Álgebra de Hopf débil

En matemáticas , las biálgebras débiles son una generalización de biálgebras que son a la vez álgebras y coalgebras pero para las cuales se han "debilitado" las condiciones de compatibilidad entre las dos estructuras. En el mismo sentido, las álgebras débiles de Hopf son biálgebras débiles junto con una función lineal S que satisface condiciones específicas; son generalizaciones de las álgebras de Hopf .

Estos objetos fueron introducidos por Böhm, Nill y Szlachányi. Las primeras motivaciones para estudiarlos vinieron de la teoría cuántica de campos y las álgebras de operadores . ^[1] Las álgebras de Hopf débiles tienen una teoría de representación bastante interesante; en particular, los módulos sobre un álgebra de Hopf débil finita semisimple es una categoría de fusión (que es una categoría monoidal con propiedades adicionales). Etingof, Nikshych y Ostrik también demostraron que cualquier categoría de fusión es equivalente a una categoría de módulos sobre un álgebra de Hopf débil. ^[2]

Definición

Una biálgebra débil sobre un cuerpo es un espacio vectorial tal que ${\displaystyle (H,\mu ,\eta ,\Delta ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle H}$

• ${\displaystyle (H,\mu ,\eta )}$forma un álgebra asociativa con multiplicación y unidad , ${\displaystyle \mu :H\otimes H\rightarrow H}$ ${\displaystyle \eta :k\rightarrow H}$
• ${\displaystyle (H,\Delta ,\varepsilon )}$forma una coálgebra coasociativa con comultiplicación y conteo , ${\displaystyle \Delta :H\rightarrow H\otimes H}$ ${\displaystyle \varepsilon :H\rightarrow k}$

para lo cual se cumplen las siguientes condiciones de compatibilidad:

1. Multiplicatividad de la comultiplicación:

   ${\displaystyle \Delta \circ \mu =(\mu \otimes \mu )\circ (\mathrm {id} _{H}\otimes \sigma _{H,H}\otimes \mathrm {id} _{H})\circ (\Delta \otimes \Delta )}$,

2. Multiplicatividad débil del conteo:

   ${\displaystyle \varepsilon \circ \mu \circ (\mu \otimes \mathrm {id} _{H})=(\varepsilon \otimes \varepsilon )\circ (\mu \otimes \mu )\circ (\mathrm {id} _{H}\otimes \Delta \otimes \mathrm {id} _{H})=(\varepsilon \otimes \varepsilon )\circ (\mu \otimes \mu )\circ (\mathrm {id} _{H}\otimes \Delta ^{op}\otimes \mathrm {id} _{H})}$,

3. Comultiplicatividad débil de la unidad:

   ${\displaystyle (\Delta \otimes \mathrm {id} _{H})\circ \Delta \circ \eta =(\mathrm {id} _{H}\otimes \mu \otimes \mathrm {id} _{H})\circ (\Delta \otimes \Delta )\circ (\eta \otimes \eta )=(\mathrm {id} _{H}\otimes \mu ^{op}\otimes \mathrm {id} _{H})\circ (\Delta \otimes \Delta )\circ (\eta \otimes \eta )}$,

donde invierte los dos factores tensoriales. Además, es la multiplicación opuesta y es la comultiplicación opuesta. Nótese que también usamos implícitamente el teorema de coherencia de Mac Lane para la categoría monoidal de espacios vectoriales, identificando así como . ${\displaystyle \sigma _{V,W}:V\otimes W\rightarrow W\otimes V:v\otimes w\mapsto w\otimes v}$ ${\displaystyle \mu ^{op}=\mu \circ \sigma _{H,H}}$ ${\displaystyle \Delta ^{op}=\sigma _{H,H}\circ \Delta }$ ${\displaystyle (U\otimes V)\otimes W\cong U\otimes (V\otimes W)}$ ${\displaystyle V\otimes k\cong V\cong k\otimes V}$

La definición debilita la compatibilidad entre las estructuras del álgebra y la coalgebra de una biálgebra. Más específicamente, se debilitan la unidad y la counit. Esto sigue siendo cierto en los axiomas de un álgebra de Hopf débil.

