semirredondo tropical

Semiring con mínimo y suma reemplazando la suma y la multiplicación

En análisis idempotente , el semiring tropical es un semiring de números reales extendidos con las operaciones de mínimo (o máximo ) y suma reemplazando las operaciones habituales ("clásicas") de suma y multiplicación, respectivamente.

El semianillo tropical tiene diversas aplicaciones (ver análisis tropical ), y forma la base de la geometría tropical . El nombre tropical es una referencia al informático de origen húngaro Imre Simon , llamado así porque vivió y trabajó en Brasil. ^[1]

Definición

Elmin semiring tropical (osemirredondo min-plus oálgebra min-plus ) es elsemiring(,,), con las operaciones: ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \otimes }$

${\displaystyle x\oplus y=\min\{x,y\},}$

${\displaystyle x\otimes y=x+y.}$

Las operaciones y se denominan suma tropical y multiplicación tropical respectivamente. La unidad para es y la unidad para es 0. ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle \otimes }$

De manera similar, elsemiring tropical máximo (osemirredondo max-plus oálgebra max-plus oSemiring ártico ) es el semiring (,,), con operaciones: ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{-\infty \}}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \otimes }$

${\displaystyle x\oplus y=\max\{x,y\},}$

${\displaystyle x\otimes y=x+y.}$

La unidad del elemento de identidad es , y la unidad del elemento de identidad es 0. ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \otimes }$

Los dos semirings son isomorfos bajo negación , y generalmente se elige uno de ellos y se lo denomina simplemente semiring tropical . Las convenciones difieren entre autores y subcampos: algunos usan la convención mínima , otros usan la convención máxima . ${\displaystyle x\mapsto -x}$

La adición tropical es idempotente , por lo que un semianillo tropical es un ejemplo de semianillo idempotente .

Un semianillo tropical también se conoce comoálgebra tropical ,^[2]aunque esto no debe confundirse con unálgebra asociativasobre un semianillo tropical.

La exponenciación tropical se define de la forma habitual como productos tropicales iterados.

Campos valorados

Las operaciones de semianillo tropical modelan cómo se comportan las valoraciones bajo suma y multiplicación en un campo valorado . Un campo de valor real es un campo equipado con una función ${\displaystyle K}$

${\displaystyle v:K\to \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$

que satisface las siguientes propiedades para todos , en : ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle v(a)=\infty }$si y solo si ${\displaystyle a=0,}$

${\displaystyle v(ab)=v(a)+v(b)=v(a)\otimes v(b),}$

${\displaystyle v(a+b)\geq \min\{v(a),v(b)\}=v(a)\oplus v(b),}$con igualdad si ${\displaystyle v(a)\neq v(b).}$

Por lo tanto, la valoración v es casi un homomorfismo semianular de K al semianillo tropical, excepto que la propiedad del homomorfismo puede fallar cuando se suman dos elementos con la misma valoración.

Algunos campos valorados comunes:

• ${\displaystyle \mathbb {Q} }$o con la valoración trivial, para todos , ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle v(a)=0}$ ${\displaystyle a\neq 0}$
• ${\displaystyle \mathbb {Q} }$o sus extensiones con la valoración p-adic , for y coprime to , ${\displaystyle v(p^{n}a/b)=n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle p}$
• el campo de la serie formal de Laurent (potencias enteras), o el campo de la serie de Puiseux , o el campo de la serie de Hahn , donde la valoración devuelve el exponente más pequeño que aparece en la serie. ${\displaystyle K((t))}$ ${\displaystyle K\{\{t\}\}}$ ${\displaystyle t}$

Referencias

1. Pin, Jean-Éric (1998). «Semirrings tropicales» (PDF) . En Gunawardena, J. (ed.). Idempotencia . Publicaciones del Instituto Newton. vol. 11. Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 50–69. doi :10.1017/CBO9780511662508.004. ISBN 9780511662508.
2. Litvinov, Grigoriĭ Lazarevich; Sergeev, Sergej Nikolaevič (2009). Matemáticas Tropicales e Idempotentes: Taller Internacional Tropical-07, Matemáticas Tropicales e Idempotentes (PDF) . Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 8.ISBN​ 9780821847824. Consultado el 15 de septiembre de 2014 .

• Litvinov, GL (2005). "La descuantización de Maslov, las matemáticas idempotentes y tropicales: una breve introducción". arXiv : matemáticas/0507014v1 .