Álgebra de factorización

Algebraic structure in mathematical physics

En matemáticas y física matemática , un álgebra de factorización es una estructura algebraica introducida por primera vez por Beilinson y Drinfel'd en un entorno algebro-geométrico como una reformulación de las álgebras quirales , ^[1] y también estudiada en un entorno más general por Costello y Gwilliam para estudiar la teoría cuántica de campos . ^[2]

Definición

Álgebras de prefactorización

Un álgebra de factorización es un álgebra de prefactorización que satisface algunas propiedades, de manera similar a los haces que son un prehaz con condiciones adicionales.

Si es un espacio topológico , un álgebra de prefactorización de espacios vectoriales en es una asignación de espacios vectoriales a conjuntos abiertos de , junto con las siguientes condiciones en la asignación: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle M}$

• Para cada inclusión , hay un mapa lineal ${\displaystyle U\subset V}$ ${\displaystyle m_{V}^{U}:{\mathcal {F}}(U)\rightarrow {\mathcal {F}}(V)}$
• Hay un mapa lineal para cada colección finita de conjuntos abiertos con cada uno y el disjunto por pares. ${\displaystyle m_{V}^{U_{1},\cdots ,U_{n}}:{\mathcal {F}}(U_{1})\otimes \cdots \otimes {\mathcal {F}}(U_{n})\rightarrow {\mathcal {F}}(V)}$ ${\displaystyle U_{i}\subset V}$ ${\displaystyle U_{i}}$
• Los mapas se componen de la manera obvia: para colecciones de abiertos , y un abierto que satisface y , el siguiente diagrama conmuta. ${\displaystyle U_{i,j}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle U_{i,1}\sqcup \cdots \sqcup U_{i,n_{i}}\subset V_{i}}$ ${\displaystyle V_{1}\sqcup \cdots V_{n}\subset W}$

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}&\bigotimes _{i}\bigotimes _{j}{\mathcal {F}}(U_{i,j})&\rightarrow &\bigotimes _{i}{\mathcal {F}}(V_{i})&\\&\downarrow &\swarrow &\\&{\mathcal {F}}(W)&&&\\\end{array}}}$

Por lo tanto, se parece a un precohaz , excepto que los espacios vectoriales están tensados ​​en lugar de sumarse (directamente) . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

La categoría de espacios vectoriales puede ser reemplazada por cualquier categoría monoidal simétrica .

Álgebras de factorización

Para definir álgebras de factorización, es necesario definir una cubierta de Weiss . Para un conjunto abierto, una colección de abiertos es una cubierta de Weiss de si para cualquier colección finita de puntos en , existe un conjunto abierto tal que . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathfrak {U}}=\{U_{i}|i\in I\}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \{x_{1},\cdots ,x_{k}\}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U_{i}\in {\mathfrak {U}}}$ ${\displaystyle \{x_{1},\cdots ,x_{k}\}\subset U_{i}}$

Entonces, un álgebra de factorización de espacios vectoriales en es un álgebra de prefactorización de espacios vectoriales en de modo que para cada abierto y cada recubrimiento de Weiss de , la sucesión es exacta . Es decir, es un álgebra de factorización si es un haz con respecto a la topología de Weiss. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \{U_{i}|i\in I\}}$ ${\displaystyle U}$ $${\displaystyle \bigoplus _{i,j}{\mathcal {F}}(U_{i}\cap U_{j})\rightarrow \bigoplus _{k}{\mathcal {F}}(U_{k})\rightarrow {\mathcal {F}}(U)\rightarrow 0}$$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Un álgebra de factorización es multiplicativa si, además, para cada par de abiertos disjuntos , la función de estructura es un isomorfismo. ${\displaystyle U,V\subset M}$ $${\displaystyle m_{U\sqcup V}^{U,V}:{\mathcal {F}}(U)\otimes {\mathcal {F}}(V)\rightarrow {\mathcal {F}}(U\sqcup V)}$$

Formulación algebro-geométrica

Si bien esta formulación está relacionada con la dada anteriormente, la relación no es inmediata.

Sea una curva compleja suave . Un álgebra de factorización en consiste en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

• Un haz cuasicoherente para cualquier conjunto finito , sin ninguna sección local distinta de cero apoyada en la unión de todas las diagonales parciales ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{X,I}}$ ${\displaystyle X^{I}}$ ${\displaystyle I}$
• Isomorfismos funcionales de haces cuasicoherentes sobre sobreyecciones . ${\displaystyle \Delta _{J/I}^{*}{\mathcal {V}}_{X,J}\rightarrow {\mathcal {V}}_{X,I}}$ ${\displaystyle X^{I}}$ ${\displaystyle J\rightarrow I}$
• ( Factorización ) Isomorfismos funcionales de haces cuasicoherentes

$${\displaystyle j_{J/I}^{*}{\mathcal {V}}_{X,J}\rightarrow j_{J/I}^{*}(\boxtimes _{i\in I}{\mathcal {V}}_{X,p^{-1}(i)})}$$encima . ${\displaystyle U^{J/I}}$

• ( Unidad ) Sea y . Una sección global (la unidad ) con la propiedad de que para cada sección local ( ), la sección de se extiende a través de la diagonal y se restringe a . ${\displaystyle {\mathcal {V}}={\mathcal {V}}_{X,\{1\}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{2}={\mathcal {V}}_{X,\{1,2\}}}$ ${\displaystyle 1\in {\mathcal {V}}(X)}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {V}}(U)}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle 1\boxtimes f}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{2}|_{U^{2}\Delta }}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {V}}\cong {\mathcal {V}}_{2}|_{\Delta }}$

Ejemplo

Álgebra asociativa

Cualquier álgebra asociativa puede realizarse como un álgebra de prefactorización en . A cada intervalo abierto , se le asigna . Un intervalo abierto arbitrario es una unión disjunta de un número contable de intervalos abiertos, y luego se establece . Las aplicaciones de estructura simplemente provienen de la aplicación de multiplicación en . Se requiere cierto cuidado para los productos tensoriales infinitos, pero para un número finito de intervalos abiertos la imagen es sencilla. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{f}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle A^{f}((a,b))=A}$ ${\displaystyle U=\bigsqcup _{i}I_{i}}$ ${\displaystyle A^{f}(U)=\bigotimes _{i}A}$ ${\displaystyle A}$

Véase también

• Álgebra de vértices

Referencias

1. Beilinson, Alexander; Drinfeld, Vladimir (2004). Álgebras quirales. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-3528-9. Recuperado el 21 de febrero de 2023 .
2. Costello, Kevin; Gwilliam, Owen (2017). Álgebras de factorización en la teoría cuántica de campos, volumen 1. Cambridge. ISBN 9781316678626.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)