Árbol de ternas pitagóricas primitivas

En matemáticas , un árbol de ternas pitagóricas primitivas es un árbol de datos en el que cada nodo se ramifica en tres nodos posteriores con el conjunto infinito de todos los nodos dando todas (y sólo) ternas pitagóricas primitivas sin duplicación.

Una terna pitagórica es un conjunto de tres enteros positivos a, byc que tienen la propiedad de que pueden ser respectivamente los dos catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo , satisfaciendo así la ecuación ; Se dice que el triple es primitivo si y sólo si el máximo común divisor de a, b y c es uno. Los primitivos triples pitagóricos a, b y c también son coprimos por pares . El conjunto de todas las ternas pitagóricas primitivas tiene la estructura de un árbol enraizado , concretamente de un árbol ternario , de forma natural. Esto fue descubierto por primera vez por B. Berggren en 1934. ^[1] $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

FJM Barning demostró ^[2] que cuando cualquiera de las tres matrices

{\begin{array}{lcr}A={\begin{bmatrix}1&-2&2\\2&-1&2\\2&-2&3\end{bmatrix}}&B={\begin{bmatrix}1&2&2\\ 2&1&2\\2&2&3\end{bmatrix}}&C={\begin{bmatrix}-1&2&2\\-2&1&2\\-2&2&3\end{bmatrix}}\end{array}}

se multiplica a la derecha por un vector columna cuyos componentes forman una terna pitagórica, entonces el resultado es otro vector columna cuyos componentes son una terna pitagórica diferente. Si el triplete inicial es primitivo, también lo será el resultante. Así, cada terna pitagórica primitiva tiene tres "hijos". Todos los triples pitagóricos primitivos descienden de esta manera del triple (3, 4, 5), y ningún triple primitivo aparece más de una vez. El resultado se puede representar gráficamente como un árbol ternario infinito con (3, 4, 5) en el nodo raíz (ver árbol clásico a la derecha). Este árbol también apareció en artículos de A. Hall en 1970 ^[3] y AR Kanga en 1990. ^[4] En 2008, VE Firstov demostró en general que sólo existen tres árboles de tricotomía de este tipo y dan explícitamente un árbol similar al de Berggren pero que comienza con el nodo inicial. (4, 3, 5). ^[5]

Pruebas

Presencia de ternas pitagóricas exclusivamente primitivas

Se puede demostrar inductivamente que el árbol contiene ternas pitagóricas primitivas y nada más, mostrando que a partir de una terna pitagórica primitiva, como la que está presente en el nodo inicial con (3, 4, 5), cada terna generada es a la vez pitagórica y primitiva. .

Preservación de la propiedad pitagórica.

Si cualquiera de las matrices anteriores, digamos A , se aplica a una tripleta ( a , b , c ) ^T que tiene la propiedad pitagórica a ² + b ² = c ² para obtener una nueva tripleta ( d , e , f ) ^T = A ( a , b , c ) ^T , este nuevo triplete también es pitagórico. Esto se puede ver escribiendo cada uno de d , e y f como la suma de tres términos en a , b y c , elevando al cuadrado cada uno de ellos y sustituyendo c ² = a ² + b ² para obtener f ² = d. ² + mi ² . Esto es válido tanto para B y C como para A.

Preservación del primitivismo

Las matrices A , B y C son todas unimodulares , es decir, sólo tienen entradas enteras y sus determinantes son ±1. Por tanto, sus inversas también son unimodulares y, en particular, sólo tienen entradas enteras. Entonces, si cualquiera de ellos, por ejemplo A , se aplica a una tripleta pitagórica primitiva ( a , b , c ) ^T para obtener otra tripleta ( d , e , f ) ^T , tenemos ( d , e , f ) ^T = A ( a , b , c ) ^T y por tanto ( a , b , c ) ^T = A ⁻¹ ( d , e , f ) ^T . Si cualquier factor primo fuera compartido por dos de (y por lo tanto los tres) d , e y f , entonces, mediante esta última ecuación, ese primo también dividiría a cada uno de a , b y c . Entonces, si a , b y c son de hecho coprimos por pares, entonces d , e y f también deben ser coprimos por pares. Esto es válido tanto para B y C como para A.

Presencia de cada triplete pitagórico primitivo exactamente una vez

Para demostrar que el árbol contiene cada tripleta pitagórica primitiva, pero no más de una vez, basta demostrar que para cada tripleta existe exactamente un camino de regreso a través del árbol hasta el nodo inicial (3, 4, 5). Esto se puede ver aplicando a su vez cada una de las matrices inversas unimodulares A ⁻¹ , B ⁻¹ y C ⁻¹ a un triple pitagórico primitivo arbitrario ( d , e , f ), observando que por el razonamiento anterior la primitividad y el pitagórico Se conservan las propiedades, y observando que para cualquier triple mayor que (3, 4, 5) exactamente una de las matrices de transición inversa produce un nuevo triple con todas las entradas positivas (y una hipotenusa más pequeña). Por inducción, este nuevo triple válido conduce exactamente a un triple válido más pequeño, y así sucesivamente. Por la finitud del número de hipotenusas potenciales cada vez más pequeñas, eventualmente se alcanza (3, 4, 5). Esto prueba que ( d , e , f ) de hecho ocurre en el árbol, ya que se puede llegar a él desde (3, 4, 5) invirtiendo los pasos; y ocurre únicamente porque solo había un camino desde ( d , e , f ) a (3, 4, 5).

