Álgebra sigma invariante

Álgebra sigma utilizada en probabilidad y teoría ergódica

En matemáticas , especialmente en teoría de la probabilidad y teoría ergódica , la sigma-álgebra invariante es una sigma-álgebra formada por conjuntos que son invariantes bajo una acción grupal o un sistema dinámico . Puede interpretarse como "indiferente" a la dinámica.

El álgebra sigma invariante aparece en el estudio de sistemas ergódicos , así como en teoremas de teoría de la probabilidad como el teorema de De Finetti y la ley de Hewitt-Savage .

Definición

Conjuntos estrictamente invariantes

Sea un espacio medible y sea una función medible . Un subconjunto medible se llama invariante si y solo si . ^{[1] [2] [3]} De manera equivalente, si para cada , tenemos que si y solo si . ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle T:(X,{\mathcal {F}})\to (X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle S\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle T^{-1}(S)=S}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x\in S}$ ${\displaystyle T(x)\in S}$

De manera más general, sea un grupo o un monoide , sea una acción monoide , y denotemos la acción de sobre por . Un subconjunto es -invariante si para cada , . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \alpha :M\times X\to X}$ ${\displaystyle m\in M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha _{m}:X\to X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle m\in M}$ ${\displaystyle \alpha _{m}^{-1}(S)=S}$

Conjuntos casi seguramente invariantes

Sea un espacio medible y sea una función medible . Un subconjunto medible (evento) se denomina casi seguramente invariante si y solo si su función indicadora es casi seguramente igual a la función indicadora . ^{[4] [5] [3]} ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle T:(X,{\mathcal {F}})\to (X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle S\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle 1_{S}}$ ${\displaystyle 1_{T^{-1}(S)}}$

De manera similar, dado un núcleo de Markov que preserva la medida , llamamos a un evento casi seguramente invariante si y solo si para casi todos los . ${\displaystyle k:(X,{\mathcal {F}},p)\to (X,{\mathcal {F}},p)}$ ${\displaystyle S\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle k(S\mid x)=1_{S}(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$

En el caso de conjuntos estrictamente invariantes, la definición puede extenderse a un grupo arbitrario o a una acción monoide.

En muchos casos, es casi seguro que los conjuntos invariantes difieren de los conjuntos invariantes solo por un conjunto nulo (ver más abajo).

Estructura del álgebra sigma

Tanto los conjuntos estrictamente invariantes como los conjuntos casi seguramente invariantes son cerrados bajo la toma de uniones y complementos contables, y por lo tanto forman sigma-álgebras . Estas sigma-álgebras son usualmente llamadas sigma-álgebra invariante o sigma-álgebra de eventos invariantes , tanto en el caso estricto como en el caso casi seguro, dependiendo del autor. ^{[1] [2] [3] [4] [5]} Para el propósito de este artículo, denotemos por sigma-álgebra de conjuntos estrictamente invariantes, y por sigma-álgebra de conjuntos casi seguramente invariantes. ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {I}}}}$

Propiedades

• Dada una función que preserva la medida , un conjunto es casi seguramente invariante si y sólo si existe un conjunto estrictamente invariante tal que . ^{[6] [5]} ${\displaystyle T:(X,{\mathcal {A}},p)\to (X,{\mathcal {A}},p)}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle A'\in {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle p(A\triangle A')=0}$

• Dadas funciones medibles y , tenemos que es invariante , lo que significa que , si y solo si es -medible. ^{[2] [3] [5]} Lo mismo es cierto reemplazando con cualquier espacio medible donde el álgebra sigma separa los puntos. ${\displaystyle T:(X,{\mathcal {A}})\to (X,{\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle f:(X,{\mathcal {A}})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\circ T=f}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})}$

• Una medida invariante es (por definición) ergódica si y solo si para cada subconjunto invariante , o . ^{[1] [3] [5] [7] [8]} ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle p(A)=0}$ ${\displaystyle p(A)=1}$

Ejemplos

Álgebra sigma intercambiable

Dado un espacio medible , denotado por es la potencia cartesiana numerable de , dotada del producto sigma-álgebra . Podemos ver como el espacio de sucesiones infinitas de elementos de , ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle (X^{\mathbb {N} },{\mathcal {A}}^{\otimes \mathbb {N} })}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X^{\mathbb {N} }=\{(x_{0},x_{1},x_{2},\dots ),x_{i}\in X\}.}$

