Órbita de transferencia de Hohmann

Maniobra de transferencia entre dos órbitas.

Órbita de transferencia de Hohmann, denominada 2, de una órbita (1) a una órbita superior (3)

Un ejemplo de una órbita de transferencia de Hohmann entre la Tierra y Marte, tal como la utiliza la sonda InSight de la NASA :
   Conocimiento  ·   Tierra  ·   Marte

En astronáutica , la órbita de transferencia de Hohmann ( / ˈ h oʊ m ə n / ) es una maniobra orbital utilizada para transferir una nave espacial entre dos órbitas de diferentes altitudes alrededor de un cuerpo central. Por ejemplo, se podría utilizar una transferencia de Hohmann para elevar la órbita de un satélite desde una órbita terrestre baja a una órbita geoestacionaria . En el caso ideal, las órbitas inicial y objetivo son tanto circulares como coplanares . La maniobra se logra colocando la nave en una órbita de transferencia elíptica que es tangencial tanto a la órbita inicial como a la objetivo. La maniobra utiliza dos encendidos impulsivos del motor: el primero establece la órbita de transferencia y el segundo ajusta la órbita para que coincida con el objetivo.

La maniobra de Hohmann a menudo utiliza la menor cantidad posible de impulso (que consume una cantidad proporcional de delta-v y, por tanto, de propulsor ) para realizar la transferencia, pero requiere un tiempo de viaje relativamente más largo que las transferencias de mayor impulso. En algunos casos en los que una órbita es mucho más grande que la otra, una transferencia bielíptica puede utilizar incluso menos impulso, a costa de un tiempo de viaje aún mayor.

La maniobra lleva el nombre de Walter Hohmann , el científico alemán que publicó una descripción de la misma en su libro de 1925 Die Erreichbarkeit der Himmelskörper ( La alcanzabilidad de los cuerpos celestes ). ^[1] Hohmann fue influenciado en parte por el autor alemán de ciencia ficción Kurd Lasswitz y su libro de 1897 Two Planets .

Cuando se utiliza para viajar entre cuerpos celestes, una órbita de transferencia de Hohmann requiere que los puntos de inicio y destino estén en ubicaciones particulares de sus órbitas entre sí. Las misiones espaciales que utilizan una transferencia Hohmann deben esperar a que se produzca esta alineación requerida, lo que abre una ventana de lanzamiento . Para una misión entre la Tierra y Marte , por ejemplo, estas ventanas de lanzamiento ocurren cada 26 meses. Una órbita de transferencia de Hohmann también determina un tiempo fijo necesario para viajar entre los puntos de partida y destino; para un viaje Tierra-Marte, este tiempo de viaje es de aproximadamente 9 meses. Cuando la transferencia se realiza entre órbitas cercanas a cuerpos celestes con una gravitación significativa, generalmente se requiere mucho menos delta-v , ya que se puede emplear el efecto Oberth para las quemaduras.

También se utilizan a menudo para estas situaciones, pero las transferencias de baja energía que tienen en cuenta las limitaciones de empuje de los motores reales y aprovechan los pozos de gravedad de ambos planetas pueden ser más eficientes en cuanto a combustible. ^{[2] [3] [4]}

Ejemplo

El diagrama muestra una órbita de transferencia de Hohmann para llevar una nave espacial desde una órbita circular inferior a una superior. Es una órbita elíptica que es tangencial tanto a la órbita circular inferior que la nave espacial debe abandonar (cian, etiquetada con 1 en el diagrama) como a la órbita circular superior que debe alcanzar (roja, etiquetada con 3 en el diagrama). La órbita de transferencia (amarilla, marcada con 2 en el diagrama) se inicia encendiendo el motor de la nave espacial para agregar energía y elevar el apogeo . Cuando la nave espacial alcanza el apogeo, el encendido de un segundo motor agrega energía para elevar el perigeo, colocando a la nave espacial en la órbita circular más grande.

