álgebra de pasillo

En matemáticas , el álgebra de Hall es un álgebra asociativa con una base correspondiente a clases de isomorfismo de p -grupos abelianos finitos . Steinitz (1901) lo discutió por primera vez, pero lo olvidó hasta que fue redescubierto por Philip Hall  (1959), quienes no publicaron más que breves resúmenes de su trabajo. Los polinomios de Hall son las constantes de estructura del álgebra de Hall . El álgebra de Hall juega un papel importante en la teoría de Masaki Kashiwara y George Lusztig sobre bases canónicas en grupos cuánticos . Ringel (1990) generalizó las álgebras de Hall a categorías más generales , como la categoría de representaciones de un carcaj .

Construcción

Un p -grupo abeliano finito M es una suma directa de componentes cíclicos de p -potencia donde hay una partición llamada tipo de M . Sea el número de subgrupos N de M tales que N tiene tipo y el cociente M/N tiene tipo . Hall demostró que las funciones g son funciones polinómicas de p con coeficientes enteros. Por lo tanto, podemos reemplazar p con una q indeterminada , lo que da como resultado los polinomios de Hall. ${\displaystyle C_{p^{\lambda _{i}}},}$ ${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots )}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g_{\mu ,\nu }^{\lambda }(p)}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle g_{\mu ,\nu }^{\lambda }(q)\in \mathbb {Z} [q].\,}$

Hall luego construye un anillo asociativo , ahora llamado álgebra de Hall . Este anillo tiene una base que consta de los símbolos y las constantes de estructura de la multiplicación en esta base están dadas por los polinomios de Hall: ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [q]}$ ${\displaystyle u_{\lambda }}$

${\displaystyle u_{\mu }u_{\nu }=\sum _{\lambda }g_{\mu ,\nu }^{\lambda }(q)u_{\lambda }.\,}$

Resulta que H es un anillo conmutativo, generado libremente por los elementos correspondientes a los p -grupos elementales . La aplicación lineal de H al álgebra de funciones simétricas definidas en los generadores por la fórmula ${\displaystyle u_{\mathbf {1} ^{n}}}$

${\displaystyle u_{\mathbf {1} ^{n}}\mapsto q^{-n(n-1)/2}e_{n}\,}$

(donde e _n es la enésima función simétrica elemental ) se extiende de forma única a un homomorfismo de anillo y las imágenes de los elementos básicos pueden interpretarse a través de las funciones simétricas de Hall-Littlewood . Al especializar q en 0, estas funciones simétricas se convierten en funciones de Schur , que por tanto están estrechamente relacionadas con la teoría de los polinomios de Hall. ${\displaystyle u_{\lambda }}$

Referencias

• Hall, Philip (1959), "El álgebra de particiones", Actas del cuarto congreso matemático canadiense, Banff , págs.
• George Lusztig , Quivers, gavillas perversas y álgebras envolventes cuantificadas , Journal of the American Mathematical Society 4 (1991), no. 2, 365–421.
• Macdonald, Ian G. (1995), Funciones simétricas y polinomios de Hall, Oxford Mathematical Monographs (2ª ed.), The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853489-1, SEÑOR  1354144
• Ringel, Claus Michael (1990), "Álgebras de Hall y grupos cuánticos", Inventiones Mathematicae , 101 (3): 583–591, Bibcode :1990InMat.101..583R, doi :10.1007/BF01231516, MR  1062796, S2CID  120480847
• Schiffmann, Olivier (2012), "Conferencias sobre álgebras de Hall", Métodos geométricos en la teoría de la representación. II , Sémin. Congreso, vol. 24-II, París: Soc. Matemáticas. Francia, págs. 1–141, arXiv : math/0611617 , Bibcode : 2006math.....11617S, MR  3202707
• Steinitz, Ernst (1901), "Zur Theorie der Abel'schen Gruppen", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 9 : 80–85