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Congruencia (geometría)

Los dos triángulos de la izquierda son congruentes. El tercero es semejante a ellos. El último triángulo no es congruente ni semejante a ninguno de los otros. La congruencia permite alterar algunas propiedades, como la ubicación y la orientación, pero deja otras inalteradas, como las distancias y los ángulos . Las propiedades que no cambian se denominan invariantes .

En geometría , dos figuras u objetos son congruentes si tienen la misma forma y tamaño , o si uno tiene la misma forma y tamaño que la imagen especular del otro. [1]

Más formalmente, dos conjuntos de puntos se denominan congruentes si, y solo si, uno puede transformarse en el otro mediante una isometría , es decir, una combinación de movimientos rígidos , a saber, una traslación , una rotación y una reflexión . Esto significa que cualquiera de los objetos puede reposicionarse y reflejarse (pero no cambiar de tamaño) de modo que coincida exactamente con el otro objeto. Por lo tanto, dos figuras planas distintas en una hoja de papel son congruentes si se pueden recortar y luego hacer coincidir completamente. Se permite dar vuelta el papel.

Este diagrama ilustra el principio geométrico de la congruencia de ángulo-ángulo-lado de un triángulo: dado el triángulo ABC y el triángulo A'B'C', el triángulo ABC es congruente con el triángulo A'B'C' si y solo si: el ángulo CAB es congruente con el ángulo C'A'B', el ángulo ABC es congruente con el ángulo A'B'C', y BC es congruente con B'C'. Nótese que aquí se utilizan marcas de rayado para mostrar las igualdades de ángulos y lados.

En geometría elemental, la palabra congruente se utiliza a menudo de la siguiente manera. [2] La palabra igual se utiliza a menudo en lugar de congruente para estos objetos.

En este sentido, dos figuras planas son congruentes implica que sus características correspondientes son "congruentes" o "iguales", incluyendo no sólo sus lados y ángulos correspondientes, sino también sus diagonales, perímetros y áreas correspondientes.

El concepto relacionado de similitud se aplica si los objetos tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño. (La mayoría de las definiciones consideran la congruencia como una forma de similitud, aunque una minoría exige que los objetos tengan tamaños diferentes para ser considerados similares).

Determinación de la congruencia de polígonos

Los cuadriláteros naranja y verde son congruentes; el azul no lo es con ellos. Los tres tienen el mismo perímetro y área . (El orden de los lados del cuadrilátero azul es "mixto", lo que da como resultado que dos de los ángulos interiores y una de las diagonales no sean congruentes).

Para que dos polígonos sean congruentes, deben tener el mismo número de lados (y, por lo tanto, el mismo número de vértices). Dos polígonos con n lados son congruentes si y solo si cada uno de ellos tiene secuencias numéricamente idénticas (aunque sean en el sentido de las agujas del reloj para un polígono y en el sentido contrario para el otro) lado-ángulo-lado-ángulo-... para n lados y n ángulos.

La congruencia de polígonos se puede establecer gráficamente de la siguiente manera:

Si en algún momento no se puede completar el paso, los polígonos no son congruentes.

Congruencia de triángulos

Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes son iguales en longitud y sus ángulos correspondientes son iguales en medida.

Simbólicamente, escribimos la congruencia e incongruencia de dos triángulos ABC y A′B′C′ de la siguiente manera:

En muchos casos es suficiente establecer la igualdad de tres partes correspondientes y utilizar uno de los siguientes resultados para deducir la congruencia de los dos triángulos.

Determinación de la congruencia

La forma de un triángulo se determina hasta la congruencia especificando dos lados y el ángulo entre ellos (LSS), dos ángulos y el lado entre ellos (LAE) o dos ángulos y un lado adyacente correspondiente (LAA). Sin embargo, especificar dos lados y un ángulo adyacente (LSA) puede dar lugar a dos posibles triángulos distintos.

Se puede demostrar evidencia suficiente de la congruencia entre dos triángulos en el espacio euclidiano mediante las siguientes comparaciones:

El postulado ASA se atribuye a Tales de Mileto . En la mayoría de los sistemas de axiomas, los tres criterios (SAS, SSS y ASA) se establecen como teoremas . En el sistema del Grupo de Estudio de Matemáticas Escolares, el SAS se toma como uno (#15) de 22 postulados.

