Índice de Atkinson

El índice de Atkinson (también conocido como medida de Atkinson o medida de desigualdad de Atkinson ) es una medida de desigualdad de ingresos desarrollada por el economista británico Anthony Barnes Atkinson . La medida es útil para determinar qué extremo de la distribución contribuyó más a la desigualdad observada. ^[1]

Definición

El índice puede convertirse en una medida normativa imponiendo un coeficiente para ponderar los ingresos. Se puede dar mayor peso a los cambios en una porción dada de la distribución del ingreso eligiendo , el nivel de "aversión a la desigualdad", de manera apropiada. El índice de Atkinson se vuelve más sensible a los cambios en el extremo inferior de la distribución del ingreso a medida que aumenta. Por el contrario, a medida que el nivel de aversión a la desigualdad cae (es decir, cuando se acerca a 0), el índice de Atkinson se vuelve menos sensible a los cambios en el extremo inferior de la distribución. El índice de Atkinson es altamente sensible a los ingresos más altos debido a la restricción común de que es no negativo. ^[2] ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

El parámetro de Atkinson se denomina a menudo "parámetro de aversión a la desigualdad", ya que regula la sensibilidad de las pérdidas de bienestar social implícitas de la desigualdad a la desigualdad de ingresos, medida por algún índice de entropía generalizado correspondiente. El índice de Atkinson se define en referencia a una función de bienestar social correspondiente, donde el ingreso medio multiplicado por uno menos el índice de Atkinson da el equivalente de bienestar ingreso distribuido equitativamente . Por lo tanto, el índice de Atkinson da la parte del ingreso actual que podría sacrificarse, sin reducir el bienestar social, si se instaurara una desigualdad perfecta. Para , (sin aversión a la desigualdad), el bienestar social marginal del ingreso es invariante al ingreso, es decir, los aumentos marginales en el ingreso producen tanto bienestar social ya sea que vayan a un individuo pobre o rico. En este caso, el ingreso distribuido equitativamente equivalente al bienestar es igual al ingreso medio, y el índice de Atkinson es cero. ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon =0}$

Para (aversión infinita a la desigualdad) el bienestar social marginal del ingreso del individuo más pobre es infinitamente mayor que el de cualquier individuo incluso ligeramente más rico, y la función de bienestar social de Atkinson es igual al ingreso más bajo de la muestra. En este caso, el índice de Atkinson es igual al ingreso medio menos el ingreso más bajo, dividido por el ingreso medio. Como en las grandes distribuciones típicas de ingresos son comunes los ingresos de cero o cercanos a cero, el índice de Atkinson tenderá a ser uno o muy cercano a uno para distribuciones muy grandes de ingresos . ${\displaystyle \varepsilon =+\infty }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

El índice de Atkinson varía entonces entre 0 y 1 y es una medida de la cantidad de utilidad social que se obtendría con una redistribución completa de una distribución de ingresos dada, para un parámetro dado. De acuerdo con el estándar ético utilitarista y algunos supuestos restrictivos (una población homogénea y una elasticidad constante de la utilidad de sustitución), es igual a la elasticidad ingreso de la utilidad marginal del ingreso. ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

El índice de Atkinson se define como:

${\displaystyle A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})={\begin{cases}1-{\frac {1}{\mu }}\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}y_{i}^{1-\varepsilon }\right)^{1/(1-\varepsilon )}&{\mbox{for}}\ 0\leq \varepsilon \neq 1\\1-{\frac {1}{\mu }}\left(\prod _{i=1}^{N}y_{i}\right)^{1/N}&{\mbox{for}}\ \varepsilon =1\\1-{\frac {1}{\mu }}\min \left(y_{1},...,y_{N}\right)&{\mbox{for}}\ \varepsilon =+\infty \end{cases}}}$

donde es el ingreso individual ( i = 1, 2, ..., N ) y es el ingreso medio . ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle \mu }$

En otras palabras, el índice de Atkinson es el complemento a 1 del cociente de la media generalizada de Hölder del exponente 1−ε a la media aritmética de los ingresos (donde como es habitual la media generalizada del exponente 0 se interpreta como la media geométrica ).

El índice de Atkinson satisface las siguientes propiedades:

1. El índice es simétrico en sus argumentos: para cualquier permutación . ${\displaystyle A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})=A_{\varepsilon }(y_{\sigma (1)},\ldots ,y_{\sigma (N)})}$ ${\displaystyle \sigma }$
2. El índice no es negativo y es igual a cero sólo si todos los ingresos son iguales: si y solo si para todos . ${\displaystyle A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})=0}$ ${\displaystyle y_{i}=\mu }$ ${\displaystyle i}$
3. El índice satisface el principio de transferencias : si se realiza una transferencia de un individuo con un ingreso a otro con un ingreso tal que , entonces el índice de desigualdad no puede aumentar. ${\displaystyle \Delta >0}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle y_{j}}$ ${\displaystyle y_{i}-\Delta >y_{j}+\Delta }$
4. El índice satisface el axioma de replicación de la población: si se forma una nueva población replicando la población existente un número arbitrario de veces, la desigualdad sigue siendo la misma: ${\displaystyle A_{\varepsilon }(\{y_{1},\ldots ,y_{N}\},\ldots ,\{y_{1},\ldots ,y_{N}\})=A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})}$
5. El índice satisface el axioma de independencia media u homogeneidad de ingresos: si todos los ingresos se multiplican por una constante positiva, la desigualdad sigue siendo la misma: para cualquier . ${\displaystyle A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})=A_{\varepsilon }(ky_{1},\ldots ,ky_{N})}$ ${\displaystyle k>0}$
6. El índice se puede descomponer en subgrupos. ^[3] Esto significa que la desigualdad general en la población se puede calcular como la suma de los índices de Atkinson correspondientes dentro de cada grupo y el índice de Atkinson de los ingresos medios del grupo:

