Cardenal indescriptible

Número cardinal grande que es difícil de describir en un idioma determinado.

En la teoría de conjuntos , una rama de las matemáticas, un Q-cardinal indescriptible es un cierto tipo de número cardinal grande que es difícil de axiomatizar en algún lenguaje Q. Hay muchos tipos diferentes de cardenales indescriptibles que corresponden a diferentes opciones de idiomas Q. Fueron presentados por Hanf y Scott (1961).

Un número cardinal se llama -indescriptible si para toda proposición y conjunto con existe un con . ^[1] Siguiendo la jerarquía de Lévy , aquí se analizan fórmulas con m-1 alternancias de cuantificadores, siendo el cuantificador más externo universal. -Los cardinales indescriptibles se definen de manera similar, pero con un cuantificador existencial más externo. Antes de definir la estructura , se agrega un nuevo símbolo de predicado al lenguaje de la teoría de conjuntos, que se interpreta como . ^[2] La idea es que no se pueden distinguir (mirando desde abajo) de cardinales más pequeños mediante ninguna fórmula de lógica de orden n+1 con alternancias m-1 de cuantificadores, incluso con la ventaja de un símbolo de predicado unario adicional (para A) . Esto implica que es grande porque significa que debe haber muchos cardinales más pequeños con propiedades similares. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \Pi _{m}^{n}}$ ${\displaystyle \Pi _{m}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle A\subseteq V_{\kappa }}$ ${\displaystyle (V_{\kappa +n},\in ,A)\vDash \phi }$ ${\displaystyle \alpha <\kappa }$ ${\displaystyle (V_{\alpha +n},\in ,A\cap V_{\alpha })\vDash \phi }$ ${\displaystyle \Sigma _{m}^{n}}$ ${\displaystyle (V_{\kappa +n},\in ,A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \kappa }$

El número cardinal se llama totalmente indescriptible si es -indescriptible para todos los números enteros positivos m y n . ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \Pi _{m}^{n}}$

Si es un ordinal, el número cardinal se llama -indescriptible si para cada fórmula y cada subconjunto de tales que se cumplen hay algo que se cumple . Si es infinito entonces los ordinales -indescriptibles son totalmente indescriptibles, y si es finito son lo mismo que los ordinales -indescriptibles. No hay nada que sea indescriptible, ni la indescriptibilidad implica necesariamente la indescriptibilidad para nadie , pero existe una noción alternativa de cardenales astutos que tiene sentido cuando : si se mantiene , entonces hay y tales que se mantienen . ^[3] Sin embargo, es posible que un cardenal sea -indescriptible durante mucho mayor que . ^{[1] Cap. 9, teorema 4.3} ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V_{\kappa }}$ ${\displaystyle \phi (U)}$ ${\displaystyle V_{\kappa +\alpha }}$ ${\displaystyle \lambda <\kappa }$ ${\displaystyle \phi (U\cap V_{\lambda })}$ ${\displaystyle V_{\lambda +\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \Pi _{\omega }^{\alpha }}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta <\alpha }$ ${\displaystyle \alpha \geq \kappa }$ ${\displaystyle \phi (U,\kappa )}$ ${\displaystyle V_{\kappa +\alpha }}$ ${\displaystyle \lambda <\kappa }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \phi (U\cap V_{\lambda },\lambda )}$ ${\displaystyle V_{\lambda +\beta }}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \pi }$

nota historica

Originalmente, un cardinal κ se llamaba Q-indescriptible si para cada fórmula Q y relación , si entonces existe tal que . ^{[4] [5]} Usando esta definición, es -indescriptible si y solo si es regular y mayor que . ^{[5] p.207} Los cardenales que satisfacían la versión anterior basada en la jerarquía acumulativa fueron llamados fuertemente Q-indescriptibles. ^[6] Esta propiedad también se ha denominado " indescriptibilidad ordinal". ^{[7] pág.32} ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (\kappa ,<,A)\vDash \phi }$ ${\displaystyle \alpha <\kappa }$ ${\displaystyle (\alpha ,\in ,A\upharpoonright \alpha )\vDash \phi }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \Pi _{0}^{1}}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle Q}$

Condiciones equivalentes

Un cardenal es indescriptible si es indescriptible. ^[8] Un cardinal es inaccesible si y sólo si es -indescriptible para todos los números enteros positivos , de manera equivalente si es -indescriptible, de manera equivalente si es -indescriptible. ${\displaystyle \Sigma _{n+1}^{1}}$ ${\displaystyle \Pi _{n}^{1}}$ ${\displaystyle \Pi _{n}^{0}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Pi _{2}^{0}}$ ${\displaystyle \Sigma _{1}^{1}}$

${\displaystyle \Pi _{1}^{1}}$-Los cardenales indescriptibles son lo mismo que los cardenales débilmente compactos .

