En geometría , el defecto (o déficit o deficiencia ) ( angular ) significa que algunos ángulos no suman la cantidad esperada de 360° o 180°, cuando tales ángulos en el plano euclidiano lo harían. La noción contraria es la del exceso .
Clásicamente el defecto surge de dos formas:
y el exceso también surge de dos maneras:
En el plano euclidiano, los ángulos alrededor de un punto suman 360°, mientras que los ángulos interiores en un triángulo suman 180° (de manera equivalente, los ángulos exteriores suman 360°). Sin embargo, en un poliedro convexo los ángulos en un vértice suman menos de 360°, en un triángulo esférico los ángulos interiores siempre suman más de 180° (los ángulos exteriores suman menos de 360°), y los ángulos en un triángulo hiperbólico siempre suman menos de 180° (los ángulos exteriores suman más de 360°).
En términos modernos, el defecto en un vértice es una versión discreta de la curvatura de la superficie poliédrica concentrada en ese punto , y el teorema de Gauss-Bonnet da la curvatura total multiplicada por la característica de Euler , por lo que la suma de los defectos es .
Para un poliedro , el defecto en un vértice es igual a 2π menos la suma de todos los ángulos en el vértice (se incluyen todas las caras en el vértice). Si un poliedro es convexo, entonces el defecto de cada vértice es siempre positivo. Si la suma de los ángulos excede una vuelta completa , como ocurre en algunos vértices de muchos poliedros no convexos, entonces el defecto es negativo.
El concepto de defecto se extiende a dimensiones superiores como la cantidad en la que la suma de los ángulos diédricos de las células en un pico no llega a un círculo completo.
El defecto de cualquiera de los vértices de un dodecaedro regular (en el que tres pentágonos regulares se encuentran en cada vértice) es 36°, o π/5 radianes, o 1/10 de un círculo. Cada uno de los ángulos mide 108°; tres de estos se encuentran en cada vértice, por lo que el defecto es 360° − (108° + 108° + 108°) = 36°.
Se puede seguir el mismo procedimiento para los demás sólidos platónicos :
El teorema de Descartes sobre el "defecto total" de un poliedro establece que si el poliedro es homeomorfo a una esfera (es decir, topológicamente equivalente a una esfera, de modo que pueda deformarse en una esfera estirándose sin desgarrarse), el "defecto total", es decir, la suma de los defectos de todos los vértices es dos círculos completos (o 720° o 4 π radianes). No es necesario que el poliedro sea convexo. [1]
Una generalización dice que el número de círculos en el defecto total es igual a la característica de Euler del poliedro. Este es un caso especial del teorema de Gauss-Bonnet que relaciona la integral de la curvatura gaussiana con la característica de Euler. Aquí la curvatura gaussiana se concentra en los vértices: en las caras y aristas la curvatura gaussiana es cero y la integral de la curvatura gaussiana en un vértice es igual al defecto allí.
Esto se puede utilizar para calcular el número V de vértices de un poliedro sumando los ángulos de todas las caras y sumando el defecto total. Este total tendrá un círculo completo por cada vértice del poliedro. Se debe tener cuidado de utilizar la característica de Euler correcta para el poliedro.
Un recíproco de este teorema viene dado por el teorema de unicidad de Alexandrov , según el cual un espacio métrico que es localmente euclidiano excepto por un número finito de puntos de defecto angular positivo, sumados a 4 π , puede realizarse de una manera única como la superficie de un poliedro convexo.
Es tentador pensar que todo poliedro no convexo debe tener algunos vértices cuyo defecto sea negativo, pero no tiene por qué ser así. Dos contraejemplos a esto son el pequeño dodecaedro estrellado y el gran dodecaedro estrellado , que tienen doce puntas convexas, cada una con defectos positivos.
Un contraejemplo que no se corta a sí mismo lo proporciona un cubo donde una cara es reemplazada por una pirámide cuadrada : esta pirámide cuadrada alargada es convexa y los defectos en cada vértice son positivos. Ahora considere el mismo cubo donde la pirámide cuadrada entra en el cubo: este es cóncavo, pero los defectos siguen siendo los mismos y, por lo tanto, todos son positivos.
El defecto negativo indica que el vértice se asemeja a un punto de silla (curvatura negativa), mientras que el defecto positivo indica que el vértice se asemeja a un máximo o mínimo local (curvatura positiva).
