Angulo dorado

Ángulo creado al aplicar la proporción áurea a un círculo

El ángulo áureo es el ángulo subtendido por el arco más pequeño (rojo) cuando dos arcos que forman un círculo están en la proporción áurea.

En geometría , el ángulo áureo es el menor de los dos ángulos creados al seccionar la circunferencia de un círculo según la proporción áurea ; es decir, en dos arcos tales que la relación entre la longitud del arco más pequeño y la longitud del arco más grande es la misma que la relación entre la longitud del arco más grande y la circunferencia completa del círculo.

Algebraicamente, sea a+b la circunferencia de un círculo , dividida en un arco más largo de longitud a y un arco más pequeño de longitud b tales que

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}}$

El ángulo áureo es entonces el ángulo subtendido por el arco menor de longitud b . Mide aproximadamente137.507 764 050 037 854 646 3487 ...° OEIS : A096627 o en radianes 2.399 963 229 728 653 32 ... Número de serie : A131988 .

El nombre proviene de la conexión del ángulo áureo con la proporción áurea φ ; el valor exacto del ángulo áureo es

${\displaystyle 360\left(1-{\frac {1}{\varphi }}\right)=360(2-\varphi )={\frac {360}{\varphi ^{2}}}=180(3-{\sqrt {5}}){\text{ degrees}}}$

o

${\displaystyle 2\pi \left(1-{\frac {1}{\varphi }}\right)=2\pi (2-\varphi )={\frac {2\pi }{\varphi ^{2}}}=\pi (3-{\sqrt {5}}){\text{ radians}},}$

donde las equivalencias se derivan de las propiedades algebraicas bien conocidas de la proporción áurea.

Como su seno y coseno son números trascendentales , el ángulo áureo no se puede construir utilizando regla y compás . ^[1]

Derivación

La proporción áurea es igual a φ  =  a / b dadas las condiciones anteriores.

Sea ƒ la fracción de la circunferencia subtendida por el ángulo áureo, o equivalentemente, el ángulo áureo dividido por la medida angular del círculo.

${\displaystyle f={\frac {b}{a+b}}={\frac {1}{1+\varphi }}.}$

Pero desde entonces

${\displaystyle {1+\varphi }=\varphi ^{2},}$

resulta que

${\displaystyle f={\frac {1}{\varphi ^{2}}}}$

Esto equivale a decir que φ  ² ángulos áureos pueden caber en un círculo.

La fracción de un círculo ocupada por el ángulo áureo es por lo tanto

${\displaystyle f\approx 0.381966.\,}$

Por lo tanto, el ángulo áureo g se puede aproximar numéricamente en grados como:

${\displaystyle g\approx 360\times 0.381966\approx 137.508^{\circ },\,}$

o en radianes como:

${\displaystyle g\approx 2\pi \times 0.381966\approx 2.39996.\,}$

Angulo dorado en la naturaleza

El ángulo entre floretes sucesivos en algunas flores es el ángulo áureo.

Animación que simula la generación de semillas de girasol a partir de un meristemo central donde la siguiente semilla está orientada a un ángulo áureo de la semilla anterior.

El ángulo áureo juega un papel importante en la teoría de la filotaxis ; por ejemplo, el ángulo áureo es el ángulo que separa las flores de un girasol . ^[2] El análisis del patrón muestra que es muy sensible al ángulo que separa los primordios individuales , y el ángulo de Fibonacci da como resultado la parasticia con una densidad de empaquetamiento óptima. ^[3]

El modelado matemático de un mecanismo físico plausible para el desarrollo de las flores ha demostrado que el patrón surge espontáneamente de la solución de una ecuación diferencial parcial no lineal en un plano. ^{[4] [5]}

Véase también

• 137 (número)
• 138 (número)
• Proporción áurea
• Secuencia de Fibonacci

Referencias

1. Freitas, Pedro J. (25 de enero de 2021). "El ángulo áureo no es construible". arXiv : 2101.10818v1 [math.HO].
2. Jennifer Chu (12 de enero de 2011). "Aquí viene el sol". MIT News . Consultado el 22 de abril de 2016 .
3. Ridley, JN (febrero de 1982). "Eficiencia de empaquetamiento en cabezas de girasol". Ciencias biológicas matemáticas . 58 (1): 129–139. doi :10.1016/0025-5564(82)90056-6.
4. Pennybacker, Matthew; Newell, Alan C. (13 de junio de 2013). "Filotaxis, frentes formadores de patrones empujados y empaquetamiento óptimo" (PDF) . Physical Review Letters . 110 (24): 248104. arXiv : 1301.4190 . Bibcode :2013PhRvL.110x8104P. doi : 10.1103/PhysRevLett.110.248104 . ISSN  0031-9007. PMID  25165965.
5. "Girasoles y Fibonacci: modelos de eficiencia". ThatsMaths . 2014-06-05 . Consultado el 2020-05-23 .

• Vogel, H (1979). "Una mejor manera de construir la cabeza del girasol". Ciencias biológicas matemáticas . 44 (3–4): 179–189. doi :10.1016/0025-5564(79)90080-4.
• Prusinkiewicz, Przemysław ; Lindenmayer, Aristid (1990). La belleza algorítmica de las plantas. Springer-Verlag. pp. 101–107. ISBN 978-0-387-97297-8.

Enlaces externos

• Ángulo áureo en MathWorld