Índice de potencia de Shapley-Shubik

El índice de poder de Shapley-Shubik fue formulado por Lloyd Shapley y Martin Shubik en 1954 para medir los poderes de los jugadores en un juego de votación. ^[1]

Los constituyentes de un sistema de votación, como los cuerpos legislativos, los ejecutivos, los accionistas, los legisladores individuales, etc., pueden considerarse jugadores en un juego de n jugadores . Los jugadores con las mismas preferencias forman coaliciones. Cualquier coalición que tenga suficientes votos para aprobar un proyecto de ley o elegir un candidato se considera ganadora. El poder de una coalición (o de un jugador) se mide por la fracción de las posibles secuencias de votación en las que esa coalición emite el voto decisivo, es decir, el voto que primero garantiza la aprobación o el fracaso. ^[2]

El índice de poder está normalizado entre 0 y 1. Un poder de 0 significa que una coalición no tiene ningún efecto en el resultado del juego; y una potencia de 1 significa que una coalición determina el resultado mediante su voto. Además la suma de las potencias de todos los jugadores siempre es igual a 1.

Existen algunos algoritmos para calcular el índice de potencia, por ejemplo, técnicas de programación dinámica, métodos de enumeración y métodos de Monte Carlo. ^[3]

Desde que Shapley y Shubik publicaron su artículo, se han utilizado varios enfoques axiomáticos para estudiar matemáticamente el índice de poder de Shapley-Shubik, siendo el axioma de anonimato, el axioma del jugador nulo, el axioma de eficiencia y el axioma de transferencia los más utilizados.

Ejemplos

Supongamos que las decisiones se toman por mayoría en un organismo formado por A, B, C, D, que tienen 3, 2, 1 y 1 votos, respectivamente. El umbral de mayoría de votos es 4. ¡Hay 4! = 24 órdenes posibles para que estos miembros voten:

Para cada secuencia de votación, el votante pivote (aquel votante que primero eleva la suma acumulativa a 4 o más) está en negrita. Aquí, A es fundamental en 12 de las 24 secuencias. Por tanto, A tiene un índice de potencia 1/2. Los demás tienen un índice de potencia 1/6. Curiosamente, B no tiene más poder que C y D. Cuando se considera que el voto de A determina el resultado a menos que los demás se unan contra A, queda claro que B, C y D desempeñan papeles idénticos. Esto se refleja en los índices de poder.

Supongamos que en otro órgano de votación con miembros por regla mayoritaria , en el que un solo miembro fuerte tiene votos y los miembros restantes tienen un voto cada uno. En este caso, el miembro fuerte tiene un índice de poder de (a menos que , en cuyo caso el índice de poder es simplemente ). Tenga en cuenta que esto es más que la fracción de votos que obtiene el miembro fuerte. De hecho, este miembro fuerte tiene sólo una fracción de los votos. Considere, por ejemplo, una empresa que tiene 1000 acciones en circulación con derecho a voto. Un gran accionista posee 400 acciones, mientras que otros 600 accionistas poseen 1 acción cada uno. Esto corresponde a y . En este caso, el índice de poder del gran accionista es aproximadamente 0,666 (o 66,6%), aunque este accionista posee sólo el 40% de las acciones. Los 600 accionistas restantes tienen un índice de poder inferior a 0,0006 (o 0,06%). Por lo tanto, el gran accionista tiene más de 1.000 veces más poder de voto que cada uno de los demás accionistas, mientras que sólo posee 400 veces más acciones. ^[1] ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\dfrac {k}{n+1}}}$ ${\displaystyle k>n+1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\dfrac {k}{n+k}}}$ ${\displaystyle n=600}$ ${\displaystyle k=400}$