Debido a la reversibilidad de las órbitas , se puede utilizar una órbita de transferencia de Hohmann similar para llevar una nave espacial de una órbita superior a una inferior; en este caso, el motor de la nave espacial se dispara en la dirección opuesta a su trayectoria actual, lo que ralentiza la nave espacial y baja su perigeo al de la órbita de transferencia elíptica. Luego, el motor se enciende nuevamente a la distancia más baja para desacelerar la nave espacial hacia la órbita circular inferior. La órbita de transferencia de Hohmann se basa en dos cambios instantáneos de velocidad . Se requiere combustible adicional para compensar el hecho de que las ráfagas toman tiempo; esto se minimiza mediante el uso de motores de alto empuje para minimizar la duración de las ráfagas. Para transferencias en órbita terrestre, las dos quemaduras se denominan quemadura de perigeo y quemadura de apogeo (o patada de apogeo ^[5] ); De manera más general, se denominan quemaduras de periapsis y apoapsis . Alternativamente, la segunda combustión para circularizar la órbita puede denominarse combustión de circularización .

Tipo I y Tipo II

Una órbita de transferencia de Hohmann ideal se transfiere entre dos órbitas circulares en el mismo plano y atraviesa exactamente 180° alrededor de la primaria. En el mundo real, la órbita de destino puede no ser circular y no ser coplanar con la órbita inicial. Las órbitas de transferencia del mundo real pueden recorrer un poco más o un poco menos de 180° alrededor de la primaria. Una órbita que recorre menos de 180° alrededor de la primaria se denomina transferencia Hohmann "Tipo I", mientras que una órbita que recorre más de 180° se denomina transferencia Hohmann "Tipo II". ^{[6] [7]}

Las órbitas de transferencia pueden recorrer más de 360° alrededor de la primaria. Estas transferencias de revoluciones múltiples a veces se denominan Tipo III y Tipo IV, donde un Tipo III es un Tipo I más 360° y un Tipo IV es un Tipo II más 360°. ^[8]

Usos

Se puede utilizar una órbita de transferencia de Hohmann para transferir la órbita de un objeto hacia otro objeto, siempre que coorbiten un cuerpo más masivo. En el contexto de la Tierra y el Sistema Solar , esto incluye cualquier objeto que orbita alrededor del Sol . Un ejemplo de dónde se podría utilizar una órbita de transferencia de Hohmann es poner en contacto un asteroide, que orbita alrededor del Sol, con la Tierra. ^[9]

Cálculo

Para un cuerpo pequeño que orbita otro cuerpo mucho más grande, como un satélite que orbita la Tierra, la energía total del cuerpo más pequeño es la suma de su energía cinética y su energía potencial , y esta energía total también es igual a la mitad del potencial a la distancia promedio (la semieje mayor ): ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle E={\frac {mv^{2}}{2}}-{\frac {GMm}{r}}={\frac {-GMm}{2a}}.}$$

Resolver esta ecuación para la velocidad da como resultado la ecuación de vis-viva ,

$${\displaystyle v^{2}=\mu \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right),}$$

• ${\displaystyle v}$es la velocidad de un cuerpo en órbita,
• ${\displaystyle \mu =GM}$es el parámetro gravitacional estándar del cuerpo primario, suponiendo que no sea significativamente mayor que (lo que hace ), (para la Tierra, esto es μ ~3.986E14 m ³ s ⁻² ) ${\displaystyle M+m}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle v_{M}\ll v}$
• ${\displaystyle r}$es la distancia del cuerpo en órbita desde el foco primario,
• ${\displaystyle a}$es el semieje mayor de la órbita del cuerpo.

Por lo tanto, el delta- v (Δv) requerido para la transferencia de Hohmann se puede calcular de la siguiente manera, bajo el supuesto de impulsos instantáneos:

$${\displaystyle \Delta v_{1}={\sqrt {\frac {\mu }{r_{1}}}}\left({\sqrt {\frac {2r_{2}}{r_{1}+r_{2}}}}-1\right),}$$

