orden denso

En matemáticas , se dice que un orden parcial o un orden total < en un conjunto es denso si, para todos y en los cuales , hay un en tal que . Es decir, para dos elementos cualesquiera, uno menor que el otro, hay otro elemento entre ellos. Para pedidos totales, esto se puede simplificar a "para dos elementos distintos, hay otro elemento entre ellos", ya que todos los elementos de un pedido total son comparables . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x<z<y}$

Ejemplo

Los números racionales como conjunto linealmente ordenado son un conjunto densamente ordenado en este sentido, al igual que los números algebraicos , los números reales , los racionales diádicos y las fracciones decimales . De hecho, cada extensión anular ordenada de Arquímedes de los números enteros es un conjunto densamente ordenado. ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$

Prueba

Para el elemento , debido a la propiedad de Arquímedes, si existe un entero más grande con , y si , y existe un entero más grande con . Como resultado, . Para dos elementos cualesquiera con , y . Por tanto es denso. ${\displaystyle x\in \mathbb {Z} [x]}$ ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle n<x}$ ${\displaystyle n<x<n+1}$ ${\displaystyle x<0}$ ${\displaystyle -x>0}$ ${\displaystyle m=-n-1<-x}$ ${\displaystyle -n-1<-x<-n}$ ${\displaystyle 0<x-n<1}$ ${\displaystyle y,z\in \mathbb {Z} [x]}$ ${\displaystyle z<y}$ ${\displaystyle 0<(x-n)(y-z)<y-z}$ ${\displaystyle z<(x-n)(y-z)+z<y}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$

Por otro lado, el orden lineal de los números enteros no es denso.

Unicidad para pedidos densos totales sin puntos finales

Georg Cantor demostró que cada dos conjuntos contables totalmente ordenados, densos y no vacíos, sin límites superior o inferior, son de orden isomorfo . ^[1] Esto hace que la teoría de órdenes lineales densos sin límites sea un ejemplo de una teoría ω-categórica donde ω es el ordinal límite más pequeño . Por ejemplo, existe un isomorfismo de orden entre los números racionales y otros conjuntos contables densamente ordenados, incluidos los racionales diádicos y los números algebraicos . Las pruebas de estos resultados utilizan el método de ida y vuelta . ^[2]

La función del signo de interrogación de Minkowski se puede utilizar para determinar los isomorfismos de orden entre los números algebraicos cuadráticos y los números racionales , y entre los racionales y los racionales diádicos .

Generalizaciones

Cualquier relación binaria R se dice que es densa si, para todos los x e y relacionados con R , existe una z tal que x , z y también z e y están relacionados con R. Formalmente:

${\displaystyle \forall x\ \forall y\ xRy\Rightarrow (\exists z\ xRz\land zRy).}$Alternativamente, en términos de composición de R consigo mismo, la condición densa puede expresarse como R ⊆ R  ; r . ^[3]

Las condiciones suficientes para que una relación binaria R en un conjunto X sea densa son:

• R es reflexivo ;
• R es correflexivo ;
• R es cuasirreflexivo ;
• R es euclidiano de izquierda o derecha ; o
• R es simétrico y semiconexo y X tiene al menos 3 elementos.

Ninguno de ellos es necesario . Por ejemplo, existe una relación R que no es reflexiva sino densa. Una relación densa y no vacía no puede ser antitransitiva .

Un orden parcial estricto < es un orden denso si y sólo si < es una relación densa. Una relación densa que además es transitiva se dice que es idempotente .

Ver también

• Conjunto denso : un subconjunto de un espacio topológico cuyo cierre es el espacio completo.
• Denso en sí mismo : un subconjunto de un espacio topológico tal que no contiene un punto aislado ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$
• Semántica de Kripke : una relación densa de accesibilidad corresponde al axioma ${\displaystyle \Box \Box A\rightarrow \Box A}$

Referencias

1. Roitman, Judith (1990), "Teorema 27, p. 123", Introducción a la teoría de conjuntos moderna, Matemática pura y aplicada, vol. 8, John Wiley e hijos, ISBN 9780471635192.
2. Dasgupta, Abhijit (2013), Teoría de conjuntos: con una introducción a los conjuntos de puntos reales, Springer-Verlag, p. 161, ISBN 9781461488545.
3. Gunter Schmidt (2011) Matemáticas relacionales , página 212, Cambridge University Press ISBN 978-0-521-76268-7 

Otras lecturas

• David Harel , Dexter Kozen , Jerzy Tiuryn, Lógica dinámica , MIT Press, 2000, ISBN 0-262-08289-6 , p. 6 y siguientes