Ángulo lateral-lateral

La condición SSA (lado-lado-ángulo) que especifica dos lados y un ángulo no incluido (también conocida como ASS, o ángulo-lado-lado) no prueba por sí misma la congruencia. Para demostrar la congruencia, se requiere información adicional, como la medida de los ángulos correspondientes y, en algunos casos, las longitudes de los dos pares de lados correspondientes. Hay algunos casos posibles:

Si dos triángulos satisfacen la condición SSA y la longitud del lado opuesto al ángulo es mayor o igual que la longitud del lado adyacente (SSA, o lado largo-lado corto-ángulo), entonces los dos triángulos son congruentes. El lado opuesto a veces es más largo cuando los ángulos correspondientes son agudos, pero siempre es más largo cuando los ángulos correspondientes son rectos u obtusos. Cuando el ángulo es un ángulo recto, también conocido como el postulado hipotenusa-cateto (HL) o la condición ángulo recto-hipotenusa-lado (RHS), el tercer lado se puede calcular utilizando el teorema de Pitágoras , lo que permite aplicar el postulado SSS.

Si dos triángulos satisfacen la condición SSA y los ángulos correspondientes son agudos y la longitud del lado opuesto al ángulo es igual a la longitud del lado adyacente multiplicada por el seno del ángulo, entonces los dos triángulos son congruentes.

Si dos triángulos satisfacen la condición SSA y los ángulos correspondientes son agudos y la longitud del lado opuesto al ángulo es mayor que la longitud del lado adyacente multiplicada por el seno del ángulo (pero menor que la longitud del lado adyacente), entonces no se puede demostrar que los dos triángulos sean congruentes. Este es el caso ambiguo y se pueden formar dos triángulos diferentes a partir de la información dada, pero información adicional que los distinga puede llevar a una prueba de congruencia.

Angulo-angulo-angulo

En geometría euclidiana, AAA (ángulo-ángulo-ángulo) (o simplemente AA, ya que en geometría euclidiana los ángulos de un triángulo suman 180°) no proporciona información sobre el tamaño de los dos triángulos y, por lo tanto, solo prueba similitud y no congruencia en el espacio euclidiano.

Sin embargo, en geometría esférica y geometría hiperbólica (donde la suma de los ángulos de un triángulo varía con el tamaño) AAA es suficiente para la congruencia en una curvatura dada de la superficie. [4]

CPCTC

Este acrónimo significa Las partes correspondientes de triángulos congruentes son congruentes , que es una versión abreviada de la definición de triángulos congruentes. [5] [6]

En más detalle, es una forma sucinta de decir que si los triángulos ABC y DEF son congruentes, es decir,

con pares de ángulos correspondientes en los vértices A y D ; B y E ; y C y F , y con pares de lados correspondientes AB y DE ; BC y EF ; y CA y FD , entonces las siguientes afirmaciones son verdaderas:

La afirmación se utiliza a menudo como justificación en demostraciones de geometría elemental cuando se necesita llegar a una conclusión sobre la congruencia de las partes de dos triángulos después de haber establecido la congruencia de los triángulos. Por ejemplo, si se ha demostrado que dos triángulos son congruentes según los criterios SSS y se necesita una afirmación de que los ángulos correspondientes son congruentes en una demostración, entonces se puede utilizar el CPCTC como justificación de esta afirmación.

Un teorema relacionado es el CPCFC , en el que "triángulos" se reemplaza por "figuras" de modo que el teorema se aplica a cualquier par de polígonos o poliedros que sean congruentes.

Definición de congruencia en geometría analítica

En un sistema euclidiano , la congruencia es fundamental; es la contraparte de la igualdad para los números. En geometría analítica , la congruencia puede definirse intuitivamente de la siguiente manera: dos aplicaciones de figuras en un sistema de coordenadas cartesianas son congruentes si y solo si, para dos puntos cualesquiera en la primera aplicación, la distancia euclidiana entre ellos es igual a la distancia euclidiana entre los puntos correspondientes en la segunda aplicación.

Una definición más formal establece que dos subconjuntos A y B del espacio euclidiano R n se denominan congruentes si existe una isometría f  : R nR n (un elemento del grupo euclidiano E ( n )) con f ( A ) = B . La congruencia es una relación de equivalencia .

