Un álgebra booleana estándar de eventos es un conjunto de eventos relacionados entre sí mediante las operaciones familiares y , o , y no . Un álgebra de eventos condicional ( CEA ) contiene no solo eventos ordinarios sino también eventos condicionales, que tienen la forma "si A , entonces B ". El propósito habitual de un CEA es permitir la definición de una función de probabilidad, P , que satisfaga la ecuación P (si A entonces B ) = P ( A y B ) / P ( A ).
En la teoría de probabilidad estándar, un evento es un conjunto de resultados, cualquiera de los cuales sería una ocurrencia del evento. P ( A ), la probabilidad del evento A , es la suma de las probabilidades de todos los resultados A , P ( B ) es la suma de las probabilidades de todos los resultados B , y P ( A y B ) es la suma de las probabilidades de todos los resultados que son tanto resultados A como resultados B. En otras palabras, y , habitualmente representado por el símbolo lógico ∧, se interpreta como una intersección de conjuntos: P ( A ∧ B ) = P ( A ∩ B ). En la misma línea, o , ∨, se convierte en unión de conjuntos, ∪, y no , ¬, se convierte en complementación de conjuntos, ′. Cualquier combinación de eventos que utilicen las operaciones y , o , y no también es un evento, y asignar probabilidades a todos los resultados genera una probabilidad para cada evento. En términos técnicos, esto significa que el conjunto de eventos y las tres operaciones juntas constituyen un álgebra booleana de conjuntos, con una función de probabilidad asociada .
P (si A , entonces B ) normalmente no se interpreta como una probabilidad ordinaria, no específicamente como P ( A ′ ∪ B ), sino como la probabilidad condicional de B dado A , P ( B | A ) = P ( A ∩ B ) / P ( A ). Esto plantea una pregunta: ¿qué pasa con una probabilidad como P (si A , entonces B , y si C , entonces D )? Para esto no existe una respuesta estándar. Lo que se necesitaría, para mantener la coherencia, es un tratamiento de si-entonces como una operación binaria, →, tal que para eventos condicionales A → B y C → D , P ( A → B ) = P ( B | A ), P ( C → D ) = P ( D | C ), y P (( A → B ) ∧ ( C → D )) está bien definido y es razonable. Este tratamiento es lo que intentan proporcionar las álgebras de eventos condicionales. [1]
Idealmente, un álgebra de eventos condicional, o CEA, respaldaría una función de probabilidad que cumpla tres condiciones:
Sin embargo, David Lewis demostró (1976) que esas condiciones sólo pueden cumplirse cuando hay sólo dos resultados posibles, como ocurre, por ejemplo, con un solo lanzamiento de moneda. Con tres o más resultados posibles, construir una función de probabilidad requiere elegir cuál de las tres condiciones anteriores violar. Interpretar A → B como A ′ ∪ B produce un álgebra booleana ordinaria que viola 2. Con los CEA, la elección es entre 1 y 3.
Los ACE de tres eventos se inspiran en la lógica de tres valores , donde la identificación de conjunción, disyunción y negación lógicas con operaciones de conjuntos simples ya no se aplica. Para los eventos ordinarios A y B , el triple evento A → B ocurre cuando A y B ocurren, no ocurre cuando A ocurre pero B no, y está indeciso cuando A no ocurre. (El término “tri-evento” proviene de de Finetti (1935): triévénement .) Los eventos ordinarios, que nunca están indecisos, se incorporan al álgebra como tri-eventos condicionados a Ω, el evento vacío representado por todo el espacio muestral de resultados; por tanto, A se convierte en Ω → A .
