En la teoría de conjuntos , un cardenal fuerte es un tipo de cardenal grande . Es un debilitamiento de la noción de cardenal supercompacto .
Si λ es cualquier ordinal , κ es λ-fuerte significa que κ es un número cardinal y existe una incrustación elemental j del universo V en un modelo interno transitivo M con punto crítico κ y
Es decir, M concuerda con V en un segmento inicial. Entonces κ es fuerte significa que es λ-fuerte para todos los ordinales λ.
Por definición, los cardenales fuertes se encuentran debajo de los cardenales supercompactos y por encima de los cardenales medibles en la jerarquía de fuerza de consistencia.
κ es κ-fuerte si y sólo si es medible. Si κ es fuerte o λ-fuerte para λ ≥ κ+2, entonces el ultrafiltro U que atestigua que κ es medible estará en V κ+2 y por lo tanto en M. Entonces para cualquier α < κ, tenemos que existe un ultrafiltro U en j ( V κ ) − j ( V α ), recordando que j (α) = α. Usando la incrustación elemental al revés, obtenemos que hay un ultrafiltro en V κ − V α . Entonces hay cardenales mensurables arbitrariamente grandes debajo de κ que es regular y, por lo tanto, κ es un límite de κ-muchos cardenales mensurables.
Los cardenales fuertes también se encuentran por debajo de los cardenales superfuertes y los cardenales de Woodin en cuanto a fuerza de consistencia. Sin embargo, el cardenal menos fuerte es más grande que el cardenal menos superfuerte.
Todo cardenal fuerte es fuertemente desplegable y por lo tanto totalmente indescriptible .