Secciones cónicas congruentes

Dos secciones cónicas son congruentes si sus excentricidades y otro parámetro distinto que las caracteriza son iguales. Sus excentricidades establecen sus formas, cuya igualdad es suficiente para establecer la semejanza, y el segundo parámetro establece entonces el tamaño. Dado que dos círculos , parábolas o hipérbolas rectangulares siempre tienen la misma excentricidad (específicamente 0 en el caso de los círculos, 1 en el caso de las parábolas y en el caso de las hipérbolas rectangulares), dos círculos, parábolas o hipérbolas rectangulares necesitan tener solo otro valor de parámetro común, que establezca su tamaño, para que sean congruentes.

Poliedros congruentes

Para dos poliedros con el mismo tipo combinatorio (es decir, el mismo número E de aristas, el mismo número de caras y el mismo número de lados en las caras correspondientes), existe un conjunto de medidas E que pueden establecer si los poliedros son congruentes o no. [7] [8] El número es ajustado, lo que significa que menos de E medidas no son suficientes si los poliedros son genéricos entre su tipo combinatorio. Pero menos medidas pueden funcionar para casos especiales. Por ejemplo, los cubos tienen 12 aristas, pero 9 medidas son suficientes para decidir si un poliedro de ese tipo combinatorio es congruente con un cubo regular dado.

Triángulos congruentes en una esfera

Al igual que con los triángulos planos, en una esfera dos triángulos que comparten la misma secuencia de ángulo-lado-ángulo (ALA) son necesariamente congruentes (es decir, tienen tres lados idénticos y tres ángulos idénticos). [9] Esto se puede ver de la siguiente manera: Uno puede situar uno de los vértices con un ángulo dado en el polo sur y recorrer el lado con una longitud dada hasta el meridiano principal. Conocer ambos ángulos en cada extremo del segmento de longitud fija asegura que los otros dos lados emanan con una trayectoria unívocamente determinada y, por lo tanto, se encontrarán en un punto unívocamente determinado; por lo tanto, la ALA es válida.

Los teoremas de congruencia lado-ángulo-lado (SAS) y lado-lado-lado (SSS) también se cumplen en una esfera; además, si dos triángulos esféricos tienen una secuencia ángulo-ángulo-ángulo (AAA) idéntica, son congruentes (a diferencia de los triángulos planos). [9]

El teorema de congruencia plano-triángulo ángulo-ángulo-lado (AAS) no se cumple para triángulos esféricos. [10] Al igual que en geometría plana, lado-lado-ángulo (SSA) no implica congruencia.

Notación

Un símbolo que se utiliza habitualmente para la congruencia es el símbolo de igual con una tilde encima, , que corresponde al carácter Unicode "aproximadamente igual a" (U+2245). En el Reino Unido, a veces se utiliza el signo de igual de tres barras (U+2261).

Véase también

Referencias

  1. ^ Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). «Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Congruent Figures» (PDF) . Addison-Wesley. pág. 167. Archivado desde el original el 29 de octubre de 2013. Consultado el 2 de junio de 2017 .{{cite web}}: CS1 maint: bot: estado de URL original desconocido ( enlace )
  2. ^ "Congruencia". Math Open Reference. 2009. Consultado el 2 de junio de 2017 .
  3. ^ Parr, HE (1970). Curso de revisión de matemáticas escolares . Libros de texto de matemáticas, segunda edición. G Bell and Sons Ltd. ISBN 0-7135-1717-4.
  4. ^ Cornel, Antonio (2002). Geometría para escuelas secundarias . Libros de texto de matemáticas Segunda edición. Bookmark Inc. ISBN 971-569-441-1.
  5. ^ Jacobs, Harold R. (1974), Geometría, WH Freeman, pág. 160, ISBN 0-7167-0456-0Jacobs utiliza una ligera variación de la frase
  6. ^ "Triángulos congruentes". Cliff's Notes . Consultado el 4 de febrero de 2014 .
  7. ^ Borisov, Alexander; Dickinson, Mark; Hastings, Stuart (marzo de 2010). "Un problema de congruencia para poliedros". American Mathematical Monthly . 117 (3): 232–249. arXiv : 0811.4197 . doi :10.4169/000298910X480081. S2CID  8166476.
  8. ^ Creech, Alexa. "Un problema de congruencia" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 11 de noviembre de 2013.
  9. ^ ab Bolin, Michael (9 de septiembre de 2003). "Exploración de la geometría esférica" ​​(PDF) . pp. 6-7. Archivado (PDF) desde el original el 9 de octubre de 2022.
  10. ^ Hollyer, L. "Diapositiva 89 de 112".

Enlaces externos