Dado que hay muchas lógicas de tres valores, hay muchas álgebras de tres eventos posibles. Sin embargo, dos tipos han atraído más interés que los demás. En un tipo, A ∧ B y A ∨ B están indecisos sólo cuando A y B están indecisos; cuando solo uno de ellos lo es, la conjunción o disyunción sigue a la otra conjunción o disyunción. Cuando la negación se maneja de la manera obvia, con ¬ A indeciso en caso de que A lo esté, este tipo de álgebra de tres eventos corresponde a una lógica de tres valores propuesta por Sobociński (1920) y favorecida por Belnap (1973), y también implícita. por la “cuasi-conjunción” de Adams (1975) para condicionales. Schay (1968) fue el primero en proponer un tratamiento algebraico, que Calabrese (1987) desarrolló más adecuadamente. [2]
El otro tipo de ACE de tres eventos trata la negación de la misma manera que el primero, pero trata la conjunción y la disyunción como funciones mínima y máxima, respectivamente, con la ocurrencia como el valor alto, el fracaso como el valor bajo y la indecisión en el medio. Este tipo de álgebra de tres eventos corresponde a una lógica de tres valores propuesta por Łukasiewicz (1920) y también favorecida por de Finetti (1935). Goodman, Nguyen y Walker (1991) finalmente proporcionaron la formulación algebraica.
La probabilidad de cualquier triple evento se define como la probabilidad de que ocurra dividida por la probabilidad de que ocurra o de que no ocurra. [3] Con esta convención, las condiciones 2 y 3 anteriores se satisfacen con los dos principales tipos de CEA de tres eventos. La condición 1, sin embargo, falla. En un álgebra de tipo Sobociński, ∧ no se distribuye sobre ∨, por lo que P ( A ∧ ( B ∨ C )) y P (( A ∧ B ) ∨ ( A ∧ C )) no tienen por qué ser iguales. [4] En un álgebra de tipo Łukasiewicz, ∧ se distribuye sobre ∨ pero no sobre or exclusivo, ( A B = ( A ∧ ¬ B ) ∨ (¬ A ∧ B )). [5] Además, los CEA de tres eventos no son retículos complementados , solo pseudocomplementados , porque en general, ( A → B ) ∧ ¬( A → B ) no puede ocurrir pero puede ser indeciso y, por lo tanto, no es idéntico a Ω → ∅, el elemento inferior de la red. Esto significa que P ( C ) y P ( C (( A → B ) ∧ ¬( A → B ))) pueden diferir, cuando clásicamente no lo harían.
Si se piensa que P (si A , entonces B ) es la probabilidad de que A y B ocurran antes que A y no B en una serie de ensayos, esto se puede calcular como una suma infinita de probabilidades simples: la probabilidad de A y B en el primer ensayo, más la probabilidad de no A (y B o no B ) en el primer ensayo y de A y B en el segundo, más la probabilidad de no A en el segundo ensayo. los dos primeros ensayos y A y B en el tercero, y así sucesivamente, es decir, P ( A ∧ B ) + P (¬ A ) P ( A ∧ B ) + P (¬ A ) 2 P ( A ∧ B ) + …, o, en forma factorizada, P ( A ∧ B )[1 + P (¬ A ) + P (¬ A ) 2 + …]. Dado que el segundo factor es la expansión en serie de Maclaurin de 1 / [1 – P ( ¬A )] = 1 / P ( A ), la suma infinita es igual a P ( A ∧ B ) / P ( A ) = P ( B | A ).
La suma infinita es en sí misma una probabilidad simple, pero el espacio muestral ahora no contiene resultados ordinarios de ensayos únicos sino secuencias infinitas de resultados ordinarios. Así, la probabilidad condicional P ( B | A ) se convierte en probabilidad simple P ( B → A ) reemplazando Ω, el espacio muestral de todos los resultados ordinarios, con Ω*, el espacio muestral de todas las secuencias de resultados ordinarios, e identificando evento condicional A → B con el conjunto de secuencias donde el primer resultado ( A ∧ B ) viene antes que el primer resultado ( A ∧ ¬ B ). En notación de producto cartesiano , Ω* = Ω × Ω × Ω ×…, y A → B es la unión infinita [( A ∩ B ) × Ω × Ω × …] ∪ [ A ′ × ( A ∩ B ) × Ω × Ω × …] ∪ [ A ′ × A ′ × ( A ∩ B ) × Ω × Ω × …] ∪ …. El evento incondicional A está, nuevamente, representado por el evento condicional Ω → A. [6] A diferencia de los CEA de tres eventos, este tipo de CEA admite la identificación de ∧, ∨ y ¬ con las operaciones familiares ∩, ∪ y ′ no solo para eventos ordinarios e incondicionales sino también para eventos condicionales. Debido a que Ω* es un espacio definido por un producto cartesiano infinitamente largo, el álgebra booleana de subconjuntos de eventos condicionales de Ω* se denomina CEA de espacio-producto. Este tipo de ACE fue introducido por van Fraassen (1976), en respuesta al resultado de Lewis, y posteriormente fue descubierto de forma independiente por Goodman y Nguyen (1994).