La condición de indescriptibilidad equivale a satisfacer el principio de reflexión (que se puede demostrar en ZFC), pero se amplía al permitir fórmulas de orden superior con una variable libre de segundo orden. ^[8] ${\displaystyle V_{\kappa }}$

Para los cardinales , digamos que una incrustación elemental una incrustación pequeña if es transitiva y . Para cualquier número natural , es indescriptible si existe un tal que para todos existe una pequeña incrustación tal que . ^{[9] , Corolario 4.3} ${\displaystyle \kappa <\theta }$ ${\displaystyle j:M\to H(\theta )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle j({\textrm {crit}}(j))=\kappa }$ ${\displaystyle 1\leq n}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \Pi _{n}^{1}}$ ${\displaystyle \alpha >\kappa }$ ${\displaystyle \theta >\alpha }$ ${\displaystyle j:M\to H_{\theta }}$ ${\displaystyle H({\textrm {crit}}(j)^{+})^{M}\prec _{\Sigma _{n}}H({\textrm {crit}}(j)^{+})}$

Si V=L , entonces para un número natural n >0, un cardinal incontable es Π¹
_norte-indescriptible si es (n+1)-estacionario. ^[10]

Clases ejecutables

Para una clase de ordinales y un cardinal indescriptible , se dice que se aplica en (mediante alguna fórmula de ) si hay una fórmula y tal que , pero para ninguno con se cumple. ^{[1] p.277} Esto proporciona una herramienta para mostrar las propiedades necesarias de cardenales indescriptibles. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle A\subseteq V_{\kappa }}$ ${\displaystyle (V_{\kappa },\in ,A)\vDash \phi }$ ${\displaystyle \beta <\alpha }$ ${\displaystyle \beta \notin X}$ ${\displaystyle (V_{\beta },\in ,A\cap V_{\beta })\vDash \phi }$

Propiedades

Se acabó la propiedad de ser -indescriptible , es decir, hay una oración que satisface si y solo es -indescriptible. ^[11] Porque , la propiedad de ser -indescriptible es y la propiedad de ser -indescriptible es . ^[11] Así, para , cada cardinal que es -indescriptible o -indescriptible es a la vez -indescriptible e -indescriptible y el conjunto de dichos cardinales debajo de él es estacionario. La fuerza de consistencia de los cardinales -indescriptibles está por debajo de la de -indescriptibles, pero es consistente con ZFC que el menos -indescriptible exista y esté por encima del menos -indescriptible cardenal (esto se prueba a partir de la consistencia de ZFC con -indescriptible cardinal y un - cardenal indescriptible encima de él). ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \Pi _{n}^{1}}$ ${\displaystyle \Pi _{n+1}^{1}}$ ${\displaystyle V_{\kappa }}$ ${\displaystyle \Pi _{n+1}^{1}}$ ${\displaystyle V_{\kappa }}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \Pi _{n}^{1}}$ ${\displaystyle m>1}$ ${\displaystyle \Pi _{n}^{m}}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}^{m}}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}^{m}}$ ${\displaystyle \Pi _{n}^{m}}$ ${\displaystyle m>1}$ ${\displaystyle \Pi _{n+1}^{m}}$ ${\displaystyle \Sigma _{n+1}^{m}}$ ${\displaystyle \Pi _{n}^{m}}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}^{m}}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}^{m}}$ ${\displaystyle \Pi _{n}^{m}}$ ${\displaystyle m>1}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}^{m}}$ ${\displaystyle \Pi _{n}^{m}}$ ${\displaystyle \Pi _{n}^{m}}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}^{m}}$

Los cardenales totalmente indescriptibles siguen siendo totalmente indescriptibles en el universo construible y en otros modelos internos canónicos, y de manera similar para - y - la indescriptibilidad. ${\displaystyle \Pi _{n}^{m}}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}^{m}}$

