Álgebra mediana

En matemáticas , un álgebra mediana es un conjunto con una operación ternaria que satisface un conjunto de axiomas que generalizan las nociones de medianas de ternas de números reales y de la función de mayoría booleana . ${\displaystyle \langle x,y,z\rangle }$

Los axiomas son

1. ${\displaystyle \langle x,y,y\rangle =y}$
2. ${\displaystyle \langle x,y,z\rangle =\langle z,x,y\rangle }$
3. ${\displaystyle \langle x,y,z\rangle =\langle x,z,y\rangle }$
4. ${\displaystyle \langle \langle x,w,y\rangle ,w,z\rangle =\langle x,w,\langle y,w,z\rangle \rangle }$

El segundo y tercer axioma implican conmutatividad: es posible (pero no fácil) demostrar que en presencia de los otros tres, el axioma (3) es redundante. El cuarto axioma implica asociatividad. Hay otros sistemas de axiomas posibles: por ejemplo, los dos

• ${\displaystyle \langle x,y,y\rangle =y}$
• ${\displaystyle \langle u,v,\langle u,w,x\rangle \rangle =\langle u,x,\langle w,u,v\rangle \rangle }$

También basta.

En un álgebra de Boole , o más generalmente en un entramado distributivo , la función mediana satisface estos axiomas, de modo que cada álgebra de Boole y cada entramado distributivo forman un álgebra mediana. ${\displaystyle \langle x,y,z\rangle =(x\vee y)\wedge (y\vee z)\wedge (z\vee x)}$

Birkhoff y Kiss demostraron que un álgebra mediana con elementos 0 y 1 que satisfacen es una red distributiva . ${\displaystyle \langle 0,x,1\rangle =x}$

Relación con los gráficos de mediana

Un grafo mediano es un grafo no dirigido en el que por cada tres vértices , , y hay un vértice único que pertenece a los caminos más cortos entre dos cualesquiera de , , y . Si este es el caso, entonces la operación define un álgebra mediana que tiene los vértices del grafo como sus elementos. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \langle x,y,z\rangle }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \langle x,y,z\rangle }$

Por el contrario, en cualquier álgebra mediana, se puede definir un intervalo como el conjunto de elementos tales que . Se puede definir un grafo a partir de un álgebra mediana creando un vértice para cada elemento del álgebra y una arista para cada par de modo que el intervalo no contenga otros elementos. Si el álgebra tiene la propiedad de que cada intervalo es finito, entonces este grafo es un grafo mediano y representa con precisión el álgebra en el sentido de que la operación mediana definida por los caminos más cortos en el grafo coincide con la operación mediana original del álgebra. ${\displaystyle [x,z]}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \langle x,y,z\rangle =y}$ ${\displaystyle (x,z)}$ ${\displaystyle [x,z]}$

Referencias

• Birkhoff, Garrett ; Kiss, SA (1947). "Una operación ternaria en redes distributivas". Bull. Amer. Math. Soc. 53 (8): 749–752. doi : 10.1090/S0002-9904-1947-08864-9 .
• Isbell, John R. (agosto de 1980). "Álgebra mediana". Trans. Amer. Math. Soc. 260 (2). American Mathematical Society: 319–362. doi : 10.2307/1998007 . JSTOR  1998007.
• Knuth, Donald E. (2008). Introducción a los algoritmos combinatorios y funciones booleanas . El arte de la programación informática . Vol. 4. Upper Saddle River, NJ: Addison-Wesley. pp. 64–74. ISBN 978-0-321-53496-5.

Enlaces externos

• Prueba del álgebra mediana