Propiedades

La transformación usando la matriz A , si se realiza repetidamente desde ( a , b , c ) = (3, 4, 5), conserva la característica b + 1 = c ; la matriz B conserva a – b = ±1 a partir de (3, 4, 5); y la matriz C conserva la característica a + 2 = c a partir de (3, 4, 5).

Una interpretación geométrica de este árbol involucra los excírculos presentes en cada nodo. Los tres hijos de cualquier triángulo padre “heredan” sus radios internos del padre: los radios excirculares del padre se convierten en los radios internos de la siguiente generación. ^[6]^{: p.7} Por ejemplo, el padre (3, 4, 5) tiene radios excírculos iguales a 2, 3 y 6. Estos son precisamente los radios internos de los tres hijos (5, 12, 13), (15, 8 , 17) y (21, 20, 29) respectivamente.

Si A o C se aplica repetidamente desde cualquier tripleta pitagórica utilizada como condición inicial, entonces la dinámica de cualquiera de a , b y c se puede expresar como la dinámica de x en

x_{n+3}-3x_{n+2}+3x_{n+1}-x_{n}=0\,

que sigue el modelo de la ecuación característica compartida de las matrices

\lambda ^{3}-3\lambda ^{2}+3\lambda -1=0.\,

Si B se aplica repetidamente, entonces la dinámica de cualquiera de a , b y c se puede expresar como la dinámica de x en

x_{n+3}-5x_{n+2}-5x_{n+1}+x_{n}=0,\,

que sigue el modelo de la ecuación característica de B . ^[7]

Además, se puede encontrar una infinidad de otras ecuaciones en diferencias univariadas de tercer orden multiplicando cualquiera de las tres matrices un número arbitrario de veces en una secuencia arbitraria. Por ejemplo, la matriz D = CB mueve uno fuera del árbol dos nodos (a lo ancho y luego hacia abajo) en un solo paso; la ecuación característica de D proporciona el patrón para la dinámica de tercer orden de cualquiera de a , b o c en el árbol no exhaustivo formado por D.

Métodos alternativos para generar el árbol.

Usando dos parámetros

Otro enfoque de la dinámica de este árbol ^[8] se basa en la fórmula estándar para generar todas las ternas pitagóricas primitivas:

a=m^{2}-n^{2},\,

b=2mn,\,

c=m^{2}+n^{2},\,

con $m > n > 0$ y $m$ y $n$ coprimos y de paridad opuesta (es decir, no ambos impares). Los pares $(m, n)$ se pueden iterar multiplicándolos previamente (expresados como un vector de columna) por cualquiera de

{\begin{array}{lcr}{\begin{bmatrix}2&-1\\1&0\end{bmatrix}},&{\begin{bmatrix}2&1\\1&0\end{bmatrix}},& {\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix}},\end{array}}

cada uno de los cuales preserva las desigualdades, la coprimación y la paridad opuesta. El árbol ternario resultante, que comienza en $(2, 1)$ , contiene cada par $(m, n)$ exactamente una vez, y cuando se convierte en $(a, b, c)$ triples se vuelve idéntico al árbol descrito anteriormente.

Alternativamente, comience con $(m, n) = (3, 1)$ para el nodo raíz. ^{[9] Entonces las multiplicaciones} $de$ matrices preservarán las desigualdades y la coprimidad, y tanto myn $seguirán$ siendo impares. Las ternas pitagóricas primitivas correspondientes tendrán $a$ $= ($ $m$ $2$ $-$ $n$ $2$ $) / 2$ , $b$ $=$ $mn$ y $c$ $= ($ $m$ $2$ $+$ $n$ $2$ $) / 2$ . Este árbol producirá las mismas ternas pitagóricas primitivas, aunque con $a$ y $b$ intercambiadas.

Usando un parámetro

Este enfoque se basa en la fórmula estándar para generar cualquier terna pitagórica primitiva a partir de una tangente de medio ángulo. Específicamente se escribe $t = n / m = b / (a + c)$ , donde $t$ es la tangente de la mitad del ángulo interior opuesto al lado de longitud $b$ . El nodo raíz del árbol es $t = 1/2$ , que es para el triple pitagórico primitivo $(3, 4, 5)$ . Para cualquier nodo con valor $t$ , sus tres hijos son $1/(2 - t)$ , $1/(2 + t)$ y $t /(1 + 2 t)$ . Para encontrar el triple pitagórico primitivo asociado con cualquier valor $t$ , calcula $(1 - t 2, 2 t, 1 + t 2)$ y multiplica los tres valores por el mínimo común múltiplo de sus denominadores. (Como alternativa, escriba $t = n / m$ como una fracción en términos mínimos y use las fórmulas de la sección anterior). Un nodo raíz que en su lugar tenga el valor $t = 1/3$ dará el mismo árbol de ternas pitagóricas primitivas, aunque con el valores de $a$ y $b$ intercambiados.

