Álgebra de Rota-Baxter

En matemáticas , un álgebra de Rota-Baxter es un álgebra asociativa , junto con un mapa lineal particular que satisface la identidad de Rota-Baxter . Apareció por primera vez en el trabajo del matemático estadounidense Glen E. Baxter ^[1] en el ámbito de la teoría de la probabilidad . El trabajo de Baxter fue explorado más a fondo desde diferentes ángulos por Gian-Carlo Rota , ^{[2] [3] [4]} Pierre Cartier , ^[5] y Frederic V. Atkinson, ^[6] entre otros. La derivación de Baxter de esta identidad que más tarde llevó su nombre emanó de algunos de los resultados fundamentales del famoso probabilista Frank Spitzer en la teoría del paseo aleatorio . ^{[7] [8]} ${\displaystyle R}$

En la década de 1980, el operador Rota-Baxter de peso 0 en el contexto de las álgebras de Lie fue redescubierto como la forma del operador de la ecuación clásica de Yang-Baxter , ^[9] que lleva el nombre de los conocidos físicos Chen-Ning Yang y Rodney Baxter .

El estudio de las álgebras de Rota-Baxter experimentó un renacimiento este siglo, comenzando con varios desarrollos, en el enfoque algebraico para la renormalización de la teoría cuántica de campos perturbativa, ^[10] álgebras dendriformes, análogas asociativas de la ecuación clásica de Yang-Baxter ^[11] y mezclables barajar construcciones de productos. ^[12]

Definición y primeras propiedades.

Sea un anillo conmutativo y déjese dar. Un operador lineal en un álgebra se denomina operador de peso de Rota-Baxter si satisface la relación de peso de Rota-Baxter : ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle R(x)R(y)=R(R(x)y)+R(xR(y))+\lambda R(xy)}$

para todos . Entonces el par o simplemente se llama álgebra de pesos de Rota-Baxter . En alguna literatura, se utiliza, en cuyo caso la ecuación anterior se convierte en ${\displaystyle x,y\in A}$ ${\displaystyle (A,R)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \theta =-\lambda }$

${\displaystyle R(x)R(y)+\theta R(xy)=R(R(x)y)+R(xR(y)),}$

llamada ecuación de peso de Rota-Baxter ${\displaystyle \theta }$ . También se utilizan los términos álgebra de operadores de Baxter y álgebra de Baxter.

Sea una Rota-Baxter de peso . Entonces también es un operador de peso de Rota-Baxter . Además, para in , es un operador Rota-Baxter de peso . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle -\lambda Id-R}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mu R}$ ${\displaystyle \mu \lambda }$

Ejemplos

Integración por partes

La integración por partes es un ejemplo de álgebra de Rota-Baxter de peso 0. Sea el álgebra de funciones continuas desde la recta real hasta la recta real. Sea una función continua. Definir la integración como operador Rota-Baxter ${\displaystyle C(R)}$ ${\displaystyle f(x)\in C(R)}$

${\displaystyle I(f)(x)=\int _{0}^{x}f(t)dt\;.}$

Deja y . Entonces la fórmula para la integración de partes se puede escribir en términos de estas variables como ${\displaystyle G(x)=I(g)(x)}$ ${\displaystyle F(x)=I(f)(x)}$

${\displaystyle F(x)G(x)=\int _{0}^{x}f(t)G(t)dt+\int _{0}^{x}F(t)g(t)dt\;.}$

En otras palabras

${\displaystyle I(f)(x)I(g)(x)=I(fI(g)(t))(x)+I(I(f)(t)g)(x)\;,}$

lo que muestra que es un álgebra de Rota-Baxter de peso 0. ${\displaystyle I}$

Identidad Spitzer

La identidad Spitzer que apareció lleva el nombre del matemático estadounidense Frank Spitzer . Se considera un trampolín notable en la teoría de sumas de variables aleatorias independientes en la teoría de la probabilidad de fluctuaciones. Naturalmente, puede entenderse en términos de operadores Rota-Baxter.

Identidad de Bohnenblust-Spitzer

Notas

1. Baxter, G. (1960). "Un problema analítico cuya solución se deriva de una identidad algebraica simple". Pacífico J. Matemáticas . 10 (3): 731–742. doi : 10.2140/pjm.1960.10.731 . SEÑOR  0119224.
2. Rota, G.-C. (1969). "Álgebras de Baxter e identidades combinatorias, I, II". Toro. América. Matemáticas. Soc . 75 (2): 325–329. doi : 10.1090/S0002-9904-1969-12156-7 .; ibídem. 75, 330–334, (1969). Reimpreso en: Gian-Carlo Rota sobre combinatoria: artículos introductorios y comentarios , JPS Kung Ed., Contemp. Matemáticos, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1995.
3. G.-C. Rota, operadores de Baxter, una introducción , en: Gian-Carlo Rota sobre combinatoria, artículos introductorios y comentarios , JPS Kung Ed., Contemp. Matemáticos, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1995.
4. G.-C. Rota y D. Smith, Teoría de la fluctuación y álgebras de Baxter , Instituto Nazionale di Alta Matematica, IX, 179–201, (1972). Reimpreso en: Gian-Carlo Rota sobre combinatoria: artículos introductorios y comentarios , JPS Kung Ed., Contemp. Matemáticos, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1995.
5. Cartier, P. (1972). "Sobre la estructura de las álgebras libres de Baxter". Avances en Matemáticas . 9 (2): 253–265. doi : 10.1016/0001-8708(72)90018-7 .
6. Atkinson, FV (1963). "Algunos aspectos de la ecuación funcional de Baxter". J. Matemáticas. Anal. Aplica . 7 : 1–30. doi : 10.1016/0022-247X(63)90075-1 .
7. Spitzer, F. (1956). "Un lema combinatorio y su aplicación a la teoría de la probabilidad". Trans. América. Matemáticas. Soc . 82 (2): 323–339. doi : 10.1090/S0002-9947-1956-0079851-X .
8. Spitzer, F. (1976). Principios de los paseos aleatorios . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 34 (Segunda ed.). Nueva York, Heidelberg: Springer-Verlag.
9. Semenov-Tian-Shansky, MA (1983). "¿Qué es una matriz r clásica ?". Func. Anal. Aplica . 17 (4): 259–272. doi :10.1007/BF01076717. S2CID  120134842.
10. Connes, A.; Kreimer, D. (2000). "Renormalización en la teoría cuántica de campos y el problema de Riemann-Hilbert. I. La estructura de gráficos del álgebra de Hopf y el teorema principal". Com. Matemáticas. Física . 210 (1): 249–273. arXiv : hep-th/9912092 . Código Bib : 2000CMaPh.210..249C. doi :10.1007/s002200050779. S2CID  17448874.
11. Aguiar, M. (2000). "Álgebras de Hopf infinitesimales". Contemporáneo. Matemáticas . Matemáticas Contemporáneas. 267 : 1–29. doi :10.1090/conm/267/04262. ISBN 9780821821268.
12. Guo, L.; Keigher, W. (2000). "Álgebras de Baxter y productos aleatorios". Avances en Matemáticas . 150 : 117-149. arXiv : matemáticas/0407155 . doi : 10.1006/aima.1999.1858 .

enlaces externos

• Li Guo. ¿QUÉ ES...un álgebra de Rota-Baxter? Avisos de la AMS, diciembre de 2009, Volumen 56 Número 11