Para un número natural , si un cardinal es -indescriptible, hay un ordinal tal que , donde denota equivalencia elemental . ^[12] Porque esto es un bicondicional (ver Dos caracterizaciones teóricas de modelos de inaccesibilidad ). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \alpha <\kappa }$ ${\displaystyle (V_{\alpha +n},\in )\equiv (V_{\kappa +n},\in )}$ ${\displaystyle \equiv }$ ${\displaystyle n=0}$

Los cardenales mensurables son indescriptibles, pero el cardenal mensurable más pequeño no es indescriptible. Sin embargo, suponiendo que haya elección , hay muchos cardenales totalmente indescriptibles debajo de cualquier cardenal mensurable. ${\displaystyle \Pi _{1}^{2}}$ ${\displaystyle \Sigma _{1}^{2}}$

Para , ZFC+ "hay un cardenal indescriptible" es equiconsistente con ZFC+ "hay un cardenal indescriptible tal que ", es decir, "GCH falla en un cardinal indescriptible". ^[8] ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}^{1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}^{1}}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle 2^{\kappa }>\kappa ^{+}}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}^{1}}$

Referencias

• Hanf, WP; Scott, DS (1961), "Clasificación de cardenales inaccesibles", Avisos de la Sociedad Matemática Estadounidense , 8 : 445, ISSN  0002-9920
• Kanamori, Akihiro (2003). El infinito superior: grandes cardinales en la teoría de conjuntos desde sus inicios (2ª ed.). Saltador. doi :10.1007/978-3-540-88867-3_2. ISBN 3-540-00384-3.

Citas

1. Drake, FR (1974). Teoría de conjuntos: introducción a los cardinales grandes (estudios de lógica y fundamentos de las matemáticas; V. 76) . Elsevier Science Ltd. ISBN 0-444-10535-2.
2. Jech, Thomas (2006). Teoría de conjuntos: edición del tercer milenio, revisada y ampliada . Monografías de Springer en Matemáticas. pag. 295.doi : 10.1007 /3-540-44761-X. ISBN 3-540-44085-2.
3. M. Rathjen, "El infinito superior en la teoría de la prueba" (1995), p.20. Archivado el 14 de enero de 2024.
4. K. Kunen, "La indescriptibilidad y el continuo" (1971). Apareciendo en Teoría de conjuntos axiomática: Actas de simposios en matemáticas puras, vol. 13 parte 1 , págs.199--203
5. Azriel Lévy, "Los tamaños de los cardenales indescriptibles" (1971). Apareciendo en Teoría de conjuntos axiomática: Actas de simposios en matemáticas puras, vol. 13 parte 1 , págs.205--218
6. Richter, Wayne; Aczel, Pedro (1974). "Definiciones inductivas y propiedades reflectantes de los ordinales admisibles". Estudios de Lógica y Fundamentos de las Matemáticas . 79 : 301–381. doi :10.1016/S0049-237X(08)70592-5. hdl : 10852/44063 .
7. W. Boos, "Conferencias sobre grandes axiomas cardinales". En Logic Conference , Kiel 1974. Lecture Notes in Mathematics 499 (1975).
8. Hauser, Kai (1991). "Cardenales indescriptibles e incrustaciones elementales". Revista de Lógica Simbólica . 56 (2): 439–457. doi :10.2307/2274692. JSTOR  2274692.
9. Santo, Pedro; Lücke, Philipp; Njegomir, Ana (2019). "Pequeñas caracterizaciones de incrustación para grandes cardenales". Anales de lógica pura y aplicada . 170 (2): 251–271. arXiv : 1708.06103 . doi : 10.1016/j.apal.2018.10.002 .
10. Bagaria, Juana; Magidor, Menajem ; Sakai, Hiroshi (2015). "Reflexión e indescriptibilidad en el universo construible". Revista Israelí de Matemáticas . 208 : 1–11. doi :10.1007/s11856-015-1191-7.
11. Kanamori, Akihiro (2003). El infinito superior: grandes cardinales en la teoría de conjuntos desde sus inicios (2ª ed.). Saltador. pag. 64. doi :10.1007/978-3-540-88867-3_2. ISBN 3-540-00384-3.
12. WN Reinhardt, "La teoría de conjuntos de Ackermann es igual a ZF", páginas 234-235. Anales de lógica matemática vol. 2, edición. 2 (1970).