El problema de la caja de cerillas de Banach

El problema de coincidencia de Banach es un problema clásico de probabilidad atribuido a Stefan Banach . Feller ^[1] dice que el problema se inspiró en una referencia humorística al hábito de fumar de Banach en un discurso en su honor pronunciado por Hugo Steinhaus , pero que no fue Banach quien planteó el problema ni proporcionó una respuesta.

Supongamos que un matemático lleva dos cajas de cerillas en todo momento: una en el bolsillo izquierdo y otra en el derecho. Cada vez que necesita una cerilla, es igualmente probable que la saque de cualquiera de los bolsillos. Supongamos que mete la mano en el bolsillo y descubre por primera vez que la caja elegida está vacía. Si se supone que cada una de las cajas de cerillas contenía originalmente cerillas, ¿cuál es la probabilidad de que haya exactamente cerillas en la otra caja? ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle k}$

Solución

Sin pérdida de generalidad, considere el caso en el que la caja de cerillas en su bolsillo derecho tiene un número ilimitado de cerillas y sea el número de cerillas que se sacan de ésta antes de que la izquierda esté vacía. Cuando se descubre que el bolsillo izquierdo está vacío, el hombre ha elegido ese bolsillo veces. Entonces es el número de éxitos antes de los fracasos en los ensayos de Bernoulli con , que tiene la distribución binomial negativa y por tanto ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (N+1)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (N+1)}$ ${\displaystyle p=1/2}$

Distribución de probabilidad de que queden k coincidencias en el otro bolsillo.

${\displaystyle P[M=m]={\binom {N+m}{m}}\left({\frac {1}{2}}\right)^{N+1+m}}$.

Volviendo al problema original, vemos que la probabilidad de que el bolsillo izquierdo esté vacío primero es igual porque ambos son igualmente probables. Vemos que el número de coincidencias que quedan en el otro bolsillo es ${\displaystyle P[M<N+1]}$ ${\displaystyle 1/2}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle P[K=k]=P[M=N-k|M<N+1]=2P[M=N-k]={\binom {2N-k}{N-k}}\left({\frac {1}{2}}\right)^{2N-k}}$.

La expectativa de la distribución es de aproximadamente . (Esto se muestra usando la aproximación de Stirling . ^[2] ) Entonces, comenzando con cuadros con coincidencias, el número esperado de coincidencias en el segundo cuadro es . ${\displaystyle 2{\sqrt {N/\pi }}-1}$ ${\displaystyle N=40}$ ${\displaystyle 6}$

Ver también

• Lista de cosas que llevan el nombre de Stefan Banach

Referencias

1. Feller, William, Introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones, tercera edición, Wiley, 1968, capítulo VI, sección 8
2. Talador, página 238.

enlaces externos

• subprograma de Java