Consideremos ahora el grupo de permutaciones finitas de , es decir, biyecciones tales que solo para un número finito de . Cada permutación finita actúa de manera medible sobre permutando los componentes, y por lo tanto tenemos una acción del grupo contable sobre . ${\displaystyle S_{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \sigma :\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \sigma (n)\neq n}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle S_{\infty }}$ ${\displaystyle X^{\mathbb {N} }}$

Un evento invariante para esta sigma-álgebra se denomina a menudo evento intercambiable o evento simétrico , y la sigma-álgebra de eventos invariantes se denomina a menudo sigma-álgebra intercambiable . Una variable aleatoria en es intercambiable (es decir, invariante a la permutación) si y solo si es medible para la sigma-álgebra intercambiable. ${\displaystyle X^{\mathbb {N} }}$

El álgebra sigma intercambiable desempeña un papel en la ley cero-uno de Hewitt-Savage , que se puede enunciar de manera equivalente diciendo que para cada medida de probabilidad en , la medida del producto en asigna a cada probabilidad de evento intercambiable cero o uno. ^[9] De manera equivalente, para la medida , cada variable aleatoria intercambiable en es casi con seguridad constante. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle p^{\otimes \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle X^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle p^{\otimes \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle X^{\mathbb {N} }}$

También juega un papel en el teorema de De Finetti . ^[9]

Álgebra sigma invariante al desplazamiento

Como en el ejemplo anterior, dado un espacio medible , considere el producto cartesiano infinito numerable . Considere ahora la función de desplazamiento dada por la función de desplazamiento a . Un evento invariante para esta sigma-álgebra se llama evento invariante de desplazamiento , y la sigma-álgebra resultante a veces se llama sigma-álgebra invariante de desplazamiento . ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle (X^{\mathbb {N} },{\mathcal {A}}^{\otimes \mathbb {N} })}$ ${\displaystyle T:X^{\mathbb {N} }\to X^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle (x_{0},x_{1},x_{2},\dots )\in X^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},\dots )\in X^{\mathbb {N} }}$

Esta sigma-álgebra está relacionada con la de los eventos de cola , que se da por la siguiente intersección,

${\displaystyle \bigcap _{n\in \mathbb {N} }\left(\bigotimes _{m\geq n}{\mathcal {A}}_{m}\right),}$

donde es el álgebra sigma inducida por la proyección sobre el componente -ésimo . ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{m}\subseteq {\mathcal {A}}^{\otimes \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle X^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \pi _{m}:(X^{\mathbb {N} },{\mathcal {A}}^{\otimes \mathbb {N} })\to (X,{\mathcal {A}})}$

Todo evento invariante al desplazamiento es un evento de cola, pero lo inverso no es cierto.

Véase también

• Conjunto invariante
• Teorema de De Finetti
• Ley cero-uno de Hewitt-Savage
• Variables aleatorias intercambiables
• Medida invariante
• Sistema ergódico

Citas

1. Billingsley (1995), págs. 313-314
2. Douc y otros (2018), pág. 99
3. Klenke (2020), pág. 494-495
4. Viana y Oliveira (2016), pág. 94
5. Durrett (2010), pág. 330
6. Viana y Oliveira (2016), pág. 3
7. Douc y otros (2018), pág. 102
8. Viana y Oliveira (2016), pág. 95
9. Hewitt y Savage (1955)

Referencias

• Viana, Marcelo; Oliveira, Krerley (2016). Fundamentos de la teoría ergódica. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-1-107-12696-1.

• Billingsley, Patrick (1995). Probabilidad y medida. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-00710-2.

• Durrett, Rick (2010). Probabilidad: teoría y ejemplos. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-76539-8.

• Douc, Randal; Moulines, Eric; Prioret, Pierre; Soulier, Philippe (2018). Cadenas de Markov. Saltador. doi :10.1007/978-3-319-97704-1. ISBN 978-3-319-97703-4.

• Klenke, Achim (2020). Teoría de la probabilidad: un curso completo. Universitext. Springer. doi :10.1007/978-1-4471-5361-0. ISBN 978-3-030-56401-8.

• Hewitt, E. ; Savage, LJ (1955). "Medidas simétricas en productos cartesianos". Trans. Amer. Math. Soc . 80 (2): 470–501. doi : 10.1090/s0002-9947-1955-0076206-8 .