Un árbol diferente

Alternativamente, también se pueden utilizar 3 matrices diferentes encontradas por Precio. ^[6] Estas matrices A', B', C' y sus correspondientes transformaciones lineales se muestran a continuación.

{\overset {{A}'}{\mathop {\left[{\begin{matrix}2&1&-1\\-2&2&2\\-2&1&3\end{matrix}}\right]} }}\left [{\begin{matrix}a\\b\\c\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a_{1}\\b_{1}\\c_{1}\ end{matrix}}\right],\quad {\text{ }}{\overset {{B}'}{\mathop {\left[{\begin{matrix}2&1&1\\2&-2&2\\2&-1&3 \end{matrix}}\right]} }}\left[{\begin{matrix}a\\b\\c\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a_ {2}\\b_{2}\\c_{2}\end{matrix}}\right],\quad {\text{ }}{\overset {{C}'}{\mathop {\left[{ \begin{matrix}2&-1&1\\2&2&2\\2&1&3\\\end{matrix}}\right]} }}\left[{\begin{matrix}a\\b\\c\\\end{matrix }}\right]=\left[{\begin{matrix}a_{3}\\b_{3}\\c_{3}\end{matrix}}\right]

Las tres transformaciones lineales de Price son

{\begin{aligned}&{\begin{matrix}+2a+b-c=a_{1}\quad &-2a+2b+2c=b_{1}\quad &-2a+b+3c=c_{1}&\quad \to \left[{\text{ }}a_{1},{\text{ }}b_{1},{\text{ }}c_{1}\right]\end{matrix}}\\&{\begin{matrix}+2a+b+c=a_{2}\quad &+2a-2b+2c=b_{2}\quad &+2a-b+3c=c_{2}&\quad \to \left[{\text{ }}a_{2},{\text{ }}b_{2},{\text{ }}c_{2}\right]\end{matrix}}\\&{\begin{matrix}+2a-b+c=a_{3}\quad &+2a+2b+2c=b_{3}\quad &+2a+b+3c=c_{3}&\quad \to \left[{\text{ }}a_{3},{\text{ }}b_{3},{\text{ }}c_{3}\right]\end{matrix}}\\&\end{aligned}}

Los 3 hijos producidos por cada uno de los dos conjuntos de matrices no son iguales, pero cada conjunto produce por separado todos los triples primitivos.

Por ejemplo, usando [5, 12, 13] como padre, obtenemos dos conjuntos de tres hijos:

{\begin{array}{ccc}&\left[5,12,13\right]&\\A&B&C\\\left[45,28,53\right]&\left[55,48,73\right]&\left[7,24,25\right]\end{array}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad {\begin{array}{ccc}{}&\left[5,12,13\right]&{}\\A'&B'&C'\\\left[9,40,41\right]&\left[35,12,37\right]&\left[11,60,61\right]\end{array}}

notas y referencias

^ B. Berggren, "Pytagoreiska trianglar" (en sueco), Elementa: Tidskrift för elementär matematik, fysik och kemi 17 (1934), 129-139. Consulte la página 6 para ver el árbol enraizado.
^ Barning, FJM (1963), "Over pythagorese en bijna-pythagorese driehoeken en een generatieproces met behulp van unimodulaire matrices" (en holandés), Math. Centrum Ámsterdam Afd. Zuivere Wisk. ZW-011: 37, https://ir.cwi.nl/pub/7151
^ A. Hall, "Genealogía de las tríadas pitagóricas", The Mathematical Gazette , volumen 54, número 390, diciembre de 1970, páginas 377–9.
^ Kanga, AR, "El árbol genealógico de las ternas pitagóricas", Boletín del Instituto de Matemáticas y sus Aplicaciones 26, enero/febrero de 1990, 15-17.
^ Firstov, VE (2008). "Un semigrupo especial de transformación matricial de pares primitivos y la genealogía de los triples pitagóricos". Estera. Zametki . 84 (2): 281–299. doi : 10.4213/mzm4074 .
^ ab Precio, H. Lee (2008). "El árbol pitagórico: una nueva especie". arXiv : 0809.4324 [matemáticas HO].
^ Mitchell, Douglas W., "Comentarios sobre 92,60", Mathematical Gazette 93, julio de 2009, 358–9.
^ Saunders, Robert A.; Randall, Trevor (julio de 1994), "Revisión del árbol genealógico de los trillizos pitagóricos", Mathematical Gazette , 78 : 190–193, doi :10.2307/3618576, JSTOR 3618576, S2CID 125749577.
^ Mitchell, Douglas W., "Una caracterización alternativa de todos los triples pitagóricos primitivos", Mathematical Gazette 85, julio de 2001, 273-275.

enlaces externos

Los árboles trinarios subyacentes a los triples pitagóricos primitivos al cortar el nudo
Frank R. Bernhart y H. Lee Price, "El jardín de Pitágoras, revisitado", Australian Senior Mathematics Journal 01/2012; 26(1):29-40.[1]
Weisstein, Eric W. "Triple pitagórico". MundoMatemático .