${\displaystyle A_{\varepsilon }(y_{gi}:g=1,\ldots ,G,i=1,\ldots ,N_{g})=\sum _{g=1}^{G}w_{g}A_{\varepsilon }(y_{g1},\ldots ,y_{gN_{g}})+A_{\varepsilon }(\mu _{1},\ldots ,\mu _{G})}$

donde los grupos de índices, , individuos dentro de los grupos, es el ingreso medio en el grupo , y los pesos dependen de y . La clase de los índices de desigualdad descomponibles en subgrupos es muy restrictiva. Muchos índices populares, incluido el índice de Gini , no satisfacen esta propiedad. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mu _{g}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle w_{g}}$ ${\displaystyle \mu _{g},\mu ,N}$ ${\displaystyle N_{g}}$

Véase también

• Indicadores de desigualdad de ingresos
• Índice de entropía generalizado
• Índice de Gini

Notas al pie

1. entre otros, "Ingresos, pobreza y cobertura de seguro de salud en los Estados Unidos: 2010", Oficina del Censo de los Estados Unidos , 2011, pág. 10
2. El índice de Atkinson está relacionado con la clase de entropía generalizada (GE) de índices de desigualdad por - es decir, un índice de Atkinson con alta aversión a la desigualdad se deriva de un índice GE con pequeño . Los índices GE con grandes son sensibles a la existencia de grandes ingresos máximos, pero el índice de Atkinson correspondiente tendría negativo . Para un índice de Atkinson hipotético con que sea negativo, la función de utilidad social implícita sería convexa en el ingreso, y el índice de Atkinson sería no positivo. ${\displaystyle \epsilon =1-\alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \epsilon }$
3. Shorrocks, AF (1980). La clase de índices de desigualdad descomponibles de forma aditiva. Econometrica , 48 (3), 613–625, doi :10.2307/1913126

Referencias

• Atkinson, AB (1970) On the measurement of inequality. Journal of Economic Theory , 2 (3), pp. 244–263, doi :10.1016/0022-0531(70)90039-6. El artículo original que propone este índice de desigualdad.
• Allison PD (1978) Medidas de desigualdad, American Sociological Review , 43, págs. 865-880. Presenta un análisis técnico de las propiedades del índice de Atkinson. Hay un error en la fórmula del índice de Atkinson, que se corrige en Allison (1979).
• Allison, PD (1979) Respuesta a Jasso. American Sociological Review 44(5):870–72.
• Biewen M, Jenkins SP (2003). Estimación de índices de entropía generalizada y desigualdad de Atkinson a partir de datos de encuestas complejos. Documento de debate de IZA n.° 763. Proporciona inferencia estadística para índices de Atkinson.
• Lambert, P. (2002). Distribución y redistribución del ingreso . 3.ª edición, Manchester Univ Press, ISBN 978-0-7190-5732-8 . 
• Sen A, Foster JE (1997) On Economic Inequality , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-828193-1 . (Script de Python para una selección de fórmulas del libro) 
• Base de datos sobre la desigualdad del ingreso mundial Archivado el 13 de marzo de 2011 en Wayback Machine , del Instituto Mundial de Investigación en Economía del Desarrollo
• Desigualdad de ingresos, 1947-1998, de la Oficina del Censo de los Estados Unidos .

Enlaces externos

Software:

• Calculadora en línea gratuita que calcula el coeficiente de Gini, traza la curva de Lorenz y calcula muchas otras medidas de concentración para cualquier conjunto de datos
• Calculadora gratuita: scripts en línea y descargables ( Python y Lua ) para las desigualdades de Atkinson, Gini y Hoover
• Los usuarios del software de análisis de datos R pueden instalar el paquete "ineq" que permite calcular una variedad de índices de desigualdad, incluidos Gini, Atkinson y Theil.
• Un paquete de desigualdades de MATLAB archivado el 4 de octubre de 2008 en Wayback Machine , que incluye código para calcular los índices de Gini, Atkinson y Theil y para trazar la curva de Lorenz. Hay muchos ejemplos disponibles.
• Paquetes de desigualdad de Stata : ineqdeco para descomponer la desigualdad por grupos; svygei y svyatk para calcular varianzas consistentes con el diseño para los índices de entropía generalizada y Atkinson; glcurve para obtener la curva de Lorenz generalizada. Puede escribir ssc install ineqdecoetc. en el mensaje de Stata para instalar estos paquetes.