Deformación (mecánica)

Cantidad tensorial simétrica de la deformación causada por la tensión en la materia.

En mecánica , la deformación se define como deformación relativa , en comparación con una configuración de posición de referencia . Se pueden hacer diferentes elecciones equivalentes para la expresión de un campo de deformaciones dependiendo de si se define con respecto a la configuración inicial o final del cuerpo y de si se considera el tensor métrico o su dual.

La deformación tiene una dimensión de relación de longitud , con unidades básicas del SI de metro por metro (m/m). Por lo tanto, las deformaciones no tienen dimensiones y generalmente se expresan como una fracción decimal o un porcentaje . También se utiliza la notación de partes por , por ejemplo, partes por millón o partes por mil millones (a veces denominadas "microdeformaciones" y "nanodeformaciones", respectivamente), correspondientes a μm /m y nm /m.

La deformación se puede formular como la derivada espacial del desplazamiento :

$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\doteq {\cfrac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left(\mathbf {x} -\mathbf {X} \right)={\boldsymbol {F}}'-{\boldsymbol {I}},}$$

Itensor de identidadx = F ( X )X^[1]

Una deformación es en general una cantidad tensorial . Se puede obtener una visión física de las deformaciones observando que una deformación determinada se puede descomponer en componentes normales y de corte. La cantidad de estiramiento o compresión a lo largo de las fibras o elementos de la línea de material es la deformación normal , y la cantidad de distorsión asociada con el deslizamiento de capas planas una sobre otra es la deformación cortante , dentro de un cuerpo deformado. ^[2] Esto podría aplicarse mediante alargamiento, acortamiento o cambios de volumen, o distorsión angular. ^[3]

El estado de deformación en un punto material de un cuerpo continuo se define como la totalidad de todos los cambios en la longitud de las líneas o fibras materiales, la deformación normal , que pasan por ese punto y también la totalidad de todos los cambios en el ángulo entre pares de líneas inicialmente perpendiculares entre sí, la deformación cortante , que irradia desde este punto. Sin embargo, es suficiente conocer las componentes normal y cortante de la deformación en un conjunto de tres direcciones mutuamente perpendiculares.

Si hay un aumento en la longitud de la línea de material, la deformación normal se llama deformación por tracción ; de lo contrario, si hay reducción o compresión en la longitud de la línea de material, se denomina deformación por compresión .

Regímenes de cepas

Dependiendo de la cantidad de deformación o deformación local, el análisis de la deformación se subdivide en tres teorías de la deformación:

• La teoría de las deformaciones finitas , también llamada teoría de las deformaciones grandes , teoría de las grandes deformaciones , se ocupa de las deformaciones en las que tanto las rotaciones como las deformaciones son arbitrariamente grandes. En este caso, las configuraciones no deformadas y deformadas del continuo son significativamente diferentes y debe hacerse una distinción clara entre ellas. Este suele ser el caso de los elastómeros , materiales que se deforman plásticamente y otros fluidos y tejidos blandos biológicos .
• Teoría de deformaciones infinitesimales , también llamada teoría de deformaciones pequeñas , teoría de deformaciones pequeñas , teoría de desplazamientos pequeños o teoría de gradiente de desplazamiento pequeño donde las deformaciones y las rotaciones son pequeñas. En este caso se puede suponer que las configuraciones deformadas y no deformadas de la carrocería son idénticas. La teoría de la deformación infinitesimal se utiliza en el análisis de deformaciones de materiales que exhiben comportamiento elástico , como materiales que se encuentran en aplicaciones de ingeniería civil y mecánica, por ejemplo, hormigón y acero.
• Teoría de los grandes desplazamientos o de las grandes rotaciones , que supone pequeñas deformaciones pero grandes rotaciones y desplazamientos.

Medidas de tensión

En cada una de estas teorías la tensión se define de manera diferente. La deformación de ingeniería es la definición más común aplicada a los materiales utilizados en ingeniería mecánica y estructural, que están sujetos a deformaciones muy pequeñas. Por otra parte, para algunos materiales, por ejemplo, elastómeros y polímeros, sujetos a grandes deformaciones, la definición de ingeniería de deformación no es aplicable, por ejemplo, deformaciones de ingeniería típicas superiores al 1%; ^[4] por lo tanto, se requieren otras definiciones más complejas de deformación, como estiramiento , deformación logarítmica , deformación de Green y deformación de Almansi .