Las funciones de probabilidad asociadas con los CEA del espacio de productos satisfacen las condiciones 1 y 2 anteriores. Sin embargo, dada la función de probabilidad P que satisface las condiciones 1 y 2, si P ( A ) > 0, se puede demostrar que P A ( C | B ) = P ( C | A ∧ B ) y P A ( B → C ) = P ( B ∧ C | A ) + P ( B ′ | A ) P ( C | B ). [7] Si A , B y C son compatibles por pares pero P ( A ∧ B ∧ C ) = 0, entonces P ( C | A ∧ B ) = P ( B ∧ C | A ) = 0 pero P ( B ′ | A ) P ( C | B ) > 0. Por lo tanto, P A ( B → C ) no es igual de manera confiable a P A ( C | B ). Dado que P A no cumple la condición 2, P no cumple la condición 3.
¿Qué pasa con las construcciones condicionales anidadas? En un CEA de tres eventos, las construcciones anidadas a la derecha se manejan más o menos automáticamente, ya que es natural decir que A → ( B → C ) toma el valor de B → C (posiblemente indeciso) cuando A es verdadero y está indeciso cuando A es falso. Sin embargo, el anidamiento a la izquierda requiere una elección más deliberada: cuando A → B está indeciso, ¿debería ( A → B ) → C estar indeciso o debería tomar el valor de C ? Las opiniones varían. Calabrese adopta este último punto de vista, identificando ( A → B ) → ( C → D ) con ((¬ A ∨ B ) ∧ C ) → D . [8]
Con un CEA de espacio de producto, los condicionales anidados requieren construcciones de secuencia anidadas: evaluar P (( A → B ) → ( C → D )) requiere un espacio muestral de metasecuencias de secuencias de resultados ordinarios. Las probabilidades de las secuencias ordinarias se calculan como antes. Dada una serie de ensayos donde los resultados son secuencias de resultados ordinarios, P (( A → B ) → ( C → D )) es P ( C → D | A → B ) = P (( A → B ) ∧ ( C → D )) / P ( A → B ), la probabilidad de que se encuentre una secuencia (( A → B ) ∧ ( C → B )) antes de una (( A → B ) ∧ ¬( C → B )) -secuencia. Las iteraciones de condicionales de orden superior requieren construcciones metasecuenciales de orden superior. [9]
En cualquiera de los dos tipos principales de CEA de tres eventos, A → ( B → C ) = ( A ∧ B ) → C . [10] Los CEA del espacio de productos, por otra parte, no respaldan esta identidad. Este último hecho se puede inferir del hecho de que P A ( B → C ) no es igual a P A ( C | B ), ya señalado, ya que P A ( C | B ) = P (( A ∧ B ) → C ) y P A ( B → C ) = P ( A → ( B → C )). Sin embargo, para un análisis directo, considere una metasecuencia cuyo primer miembro de secuencia comienza con un resultado ( A ∧ ¬ B ∧ C ), seguido de un resultado (¬ A ∧ B ∧ C ), seguido de un ( A ∧ B ∧ ¬ C )-resultado. Esa metasecuencia pertenecerá al evento A → ( B → C ), porque el primer miembro de la secuencia es una ( A ∧ ( B → C )) -secuencia, pero la metasecuencia no pertenecerá al evento ( A ∧ B ) → C , porque la primera secuencia miembro es una secuencia (( A ∧ B ) → ¬ C ).