Lo anterior se puede derivar matemáticamente de la siguiente manera. Tenga en cuenta que se alcanza una mayoría si se emiten al menos votos a favor. Si , el miembro fuerte claramente tiene todo el poder, ya que en este caso (es decir, los votos del miembro fuerte por sí solos alcanzan el umbral de la mayoría). Supongamos ahora que en una secuencia de votación elegida al azar, el miembro fuerte vota como el décimo miembro. Esto significa que después de que el primer miembro haya votado, se han emitido votos a favor, mientras que después de que los primeros miembros hayan votado, se han emitido votos a favor. El voto del miembro fuerte es fundamental si el primero no alcanza el umbral de mayoría, mientras que el segundo sí. Es decir , y . Podemos reescribir esta condición como . Tenga en cuenta que nuestra condición de garantiza que y (es decir, todos los valores permitidos de son factibles). Por lo tanto, el miembro fuerte es el votante fundamental si adopta uno de los valores de hasta pero sin incluir . Dado que cada uno de los posibles valores de está asociado con el mismo número de secuencias de votación, esto significa que el miembro fuerte es el votante fundamental en una fracción de las secuencias de votación. Es decir, el índice de poder del miembro fuerte es . ${\displaystyle t(n,k)=\left\lfloor {\dfrac {n+k}{2}}\right\rfloor +1}$ ${\displaystyle k\geq n+1}$ ${\displaystyle k\geq t(n,k)}$ ${\displaystyle k\leq n+1}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r-1}$ ${\displaystyle r-1}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r-1+k}$ ${\displaystyle r-1<t(n,k)}$ ${\displaystyle r-1+k\geq t(n,k)}$ ${\displaystyle t(n,k)+1-k\leq r<t(n,k)+1}$ ${\displaystyle k\leq n+1}$ ${\displaystyle 1\leq t(n,k)+1-k}$ ${\displaystyle t(n,k)+1\leq n+2}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle t(n,k)+1-k}$ ${\displaystyle t(n,k)+1}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\dfrac {k}{n+1}}}$ ${\displaystyle {\dfrac {k}{n+1}}}$

Aplicaciones

El índice se ha aplicado al análisis de las votaciones en el Consejo de la Unión Europea . ^[4]

El índice se ha aplicado al análisis de las votaciones en el Consejo de Seguridad de las Naciones Unidas . El Consejo de Seguridad de la ONU está formado por quince Estados miembros, de los cuales cinco (Estados Unidos de América, Rusia, China, Francia y el Reino Unido) son miembros permanentes del consejo. Para que una moción sea aprobada en el Consejo, necesita el apoyo de todos los miembros permanentes y el apoyo de cuatro miembros no permanentes. Esto equivale a un órgano de votación donde los cinco miembros permanentes tienen ocho votos cada uno, los otros diez miembros tienen un voto cada uno y hay una cuota de cuarenta y cuatro votos, ya que entonces habría cincuenta votos en total, por lo que se necesitan los cinco miembros permanentes. miembros y luego otros cuatro votos para que se apruebe una moción. Tenga en cuenta que un miembro no permanente es fundamental en una permutación si y sólo si está en la novena posición para votar y los cinco miembros permanentes ya han votado. Supongamos que tenemos una permutación en la que un miembro no permanente es fundamental. Luego hay tres miembros no permanentes y cinco permanentes que deben preceder a este miembro fundamental en esta permutación. Por lo tanto, hay formas de elegir a estos miembros y así ¡8! × diferentes órdenes de los miembros ante el votante fundamental. ¡Entonces serían 6! formas de elegir a los votantes restantes después del votante fundamental. ¡Pues son un total de 15! permutaciones de 15 votantes, el índice de poder de Shapley-Shubik de un miembro no permanente es: . Por tanto, el índice de poder de un miembro permanente es . ${\displaystyle \textstyle {\binom {9}{3}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\binom {9}{3}}}$ ${\displaystyle {\frac {{\binom {9}{3}}(8!)(6!)}{15!}}={\frac {4}{2145}}}$ ${\displaystyle {\frac {421}{2145}}}$

Ver también

• Valor de Shapley
• Teorema de la flecha
• Índice de poder de Banzhaf

Referencias

1. Shapley, LS; Shubik, M. (1954). "Un método para evaluar la distribución del poder en un sistema de comités". Revista estadounidense de ciencias políticas . 48 (3): 787–792. doi :10.2307/1951053. hdl : 10338.dmlcz/143361 . JSTOR  1951053. S2CID  143514359.
2. Hu, Xingwei (2006). "Un índice de poder asimétrico de Shapley-Shubik". Revista Internacional de Teoría de Juegos . 34 (2): 229–240. doi :10.1007/s00182-006-0011-z. S2CID  42120182.
3. Matsui, Tomomi; Matsui, Yasuko (2000). "Un estudio de algoritmos para calcular índices de poder de juegos mayoritarios ponderados" (PDF) . J. Ópera. Res. Soc. Japón . 43 (1): 71–86..
4. Varela, Diego; Prado-Domínguez, Javier (2012-01-01). "Negociación del Tratado de Lisboa: índices de redistribución, eficiencia y poder". Revista económica checa . 6 (2): 107–124.

enlaces externos

• Calculadora de índice de potencia en línea (por Tomomi Matsui)
• Algoritmos informáticos para el análisis del poder de voto Algoritmos basados ​​en la web para el análisis del poder de voto
• Calculadora de índice de potencia Calcula varios índices para (múltiples) juegos de votación ponderados en línea. Incluye algunos ejemplos.
• Calcular el índice de potencia de Shapley-Shubik y el índice de potencia de Banzhaf con Python y R (por Frank Huettner)