Cepa de ingeniería

La deformación de ingeniería , también conocida como deformación de Cauchy , se expresa como la relación entre la deformación total y la dimensión inicial del cuerpo material sobre el que se aplican las fuerzas. En el caso de un elemento de línea de material o fibra cargado axialmente, su alargamiento da lugar a una deformación normal de ingeniería o deformación extensional de ingeniería e , que es igual al alargamiento relativo o al cambio de longitud Δ L por unidad de la longitud original L de la línea. elemento o fibras (en metros por metro). La deformación normal es positiva si las fibras del material se estiran y negativa si se comprimen. Así, tenemos

$${\displaystyle e={\frac {\Delta L}{L}}={\frac {l-L}{L}}}$$

edeformación normal de ingenieríaLl

La deformación por corte verdadera se define como el cambio en el ángulo (en radianes) entre dos elementos lineales de material inicialmente perpendiculares entre sí en la configuración inicial o no deformada. La deformación por corte de ingeniería se define como la tangente de ese ángulo y es igual a la longitud de la deformación en su máximo dividida por la longitud perpendicular en el plano de aplicación de la fuerza, lo que a veces hace que sea más fácil de calcular.

Relación de estiramiento

La relación de estiramiento o relación de extensión (símbolo λ) es una medida alternativa relacionada con la deformación normal o de extensión de un elemento de línea diferencial cargado axialmente. Se define como la relación entre la longitud final l y la longitud inicial L de la línea de material.

$${\displaystyle \lambda ={\frac {l}{L}}}$$

La relación de extensión λ está relacionada con la deformación de ingeniería e por

$${\displaystyle e=\lambda -1}$$

La relación de estiramiento se utiliza en el análisis de materiales que exhiben grandes deformaciones, como los elastómeros , que pueden sostener relaciones de estiramiento de 3 o 4 antes de fallar. Por otro lado, los materiales de ingeniería tradicionales, como el hormigón o el acero, fallan con relaciones de estiramiento mucho más bajas.

Deformación logarítmica

La deformación logarítmica ε , también llamada deformación verdadera o deformación de Hencky . ^[5] Considerando una tensión incremental (Ludwik)

$${\displaystyle \delta \varepsilon ={\frac {\delta l}{l}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int \delta \varepsilon &=\int _{L}^{l}{\frac {\delta l}{l}}\\\varepsilon &=\ln \left({\frac {l}{L}}\right)=\ln(\lambda )\\&=\ln(1+e)\\&=e-{\frac {e^{2}}{2}}+{\frac {e^{3}}{3}}-\cdots \end{aligned}}}$$

e^[2]

Cepa verde

La cepa Green se define como:

$${\displaystyle \varepsilon _{G}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {l^{2}-L^{2}}{L^{2}}}\right)={\tfrac {1}{2}}(\lambda ^{2}-1)}$$

cepa almansí

La cepa Euler-Almansi se define como

$${\displaystyle \varepsilon _{E}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {l^{2}-L^{2}}{l^{2}}}\right)={\tfrac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)}$$

tensor de deformación

El tensor de deformación (infinitesimal) (símbolo ) se define en el Sistema Internacional de Cantidades (ISQ), más específicamente en la norma ISO 80000-4 (Mecánica), como una "cantidad tensor que representa la deformación de la materia causada por la tensión. El tensor de deformación es simétrico y tiene tres componentes de deformación lineal y tres de deformación cortante (cartesianos). ^[6] ISO 80000-4 define además la deformación lineal como el "cociente de cambio en la longitud de un objeto y su longitud" y la deformación por corte como el "cociente de desplazamiento paralelo de dos superficies de una capa y el espesor de la capa". ^[6] Por lo tanto, las deformaciones se clasifican como normales o de corte . Una deformación normal es perpendicular a la cara de un elemento y una deformación cortante es paralela a ella. Estas definiciones son consistentes con las de tensión normal y tensión cortante . ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$

El tensor de deformación se puede expresar entonces en términos de componentes normal y de corte como:

$${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&\varepsilon _{xy}&\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{yx}&\varepsilon _{yy}&\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{zx}&\varepsilon _{zy}&\varepsilon _{zz}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&{\tfrac {1}{2}}\gamma _{xy}&{\tfrac {1}{2}}\gamma _{xz}\\{\tfrac {1}{2}}\gamma _{yx}&\varepsilon _{yy}&{\tfrac {1}{2}}\gamma _{yz}\\{\tfrac {1}{2}}\gamma _{zx}&{\tfrac {1}{2}}\gamma _{zy}&\varepsilon _{zz}\\\end{bmatrix}}}$$

entorno geométrico

Deformación geométrica bidimensional de un elemento material infinitesimal.

Considere un elemento material bidimensional, infinitesimal, rectangular con dimensiones dx × dy , que, después de la deformación, toma la forma de un rombo . La deformación se describe mediante el campo de desplazamiento u . De la geometría de la figura adyacente tenemos

$${\displaystyle \mathrm {length} (AB)=dx}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {length} (ab)&={\sqrt {\left(dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx\right)^{2}}}\\&={\sqrt {dx^{2}\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+dx^{2}\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\\&=dx~{\sqrt {\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\end{aligned}}}$$

${\displaystyle u_{y}}$ ${\displaystyle u_{x}}$

$${\displaystyle \mathrm {length} (ab)\approx dx\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)=dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}$$

Cepa normal

Para un material isotrópico que obedece la ley de Hooke , una tensión normal provocará una deformación normal. Las cepas normales producen dilataciones .