El impulso inicial para los ACE es teórico (es decir, el desafío de responder al resultado de Lewis), pero se han propuesto aplicaciones prácticas. Si, por ejemplo, los eventos A y C involucran señales emitidas por estaciones de radar militares, y los eventos B y D involucran lanzamientos de misiles, una fuerza militar contraria con un sistema de defensa antimisiles controlado por IA puede querer que el sistema pueda calcular P (( A → B ) ∧ ( C → D )) y/o P (( A → B ) → ( C → D )). [11] Otras aplicaciones van desde la interpretación de imágenes [12] hasta la detección de ataques de denegación de servicio en redes informáticas. [13]
Adams, EW 1975. La lógica de los condicionales. D. Reidel, Dordrecht.
Bamber, D., Goodman, IR y Nguyen, HT 2004. "Deducción del conocimiento condicional". Computación blanda 8: 247–255.
Belnap, ND 1973. "Cuantificación restringida y afirmación condicional", en H. Leblanc (ed.), Verdad, sintaxis y modalidad Holanda Septentrional, Ámsterdam. 48–75.
Calabrese, P. 1987. "Una síntesis algebraica de los fundamentos de la lógica y la probabilidad". Ciencias de la Información 42:187-237.
de Finetti, Bruno. 1935. "La lógica de la probabilidad". Actes du Congrès Internacional Filosofía Científica . París.
van Fraassen, Bas C. 1976. "Probabilidades de condicionales" en WL Harper y CA Hooker (eds.), Fundamentos de la teoría de la probabilidad, la inferencia estadística y las teorías estadísticas de la ciencia , vol. ID Reidel, Dordrecht, págs. .
Goodman, IR, Mahler, RPS y Nguyen, HT 1999. "¿Qué es el álgebra de eventos condicional y por qué debería importarle?" Actas de SPIE , vol. 3720.
Goodman, IR, Nguyen, HT y Walker, E.A. 1991. Inferencia condicional y lógica para sistemas inteligentes: una teoría del condicionamiento sin medidas . Oficina del Jefe de Investigación Naval, Arlington, Virginia.
Goodman, IR y Nguyen, HT 1994. "Una teoría de la información condicional para la inferencia probabilística en sistemas inteligentes: II, Enfoque del espacio de productos; III Apéndice matemático". Ciencias de la Información 76:13-42; 75: 253-277.
Goodman, IR y Nguyen, HT 1995. "Fundamentos matemáticos de los condicionales y sus asignaciones probabilísticas". Revista internacional de incertidumbre, confusión y sistemas basados en el conocimiento 3(3): 247-339
Kelly, PA, Derin, H. y Gong, W.-B. 1999. "Algunas aplicaciones de eventos condicionales y conjuntos aleatorios para estimación de imágenes y modelado de sistemas". Actas SPIE 3720: 14-24.
Łukasiewicz, J. 1920. "O logice trójwartościowej" (en polaco). Ruch Filozoficzny 5:170–171. Traducción al inglés: "Sobre la lógica de tres valores", en L. Borkowski (ed.), Obras seleccionadas de Jan Łukasiewicz , Holanda Septentrional, Ámsterdam, 1970, págs. ISBN 0-7204-2252-3
Schay, Geza. 1968. "Un álgebra de eventos condicionales". Revista de análisis y aplicaciones matemáticas 24: 334-344.
Sobociński, B. 1952. "Axiomatización de un sistema parcial de cálculo trivalente de proposiciones". Revista de sistemas informáticos 1(1):23-55.
Sun, D., Yang, K., Jing, X., Lv, B. y Wang, Y. 2014. "Detección de tráfico de red anormal basada en álgebra de eventos condicional". Mecánica y Materiales Aplicados 644-650: 1093-1099.
