjunto de líneas de Wilson permitidas está en correspondencia biunívoca con las representaciones de . Esto se puede formular de forma más precisa introduciendo los pesos del álgebra de Lie, que abarcan la red de pesos . Denotando como la red abarcada por los pesos asociados con el álgebra de en lugar de , las líneas de Wilson están en correspondencia biunívoca con la red de puntos donde es el grupo de Weyl. ${\displaystyle G={\tilde {G}}/H}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$ ${\displaystyle \Lambda _{w}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \Lambda _{w}^{G}\subset \Lambda _{w}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \Lambda _{w}^{G}/W}$ ${\displaystyle W}$

La carga de la línea de 't Hooft valorada en el álgebra de Lie siempre se puede escribir en términos de la subálgebra de Cartan de rango como , donde es un vector de carga de dimensión . Debido a las líneas de Wilson, la carga de 't Hooft debe satisfacer la condición de cuantificación de Dirac generalizada , que debe cumplirse para todas las representaciones del álgebra de Lie. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {H}}}$ ${\displaystyle Q={\boldsymbol {m}}\cdot {\boldsymbol {H}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {m}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle e^{i{\boldsymbol {m}}\cdot {\boldsymbol {H}}}=1}$

La condición de cuantificación generalizada es equivalente a la demanda que se cumple para todos los vectores de peso. Para obtener el conjunto de vectores que satisfacen esta condición, se deben considerar raíces que son vectores de peso de representación adjuntos . Las co-raíces, definidas utilizando raíces por , abarcan la red de co-raíces . Estos vectores tienen la propiedad útil de que lo que significa que las únicas cargas magnéticas permitidas para las líneas de 't Hooft son las que están en la red de co-raíces ${\displaystyle {\boldsymbol {m}}\cdot {\boldsymbol {\mu }}\in 2\pi \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {m}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}^{\vee }=2{\boldsymbol {\alpha }}/{\boldsymbol {\alpha }}^{2}}$ ${\displaystyle \Lambda _{\text{co-root}}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}^{\vee }\cdot {\boldsymbol {\mu }}\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {m}}\in 2\pi \Lambda _{\text{co-root}}({\mathfrak {g}}).}$

Esto a veces se escribe en términos del álgebra dual de Langlands de con una red de pesos , en cuyo caso las líneas de 't Hooft se describen mediante . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\vee }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \Lambda _{mw}}$ ${\displaystyle \Lambda _{mw}/W}$

También se pueden construir clases más generales de operadores de línea diónicos , con cargas eléctricas y magnéticas. A veces llamados operadores de línea de Wilson-'t Hooft, se definen por pares de cargas hasta la identificación de que para todo lo que se cumple ${\displaystyle (\lambda _{e},\lambda _{m})\in \Lambda _{w}\times \Lambda _{mw}}$ ${\displaystyle w\in W}$

${\displaystyle (\lambda _{e},\lambda _{m})\sim (w\lambda _{e},w\lambda _{m}).}$

Los operadores de línea juegan un papel en indicar diferencias en las teorías de calibración de la forma que difieren por el subgrupo central . A menos que se compactifiquen , estas teorías no difieren en la física local y ninguna cantidad de experimentos locales puede deducir el grupo de calibración exacto de la teoría. A pesar de esto, las teorías difieren en sus propiedades globales, como tener diferentes conjuntos de operadores de línea permitidos. Por ejemplo, en las teorías de calibración, los bucles de Wilson están etiquetados por mientras que las líneas de 't Hooft por . Sin embargo, en las redes se invierten donde ahora las líneas de Wilson están determinadas por mientras que las líneas de 't Hooft están determinadas por . ^[8] ${\displaystyle G={\tilde {G}}/H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(N)}$ ${\displaystyle \Lambda _{w}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \Lambda _{\text{co-root}}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(N)/\mathbb {Z} _{N}}$ ${\displaystyle \Lambda _{\text{co-root}}}$ ${\displaystyle \Lambda _{w}}$

Véase también

• Bucle de Polyakov

Referencias

1. 't Hooft, G. (1978). "Sobre la transición de fase hacia el confinamiento permanente de quarks". Física nuclear B . 138 (1): 1–25. Código Bibliográfico :1978NuPhB.138....1T. doi :10.1016/0550-3213(78)90153-0.
2. Tong, D. (2018), "2", Notas de clase sobre teoría de calibres , págs. 89-90
3. Năstase, H. (2019). "50". Introducción a la teoría cuántica de campos . Cambridge University Press. págs. 472–474. ISBN 978-1108493994.
4. Reinhardt, H. (2002). "Sobre el operador de bucle de 't Hooft". Phys. Lett. B . 557 (3–4): 317–323. arXiv : hep-th/0212264 . doi :10.1016/S0370-2693(03)00199-0. S2CID  119533753.
5. Greensite, J. (2020). "4". Introducción al problema del confinamiento (2.ª ed.). Springer. pp. 43–47. ISBN 978-3030515621.
6. Englehardt, M.; et al. (1998). "Interacción de vórtices confinantes en la teoría de calibración reticular SU(2)". Phys. Lett. B . 431 (1–2): 141–146. arXiv : hep-lat/9801030 . Código Bibliográfico :1998PhLB..431..141E. doi :10.1016/S0370-2693(98)00583-8. S2CID  16961390.
7. Ofer, A.; Seiberg, N .; Tachikawa, Yuji (2013). "Lectura entre líneas de las teorías de calibración de cuatro dimensiones". JHEP . 2013 (8): 115. arXiv : 1305.0318 . Bibcode :2013JHEP...08..115A. doi :10.1007/JHEP08(2013)115. S2CID  118572353.
8. Kapustin, A. (2006). "Operadores de Wilson-'t Hooft en teorías de calibración de cuatro dimensiones y S-dualidad". Phys. Rev. D . 74 (2): 25005. arXiv : hep-th/0501015 . Código Bibliográfico :2006PhRvD..74b5005K. doi :10.1103/PhysRevD.74.025005. S2CID  17774689.