${\displaystyle r=r_{1}}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}}$

$${\displaystyle \Delta v_{2}={\sqrt {\frac {\mu }{r_{2}}}}\left(1-{\sqrt {\frac {2r_{1}}{r_{1}+r_{2}}}}\right),}$$

distancia del periapsisdistancia de apoapsis³² ${\displaystyle r=r_{2}}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle \Delta v}$

$${\displaystyle \Delta v_{\text{total}}=\Delta v_{1}+\Delta v_{2}.}$$

Ya sea que se mueva a una órbita más alta o más baja, según la tercera ley de Kepler , el tiempo necesario para transferir entre las órbitas es

$${\displaystyle t_{\text{H}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {4\pi ^{2}a_{\text{H}}^{3}}{\mu }}}=\pi {\sqrt {\frac {(r_{1}+r_{2})^{3}}{8\mu }}}}$$

período orbitalsemieje mayor ${\displaystyle a_{\text{H}}}$

Cuando se viaja de un cuerpo celeste a otro, es fundamental iniciar la maniobra en el momento en que los dos cuerpos estén correctamente alineados. Considerando que la velocidad angular objetivo es

$${\displaystyle \omega _{2}={\sqrt {\frac {\mu }{r_{2}^{3}}}},}$$

radianes

$${\displaystyle \alpha =\pi -\omega _{2}t_{\text{H}}=\pi \left(1-{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\sqrt {\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}+1\right)^{3}}}\right).}$$

Ejemplo

Balance de energía total durante una transferencia de Hohmann entre dos órbitas circulares con primer radio y segundo radio ${\displaystyle r_{p}}$ ${\displaystyle r_{a}}$

Considere una órbita de transferencia geoestacionaria , que comienza en r ₁ = 6.678 km (altitud 300 km) y termina en una órbita geoestacionaria con r ₂ = 42.164 km (altitud 35.786 km).

En la órbita circular más pequeña la velocidad es de 7,73 km/s; en el más grande, 3,07 km/s. En la órbita elíptica intermedia, la velocidad varía de 10,15 km/s en el perigeo a 1,61 km/s en el apogeo.

Por lo tanto, el Δv para el primer encendido es 10,15 − 7,73 = 2,42 km/s, para el segundo encendido 3,07 − 1,61 = 1,46 km/s y para ambos juntos 3,88 km/s.

Esto es mayor que el Δv requerido para una órbita de escape : 10,93 − 7,73 = 3,20 km/s. Aplicar un Δv en la órbita terrestre baja (LEO) de sólo 0,78 km/s más (3,20-2,42) le daría al cohete la velocidad de escape , que es menor que el Δv de 1,46 km/s necesario para circularizar la órbita geosincrónica. Esto ilustra el efecto Oberth de que a grandes velocidades el mismo Δv proporciona energía orbital más específica , y el aumento de energía se maximiza si uno gasta el Δv lo más rápido posible, en lugar de gastar algo, ser desacelerado por la gravedad y luego gastar un poco más para superar. la desaceleración (por supuesto, el objetivo de una órbita de transferencia de Hohmann es diferente).

En el peor de los casos, delta- v máximo

Como lo demuestra el ejemplo anterior, el Δ v requerido para realizar una transferencia de Hohmann entre dos órbitas circulares no es mayor cuando el radio de destino es infinito. (La velocidad de escape es √ 2 veces la velocidad orbital, por lo que el Δv requerido para escapar es √ 2  − 1 (41,4%) de la velocidad orbital). El Δv requerido es mayor (53,0% de la velocidad orbital más pequeña) cuando el radio de la velocidad orbital más grande La órbita es 15,5817... veces la de la órbita más pequeña. ^[10] Este número es la raíz positiva de x ³ − 15 x ² − 9 x − 1 = 0 , que es . Para relaciones de órbita más altas, el Δ v requerido para la segunda combustión disminuye más rápido de lo que aumenta la primera. ${\textstyle 5+4\,{\sqrt {7}}\cos \left({1 \over 3}\arctan {{\sqrt {3}} \over 37}\right)}$

Aplicación a los viajes interplanetarios

Cuando se utiliza para mover una nave espacial de un planeta a otro, la situación se vuelve algo más compleja, pero se requiere mucho menos delta- v , debido al efecto Oberth , que la suma de los delta- v necesarios para escapar del primer planeta. más el delta- v requerido para una transferencia de Hohmann al segundo planeta.