La deformación normal en la dirección x del elemento rectangular está definida por

$${\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {\text{extension}}{\text{original length}}}={\frac {\mathrm {length} (ab)-\mathrm {length} (AB)}{\mathrm {length} (AB)}}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}}$$

yz se convierte en

$${\displaystyle \varepsilon _{y}={\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\quad ,\qquad \varepsilon _{z}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}}$$

Deformación por corte

La deformación por corte de ingeniería ( _γxy ) se define como el cambio de ángulo entre las líneas AC y AB . Por lo tanto,

$${\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta }$$

De la geometría de la figura tenemos

$${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \alpha &={\frac {{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx}{dx+{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}}={\frac {\tfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}{1+{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}}}\\\tan \beta &={\frac {{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}dy}{dy+{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}dy}}={\frac {\tfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}{1+{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}}}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\ll 1~;~~{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\ll 1}$$

αβtan α ≈ αtan β ≈ β

$${\displaystyle \alpha \approx {\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}~;~~\beta \approx {\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}}$$

$${\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta ={\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}}$$

xyu _xu _yγ _xy = γ _yx

De manera similar, para los planos yz y xz , tenemos

$${\displaystyle \gamma _{yz}=\gamma _{zy}={\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\quad ,\qquad \gamma _{zx}=\gamma _{xz}={\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}}$$

tensión de volumen

La deformación volumétrica, también llamada deformación masiva, es la variación relativa del volumen, como resultado de la dilatación o la compresión ; es la primera invariante de deformación o traza del tensor:

$${\displaystyle \delta ={\frac {\Delta V}{V_{0}}}=I_{1}=\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}}$$

En realidad, si consideramos un cubo con una longitud de arista a , es un cuasi-cubo después de la deformación (las variaciones de los ángulos no cambian el volumen) con las dimensiones y V ₀ = a ³ , por lo tanto ${\displaystyle a\cdot (1+\varepsilon _{11})\times a\cdot (1+\varepsilon _{22})\times a\cdot (1+\varepsilon _{33})}$

$${\displaystyle {\frac {\Delta V}{V_{0}}}={\frac {\left(1+\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}+\varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{22}+\varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{33}+\varepsilon _{22}\cdot \varepsilon _{33}+\varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{22}\cdot \varepsilon _{33}\right)\cdot a^{3}-a^{3}}{a^{3}}}}$$

ya que consideramos pequeñas deformaciones,

$${\displaystyle 1\gg \varepsilon _{ii}\gg \varepsilon _{ii}\cdot \varepsilon _{jj}\gg \varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{22}\cdot \varepsilon _{33}}$$

por lo tanto la fórmula.

En el caso de corte puro, podemos ver que no hay cambio de volumen.

tensor métrico

Un campo de deformación asociado con un desplazamiento se define, en cualquier punto, por el cambio de longitud de los vectores tangentes que representan las velocidades de curvas parametrizadas arbitrariamente que pasan por ese punto. Un resultado geométrico básico, debido a Fréchet , von Neumann y Jordan , establece que, si las longitudes de los vectores tangentes cumplen los axiomas de una norma y la ley del paralelogramo , entonces la longitud de un vector es la raíz cuadrada del valor de la forma cuadrática asociada, por la fórmula de polarización , con un mapa bilineal definido positivo llamado tensor métrico .

Ver también

• Medidas de estrés
• tasa de deformación
• tensor de deformación

Referencias

1. Lubliner, Jacob (2008). Teoría de la plasticidad (PDF) (Ed. revisada). Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-46290-5. Archivado desde el original (PDF) el 31 de marzo de 2010.
2. Rees, David (2006). Plasticidad básica en ingeniería: una introducción a las aplicaciones de ingeniería y fabricación. Butterworth-Heinemann. ISBN 0-7506-8025-3. Archivado desde el original el 22 de diciembre de 2017.
3. "Tierra". Encyclopædia Britannica del DVD Ultimate Reference Suite de Encyclopædia Britannica 2006. [2009].
4. Rees, David (2006). Plasticidad básica en ingeniería: una introducción a las aplicaciones de ingeniería y fabricación. Butterworth-Heinemann. pag. 41.ISBN​ 0-7506-8025-3. Archivado desde el original el 22 de diciembre de 2017.
5. Hencky, H. (1928). "Über die Form des Elastizitätsgesetzes bei ideal elastischen Stoffen". Zeitschrift für technische Physik . 9 : 215–220.
6. "ISO 80000-4:2019". YO ASI . 2013-08-20 . Consultado el 28 de agosto de 2023 .