El índice de poder de Banzhaf , llamado así en honor a John Banzhaf (inventado originalmente por Lionel Penrose en 1946 y a veces llamado índice de Penrose-Banzhaf ; también conocido como índice de Banzhaf-Coleman en honor a James Samuel Coleman ), es un índice de poder definido por la probabilidad de cambiar un resultado de una votación en la que los derechos de voto no están necesariamente divididos equitativamente entre los votantes o accionistas .
Para calcular el poder de un votante utilizando el índice de Banzhaf, enumere todas las coaliciones ganadoras y luego cuente a los votantes críticos. Un votante crítico es aquel que, si cambiara su voto de sí a no, haría que la medida fracasara. El poder de un votante se mide como la fracción de todos los votos indecisos que podría emitir. Existen algunos algoritmos para calcular el índice de potencia, por ejemplo, técnicas de programación dinámica , métodos de enumeración y métodos de Monte Carlo . [1]
Un juego de votación sencillo, tomado de Teoría y estrategia de juegos de Philip D. Straffin: [2]
[6; 4, 3, 2, 1]
Los números entre paréntesis significan que una medida requiere 6 votos para ser aprobada, y el votante A puede emitir cuatro votos, B tres votos, C dos y D uno. Los grupos ganadores, con los votantes indecisos subrayados, son los siguientes:
AB , AC , A BC, AB D, AC D, BCD , ABCD
Hay un total de 12 votos indecisos, por lo que según el índice de Banzhaf, el poder se divide así:
A = 5/12, B = 3/12, C = 3/12, D = 1/12
Consideremos el Colegio Electoral de Estados Unidos . Cada estado tiene diferentes niveles de poder de voto. Hay un total de 538 votos electorales . Una mayoría de votos es de 270 votos. El índice de poder de Banzhaf sería una representación matemática de la probabilidad de que un solo estado pueda influir en el voto. Un estado como California , al que se le asignan 55 votos electorales, tendría más probabilidades de cambiar el voto que un estado como Montana , que tiene 3 votos electorales.
Supongamos que en Estados Unidos se celebran elecciones presidenciales entre un republicano (R) y un demócrata (D). Para simplificar, supongamos que sólo participan tres estados: California (55 votos electorales), Texas (38 votos electorales) y Nueva York (29 votos electorales).
Los posibles resultados de la elección son:
El índice de poder de Banzhaf de un estado es la proporción de los posibles resultados en los que ese estado podría influir en las elecciones. En este ejemplo, los tres estados tienen el mismo índice: 4/12 o 1/3.
Sin embargo, si Nueva York es reemplazada por Georgia, con sólo 16 votos electorales, la situación cambia dramáticamente.
En este ejemplo, el índice de Banzhaf da a California 1 y a los demás estados 0, ya que sólo California tiene más de la mitad de los votos.
Cinco empresas (A, B, C, D, E) firman un acuerdo para la creación de un monopolio . El tamaño del mercado es X = 54 millones de unidades por año (por ejemplo, barriles de petróleo) para un monopolio. La capacidad máxima de producción de estas empresas es A = 44, B = 32, C = 20, D = 8 y E = 4 millones de unidades al año. Por lo tanto, hay un conjunto de coaliciones capaces de proporcionar los 54 millones de unidades necesarias para el monopolio, y un conjunto de coaliciones que no pueden proporcionar esa cantidad. En cada una de las coaliciones suficientes, uno puede tener miembros necesarios (para que la coalición proporcione la producción requerida) y miembros innecesarios (subrayados en la siguiente tabla). Incluso cuando uno de estos miembros innecesarios sale de la coalición suficiente, esa coalición es capaz de proporcionar la producción requerida. Sin embargo, cuando un miembro necesario se marcha, la coalición suficiente se vuelve insuficiente. El beneficio del monopolio que se distribuirá entre los miembros de la coalición es de 100 millones de dólares al año.
El índice de Penrose-Banzhaf se puede aplicar al cálculo del valor de Shapley , que proporciona una base para una distribución de las ganancias de cada jugador en el juego en proporción al número de coaliciones suficientes en las que ese jugador es necesario. El jugador A es necesario para 10 de las 16 coaliciones suficientes, B es necesario para 6, C también para 6, D para 2 y E para 2. Por tanto, A es necesario en el 38,5% del total de los casos (26 = 10 + 6 + 6 + 2 + 2, por lo que 10/26 = 0,385), B en 23,1%, C en 23,1%, D en 7,7% y E en 7,7% (estos son los índices de Banzhaf para cada empresa). La distribución de los 100 millones de beneficios del monopolio según el criterio del valor de Shapley debe seguir esas proporciones.
Lo que hoy se conoce como índice de poder de Banzhaf fue introducido originalmente por Lionel Penrose en 1946 [3] y quedó en gran parte olvidado. [4] Fue reinventado por John F. Banzhaf III en 1965, [5] pero tuvo que ser reinventado una vez más por James Samuel Coleman en 1971 [6] antes de que se convirtiera en parte de la literatura convencional.
Banzhaf quería demostrar objetivamente que el sistema de votación de la junta del condado de Nassau era injusto. Como se indica en Teoría y estrategia de juegos , los votos se asignaron de la siguiente manera: [2]
Se trata de 30 votos en total y se requería una mayoría simple de 16 votos para que se aprobara una medida. [a]
En la notación de Banzhaf, [Hempstead #1, Hempstead #2, North Hempstead, Oyster Bay, Glen Cove, Long Beach] son AF en [16; 9, 9, 7, 3, 1, 1]
Hay 32 coaliciones ganadoras y 48 votos indecisos:
AB AC BC ABC AB D AB E AB F AC D AC E AC F BC D BC E BC F ABCD ABCE ABCF AB DE AB DF AB EF AC DE AC DF AC EF BC DE BC DF BC EF ABCDE ABCDF ABCEF AB DEF AC DEF BC DEF ABCDEF
El índice de Banzhaf da estos valores:
Banzhaf argumentó que un acuerdo electoral que otorga el 0% del poder al 16% de la población es injusto. [b]
Hoy, [ ¿ cuándo? ] el índice de poder de Banzhaf es una forma aceptada de medir el poder de voto, junto con el índice de poder alternativo de Shapley-Shubik . Ambas medidas se han aplicado al análisis de las votaciones en el Consejo de la Unión Europea . [7]
Sin embargo, el análisis de Banzhaf ha sido criticado por tratar los votos como lanzamientos de monedas, y un modelo empírico de votación en lugar de un modelo de votación aleatoria como el utilizado por Banzhaf produce resultados diferentes. [8]