Un álgebra de Hopf débil es una biálgebra débil con una función lineal , llamada antípoda , que satisface: ${\displaystyle (H,\mu ,\eta ,\Delta ,\varepsilon ,S)}$ ${\displaystyle (H,\mu ,\eta ,\Delta ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle S:H\to H}$

• ${\displaystyle \mu \circ (\mathrm {id} _{H}\otimes S)\circ \Delta =(\varepsilon \otimes \mathrm {id} _{H})\circ (\mu \otimes \mathrm {id} _{H})\circ (\mathrm {id} _{H}\otimes \sigma _{H,H})\circ (\Delta \otimes \mathrm {id} _{H})\circ (\eta \otimes \mathrm {id} _{H})}$,
• ${\displaystyle \mu \circ (S\otimes \mathrm {id} _{H})\circ \Delta =(\mathrm {id} _{H}\otimes \varepsilon )\circ (\mathrm {id} _{H}\otimes \mu )\circ (\sigma _{H,H}\otimes \mathrm {id} _{H})\circ (\mathrm {id} _{H}\otimes \Delta )\circ (\mathrm {id} _{H}\otimes \eta )}$,
• ${\displaystyle S=\mu \circ (\mu \otimes \mathrm {id} _{H})\circ (S\otimes \mathrm {id} _{H}\otimes S)\circ (\Delta \otimes \mathrm {id} _{H})\circ \Delta }$.

Ejemplos

1. Álgebra de Hopf. Por supuesto, cualquier álgebra de Hopf es un álgebra de Hopf débil.
2. Álgebra de grupoides. Supongamos que es un grupoide y sea el álgebra de grupoides, es decir, el álgebra generada por los morfismos . Esta se convierte en un álgebra de Hopf débil si definimos ${\displaystyle G=(G_{0},G_{1})}$ ${\displaystyle K[G]}$ ${\displaystyle g\in G_{1}}$
   • ${\displaystyle \mu :K[G]\otimes K[G]\to K[G]~{\text{by}}~\mu (g\otimes h)=\left\{{\begin{array}{cl}g\circ h&{\text{if target(h) = source(g)}}\\0&{\text{otherwise}}\end{array}}\right.}$
   • ${\displaystyle \eta :k\to K[G]~{\text{by}}~\eta (1)=\sum _{X\in G_{0}}\mathrm {id} _{X}}$
   • ${\displaystyle \Delta :K[G]\to K[G]\otimes K[G]~{\text{by}}~\Delta (g)=g\otimes g~{\text{for all}}~g\in G_{1}}$
   • ${\displaystyle \varepsilon :K[G]\to k~{\text{by}}~\varepsilon (g)=1~{\text{for all}}~g\in G_{1}}$
   • ${\displaystyle S:K[G]\to K[G]~{\text{by}}~S(g)=g^{-1}~{\text{for all}}~g\in G_{1}}$.

Nótese que este segundo ejemplo es un álgebra de Hopf débil pero no un álgebra de Hopf .

Teoría de la representación

Sea H un álgebra de Hopf débil finita semisimple, entonces los módulos sobre H forman una categoría monoidal rígida semisimple con un número finito de objetos simples. Además, los espacios de homomorfismos son espacios vectoriales de dimensión finita y los espacios de endomorfismos de objetos simples son unidimensionales. Finalmente, la unidad monoidal es un objeto simple. Tal categoría se llama categoría de fusión .

Se puede demostrar que algunas categorías monoidales no son módulos sobre un álgebra de Hopf. En el caso de las categorías de fusión (que son simplemente categorías monoidales con condiciones adicionales), Etingof, Nikshych y Ostrik demostraron que cualquier categoría de fusión es equivalente a una categoría de módulos sobre un álgebra de Hopf débil.

Notas

1. Böhm, Nill, Szlachányi. pag. 387
2. Etingof, Nikshych y Ostrik, Cor. 2.22

Referencias

• Böhm, Gabriella; Nill, Florian; Szlachányi, Kornel (1999). "Álgebras de Hopf débiles. I. Teoría integral y C ∗ {\displaystyle C^{*}} -estructura". Journal of Algebra . 221 (2): 385–438. doi : 10.1006/jabr.1999.7984 .

• Etingof, Pavel; Nikshych, Dimitri; Ostrik, Viktor (2005). "Sobre las categorías de fusión". Anales de Matemáticas . Segunda serie. 162 (2): 581–642. arXiv : math/0203060 . doi :10.4007/annals.2005.162.581. S2CID  8343055.

• Karaali, Gizem (2008). "Sobre las álgebras de Hopf y sus generalizaciones". Comunicaciones en Álgebra . 36 (12): 4341–4367. arXiv : matemáticas/0703441 . doi :10.1080/00927870802182424. S2CID  15804235.