Por ejemplo, consideremos una nave espacial que viaja de la Tierra a Marte . Al comienzo de su viaje, la nave espacial ya tendrá una cierta velocidad y energía cinética asociada a su órbita alrededor de la Tierra. Durante la combustión, el motor del cohete aplica su delta- v , pero la energía cinética aumenta como una ley del cuadrado, hasta que es suficiente para escapar del potencial gravitacional del planeta , y luego arde más para ganar suficiente energía para entrar en la órbita de transferencia de Hohmann. (alrededor del Sol ). Debido a que el motor del cohete es capaz de hacer uso de la energía cinética inicial del propulsor, se requiere mucho menos delta- v por encima del necesario para alcanzar la velocidad de escape, y la situación óptima es cuando la combustión de transferencia se realiza a una altitud mínima ( periapsis bajo ) sobre el planeta. El delta- v necesario es sólo 3,6 km/s, sólo alrededor de 0,4 km/s más de lo necesario para escapar de la Tierra, aunque esto da como resultado que la nave espacial vaya 2,9 km/s más rápido que la Tierra en su rumbo hacia Marte (ver tabla abajo).

En el otro extremo, la nave espacial necesitará una cierta velocidad para orbitar Marte, que en realidad será menor que la velocidad necesaria para continuar orbitando el Sol en la órbita de transferencia, y mucho menos intentar orbitar el Sol en una órbita similar a Marte. Por lo tanto, la nave espacial tendrá que desacelerar para que la gravedad de Marte la capture. Esta captura de captura debe realizarse de manera óptima a baja altitud para aprovechar al máximo el efecto Oberth. Por lo tanto, se necesitan cantidades relativamente pequeñas de empuje en cada extremo del viaje para organizar la transferencia en comparación con la situación del espacio libre.

Sin embargo, en cualquier transferencia Hohmann, la alineación de los dos planetas en sus órbitas es crucial: el planeta de destino y la nave espacial deben llegar al mismo punto en sus respectivas órbitas alrededor del Sol al mismo tiempo. Este requisito de alineación da lugar al concepto de ventanas de lanzamiento .

El término órbita de transferencia lunar (LTO) se utiliza para la Luna .

Es posible aplicar la fórmula dada anteriormente para calcular el Δv en km/s necesario para entrar en una órbita de transferencia de Hohmann y llegar a varios destinos desde la Tierra (asumiendo órbitas circulares para los planetas). En esta tabla, la columna denominada "Δv para entrar en la órbita de Hohmann desde la órbita de la Tierra" proporciona el cambio de la velocidad de la Tierra a la velocidad necesaria para llegar a una elipse de Hohmann cuyo otro extremo estará a la distancia deseada del Sol. La columna denominada "v saliendo de LEO" proporciona la velocidad necesaria (en un marco de referencia no giratorio centrado en la Tierra) cuando se encuentra a 300 km sobre la superficie de la Tierra. Esto se obtiene sumando a la energía cinética específica el cuadrado de la velocidad (7,73 km/s) de esta órbita terrestre baja (es decir, la profundidad del pozo de gravedad de la Tierra en este LEO). La columna "Δv desde LEO" es simplemente la velocidad anterior menos 7,73 km/s.

Tenga en cuenta que en la mayoría de los casos, Δ v desde LEO es menor que Δ v para entrar en la órbita de Hohmann desde la órbita de la Tierra.

Para llegar al Sol, en realidad no es necesario utilizar un Δ v de 24 km/s. Se pueden usar 8,8 km/s para alejarse mucho del Sol, luego usar un Δ v insignificante para llevar el momento angular a cero y luego caer hacia el Sol. Esto puede considerarse una secuencia de dos transferencias de Hohmann, una hacia arriba y otra hacia abajo. Además, la tabla no proporciona los valores que se aplicarían al utilizar la Luna como asistencia de gravedad . También existen posibilidades de utilizar un planeta, como Venus, que es el más fácil de alcanzar, para ayudar a llegar a otros planetas o al Sol.

