álgebra de Wang

Estructura algebraica en teoría de redes.

En álgebra y teoría de redes , un álgebra de Wang es un álgebra conmutativa , sobre un campo o (más generalmente) un anillo unital conmutativo , en el que tiene dos propiedades adicionales: (Regla i) Para todos los elementos x de , x + x = 0 ( nilpotencia aditiva universal de grado 1). (Regla ii) Para todos los elementos x de , x ⋅ x = 0 (nilpotencia multiplicativa universal de grado 1). ^{[1] [2]} ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$
${\displaystyle A}$
${\displaystyle A}$

Historia y aplicaciones

Las reglas (i) y (ii) fueron publicadas originalmente por KT Wang (Wang Ki-Tung, 王 季同) en 1934 como parte de un método para analizar redes eléctricas. ^[3] De 1935 a 1940, varios investigadores chinos de ingeniería eléctrica publicaron artículos sobre el método. El álgebra de Wang original es el álgebra de Grassman sobre el campo finito mod 2 . ^[1] En la 57ª reunión anual de la Sociedad Estadounidense de Matemáticas , celebrada del 27 al 29 de diciembre de 1950, Raoul Bott y Richard Duffin introdujeron el concepto de álgebra de Wang en su resumen (número 144 t ) El álgebra de redes de Wang . Dieron una interpretación del álgebra de Wang como un tipo particular de álgebra de Grassman mod 2. ^[4] En 1969, Wai-Kai Chen utilizó la formulación del álgebra de Wang para unificar varias técnicas diferentes para generar los árboles de un gráfico . ^[5] La formulación del álgebra de Wang se ha utilizado para generar sistemáticamente patrones de gráficos dirigidos por King-Altman. Estos patrones son útiles para derivar ecuaciones de velocidad en la teoría de la cinética enzimática. ^[6]

Según Guo Jinhai, profesor del Instituto de Historia de las Ciencias Naturales de la Academia de Ciencias de China , el método pionero de análisis de redes eléctricas de Wang Ki Tung impulsó significativamente la ingeniería eléctrica no sólo en China sino en el resto del mundo; La formulación del álgebra de Wang es útil en redes eléctricas para resolver problemas que involucran métodos topológicos, teoría de grafos y ciclos hamiltonianos. ^[7]

Álgebra de Wang y los árboles de expansión de un gráfico

Las reglas de Wang para encontrar todos los árboles generadores de un gráfico G ^[8]

1. Para cada nodo, escriba la suma de todas las etiquetas de borde que se encuentran con ese nodo.
2. Deje fuera un nodo y tome el producto de las sumas de las etiquetas de todos los nodos restantes.
3. Expande el producto en 2. usando el álgebra de Wang.
4. Los términos de la suma de la expansión obtenida en 3. están en correspondencia 1-1 con los árboles generadores del gráfico.

Referencias

1. Duffin, RJ (1959). "Un análisis del álgebra de redes de Wang". Trans. América. Matemáticas. Soc . 93 : 114-131. doi : 10.1090/s0002-9947-1959-0109161-6 . SEÑOR  0109161.
2. Chen, Wai-Kai (2 de diciembre de 2012). "5.4 La formulación del álgebra de Wang". Teoría de grafos aplicada . Holanda del Norte. págs. 332–352. ISBN 9780444601933.pag. 333, pág. 334
3. KT Wang (1934). "Sobre un nuevo método de análisis de redes eléctricas". Memoria 2 . Instituto Nacional de Investigaciones en Ingeniería, Academia Sínica.
4. Whyburn, WM (marzo de 1951). "La reunión anual de la sociedad". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . 57 (2): 109-152. doi : 10.1090/S0002-9904-1951-09479-3 . SEÑOR  1565283. S2CID  120638163.(Ver página 136.)
5. Chen, Wai Kai (1969). "Teoría unificada sobre la generación de árboles de un gráfico Parte I. La formulación del álgebra de Wang". Revista Internacional de Electrónica . 27 (2): 101–117. doi :10.1080/00207216908900016.
6. Qi, Feng; Dash, Ranjan K.; Han, Yu; Barba, Daniel A. (2009). "Generación de ecuaciones de velocidad para sistemas enzimáticos complejos mediante un método sistemático asistido por computadora". Bioinformática BMC . 10 : 238. doi : 10.1186/1471-2105-10-238 . PMC 2729780 . PMID  19653903. 
7. 郭金海 (Guo Jinhai) (2003). "王季同的电网络分析新方法及其学术影响 (Nuevo método de Wang Ki-Tung para el análisis de redes eléctricas y su influencia científica)". Revista China de Historia de la Ciencia y la Tecnología, núm. 4 . Instituto de Historia de las Ciencias Naturales, Academia de Ciencias de China: 33–40.
8. Kauffman, Louis H. "Álgebra de Wang y los árboles de expansión de un gráfico" (PDF) . Departamento de Matemáticas, Universidad de Chicago Illinois .