Comparación con otras transferencias

Transferencia bielíptica

La transferencia bielíptica consta de dos órbitas semielípticas . Desde la órbita inicial, una primera combustión consume delta-v para impulsar la nave espacial a la primera órbita de transferencia con una apoapsis en algún punto alejado del cuerpo central . En este punto, una segunda combustión envía la nave espacial a la segunda órbita elíptica con periapsis en el radio de la órbita final deseada, donde se realiza una tercera combustión, inyectando la nave espacial en la órbita deseada. ^[11] ${\displaystyle r_{b}}$

Si bien requieren un encendido más del motor que una transferencia Hohmann y generalmente requieren un mayor tiempo de viaje, algunas transferencias bielípticas requieren una cantidad menor de delta-v total que una transferencia Hohmann cuando la relación entre el semieje mayor final y el inicial es 11,94. o mayor, dependiendo del semieje mayor intermedio elegido. ^[12]

La idea de la trayectoria de transferencia bielíptica fue publicada por primera vez por ^{Ary Sternfeld en} 1934. [ ^13]

Transferencia de bajo empuje

Los motores de bajo empuje pueden realizar una aproximación a una órbita de transferencia de Hohmann, creando una ampliación gradual de la órbita circular inicial mediante encendidos del motor cuidadosamente sincronizados. Esto requiere un cambio en la velocidad (delta- v ) que es mayor que la órbita de transferencia de dos impulsos ^[14] y tarda más en completarse.

Los motores como los propulsores de iones son más difíciles de analizar con el modelo delta- v . Estos motores ofrecen un empuje muy bajo y, al mismo tiempo, un presupuesto delta- v mucho mayor , un impulso específico mucho mayor y una menor masa de combustible y de motor. Una maniobra de transferencia Hohmann de 2 encendidos no sería práctica con un empuje tan bajo; La maniobra optimiza principalmente el uso de combustible, pero en esta situación hay relativamente mucho.

Si en una misión sólo se planifican maniobras de bajo empuje, entonces encender continuamente un motor de bajo empuje, pero de muy alta eficiencia, podría generar un delta- v más alto y al mismo tiempo utilizar menos propulsor que un motor de cohete químico convencional.

Pasar de una órbita circular a otra cambiando gradualmente el radio simplemente requiere el mismo delta- v que la diferencia entre las dos velocidades. ^[14] Tal maniobra requiere más delta- v que una maniobra de transferencia Hohmann de 2 encendidos, pero lo hace con un empuje bajo continuo en lugar de aplicaciones cortas de empuje alto.

La cantidad de masa propulsora utilizada mide la eficiencia de la maniobra más el hardware empleado para ello. El delta- v total utilizado mide únicamente la eficiencia de la maniobra. Para los sistemas de propulsión eléctrica , que tienden a ser de bajo empuje, la alta eficiencia del sistema de propulsión generalmente compensa el mayor delta-V en comparación con la maniobra de Hohmann, más eficiente.

Las órbitas de transferencia que utilizan propulsión eléctrica o motores de bajo empuje optimizan el tiempo de transferencia para llegar a la órbita final y no a la delta-v como en la órbita de transferencia de Hohmann. Para la órbita geoestacionaria, la órbita inicial se establece en supersincrónica y, al impulsarse continuamente en la dirección de la velocidad en el apogeo, la órbita de transferencia se transforma en una geosincrónica circular. Sin embargo, este método lleva mucho más tiempo debido al bajo empuje inyectado en la órbita. ^[15]

Red de transporte interplanetario

En 1997, se publicó un conjunto de órbitas conocidas como Red de Transporte Interplanetario (ITN), que proporcionaba trayectorias delta- v de propulsión aún más bajas (aunque mucho más lentas y más largas) entre diferentes órbitas que las órbitas de transferencia de Hohmann. ^[16] La Red de Transporte Interplanetario es de naturaleza diferente a las transferencias de Hohmann porque las transferencias de Hohmann suponen solo un cuerpo grande, mientras que la Red de Transporte Interplanetario no. La Red de Transporte Interplanetario puede lograr el uso de delta- v menos propulsor empleando asistencia gravitacional de los planetas. ^{[ cita necesaria ]}

Ver también

• Portal de vuelos espaciales

• Transferencia bielíptica
• Presupuesto delta-v
• Órbita de transferencia geoestacionaria
• órbita de halo
• Órbita de Lissajous
• Lista de órbitas
• Mecánica orbital

Citas

1. Walter Hohmann, La accesibilidad de los cuerpos celestes (Washington: NASA Technical Translation F-44, 1960) Internet Archive.
2. Williams, Matt (26 de diciembre de 2014). "Hacer el viaje a Marte más barato y más fácil: el caso de la captura balística". Universo hoy . Consultado el 29 de julio de 2019 .
3. Hadhazy, Adán. "Una nueva forma de llegar a Marte de forma segura, en cualquier momento y de forma económica". Científico americano . Consultado el 29 de julio de 2019 .
4. "Una introducción a Beresheet y su trayectoria hacia la Luna". Gereshes . 2019-04-08 . Consultado el 29 de julio de 2019 .
5. Jonathan McDowell, "Kick In the Apogee: 40 años de aplicaciones de etapa superior para motores de cohetes sólidos, 1957-1997", 33ª Conferencia Conjunta de Propulsión de la AIAA, 4 de julio de 1997. resumen. Consultado el 18 de julio de 2017.
6. NASA, Conceptos básicos de los vuelos espaciales , Sección 1, Capítulo 4, "Trayectorias". Consultado el 26 de julio de 2017. También disponible en spaceodyssey.dmns.org.
7. Tyson Sparks, Trayectorias a Marte Archivado el 28 de octubre de 2017 en Wayback Machine , Centro de Investigación Astrodinámica de Colorado, 14/12/2012. Consultado el 25 de julio de 2017.
8. Langevin, Y. (2005). "Cuestiones de diseño para misiones de ciencia espacial", Definición de carga útil y misión en ciencias espaciales , V. Mártínez Pillet, A. Aparicio y F. Sánchez, eds., Cambridge University Press, pág. 30. ISBN 052185802X , 9780521858021 
9. Cala, Pablo; Papas fritas, Dan; Welch, Chris (2018). "Minería de asteroides con pequeñas naves espaciales y su viabilidad económica". arXiv : 1808.05099 [astro-ph.IM].
10. Vallado, David Anthony (2001). Fundamentos de Astrodinámica y Aplicaciones. Saltador. pag. 317.ISBN​ 0-7923-6903-3.
11. Curtis, Howard (2005). Mecánica Orbital para Estudiantes de Ingeniería. Elsevier . pag. 264.ISBN​ 0-7506-6169-0.
12. Vallado, David Anthony (2001). Fundamentos de Astrodinámica y Aplicaciones. Saltador. pag. 318.ISBN​ 0-7923-6903-3.
13. Sternfeld, Ary J. (12 de febrero de 1934), "Sur les trajectoires permettant d'approcher d'un corpsattractif central à partir d'une orbite keplérienne donnée" [Sobre las trayectorias permitidas para acercarse a un cuerpo atractivo central desde un dada la órbita kepleriana], Comptes rendus de l'Académie des sciences (en francés), París, 198 (1): 711–713.
14. MIT, 16.522: Space Propulsion , sesión 6, "Aproximaciones analíticas para maniobras de bajo empuje", primavera de 2015 (consultado el 26 de julio de 2017)
15. Spitzer, Arnón (1997). Trayectoria óptima de órbita de transferencia mediante propulsión eléctrica. USPTO .
16. Hola, MW ; Ross, SD (1997). "Navegando por el sistema solar: variedades invariantes y la dinámica del sistema solar". Reporte técnico . OIM. JPL . págs. 2–4. 312/97.

Fuentes generales y citadas

• Bate, RR; Mueller, DD; Blanco, JE (1971). Fundamentos de Astrodinámica . Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-60061-1.
• Battin, R.H. (1999). Introducción a las matemáticas y los métodos de la astrodinámica . Washington, DC: Instituto Americano de Aeronáutica y Ast. ISBN 978-1-56347-342-5.
• Hohmann, Walter (1925). Die Erreichbarkeit der Himmelskörper . Múnich: R. Oldenbourg Verlag. ISBN 3-486-23106-5.
• Thornton, Stephen T.; Marion, Jerry B. (2003). Dinámica clásica de partículas y sistemas (5ª ed.). Brooks Cole . ISBN 0-534-40896-6.
• Vallado, DA (2001). Fundamentos de Astrodinámica y Aplicaciones (2ª ed.). Saltador. ISBN 978-0-7923-6903-5.

Otras lecturas

• "Mecánica orbital". Tecnología espacial y de cohetes . Robert A. Braeunig. Archivado desde el original el 4 de febrero de 2012 . Consultado el 17 de agosto de 2005 .
• "4. Trayectorias interplanetarias". Conceptos básicos de los vuelos espaciales . JPL: NASA .