álgebra genética

En genética matemática, un álgebra genética es un álgebra (posiblemente no asociativa ) utilizada para modelar la herencia en genética. Algunas variaciones de estas álgebras se denominan álgebras de tren , álgebras de tren especiales , álgebras gaméticas , álgebras de Bernstein , álgebras copulares , álgebras cigóticas y álgebras báricas (también llamadas álgebra ponderada ). El estudio de estas álgebras fue iniciado por Ivor Etherington  (1939).

En aplicaciones a la genética, estas álgebras a menudo tienen una base correspondiente a los gametos genéticamente diferentes , y las constantes de estructura del álgebra codifican las probabilidades de producir descendencia de varios tipos. Las leyes de la herencia se codifican entonces como propiedades algebraicas del álgebra.

Para estudios de álgebras genéticas, consulte Bertrand (1966), Wörz-Busekros (1980) y Reed (1997).

Álgebras báricas

Etherington (1939) introdujo las álgebras báricas (o álgebras ponderadas). Un álgebra bárica sobre un campo  K es un álgebra posiblemente no asociativa sobre  K junto con un homomorfismo  w , llamado peso, del álgebra  a K. ^[1]

Álgebras de Bernstein

Un álgebra de Bernstein, basada en el trabajo de Sergei Natanovich Bernstein  (1923) sobre la ley de Hardy-Weinberg en genética, es un álgebra bárica B (posiblemente no asociativa) sobre un campo K con un homomorfismo de peso w de B a K satisfactorio . Cada álgebra de este tipo tiene idempotentes e de la forma con . La descomposición de Peirce de B correspondiente a e es ${\displaystyle (x^{2})^{2}=w(x)^{2}x^{2}}$ ${\displaystyle e=a^{2}}$ ${\displaystyle w(a)=1}$

${\displaystyle B=Ke\oplus U_{e}\oplus Z_{e}}$

dónde y . Aunque estos subespacios dependen de e , sus dimensiones son invariantes y constituyen el tipo de B. Un álgebra de Bernstein excepcional es aquella con . ^[2] ${\displaystyle U_{e}=\{a\in \ker w:ea=a/2\}}$ ${\displaystyle Z_{e}=\{a\in \ker w:ea=0\}}$ ${\displaystyle U_{e}^{2}=0}$

Álgebras copulares

Las álgebras copulares fueron introducidas por Etherington (1939, sección 8)

Álgebras de evolución

Un álgebra de evolución sobre un campo es un álgebra con una base sobre la cual la multiplicación se define por el producto de distintos términos de base que son cero y el cuadrado de cada elemento de base es una forma lineal en elementos de base. Un álgebra de evolución real es aquella definida sobre los reales: no es negativa si las constantes de estructura en la forma lineal son todas no negativas. ^[3] Un álgebra de evolución es necesariamente conmutativa y flexible, pero no necesariamente asociativa o asociativa de poder . ^[4]

Álgebras gaméticas

Un álgebra gamética es un álgebra real de dimensión finita para la cual todas las constantes estructurales se encuentran entre 0 y 1. ^[5]

Álgebras genéticas

Las álgebras genéticas fueron introducidas por Schafer (1949), quien demostró que las álgebras de trenes especiales son álgebras genéticas y las álgebras genéticas son álgebras de trenes.

Álgebras especiales de trenes

Etherington (1939, sección 4) introdujo las álgebras de trenes especiales como casos especiales de álgebras báricas.

Un álgebra de trenes especial es un álgebra bárica en la que el núcleo N de la función de peso es nilpotente y las potencias principales de N son ideales. ^[1]

Etherington (1941) demostró que las álgebras de trenes especiales son álgebras de trenes.

Entrenar álgebras

Etherington (1939, sección 4) introdujo las álgebras de trenes como casos especiales de álgebras báricas.

Sean elementos del campo K con . El polinomio formal ${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{n}}$ ${\displaystyle 1+c_{1}+\cdots +c_{n}=0}$

${\displaystyle x^{n}+c_{1}w(x)x^{n-1}+\cdots +c_{n}w(x)^{n}}$

es un polinomio de tren . El álgebra bárica B con peso w es un álgebra de tren si

${\displaystyle a^{n}+c_{1}w(a)a^{n-1}+\cdots +c_{n}w(a)^{n}=0}$

para todos los elementos , con poderes definidos como principales ,. ^{[ dieciséis]} ${\displaystyle a\in B}$ ${\displaystyle a^{k}}$ ${\displaystyle (a^{k-1})a}$

Álgebras cigóticas

Las álgebras cigóticas fueron introducidas por Etherington (1939, sección 7)

Referencias

1. , S.; Martínez, C. (2001), "Acerca de las álgebras de Bernstein", en Granja, Ángel (ed.), Teoría de anillos y geometría algebraica. Actas del V congreso internacional sobre álgebra y geometría algebraica, SAGA V, León, España , Lect. Notas Aplicación pura. Matemáticas, vol. 221, Nueva York, Nueva York: Marcel Dekker, págs. 223–239, Zbl  1005.17021
2. Catalán, A. (2000). "E-ideales en álgebras de Bernstein". En Costa, Roberto (ed.). Álgebra no asociativa y sus aplicaciones. Actas de la cuarta conferencia internacional, São Paulo, Brasil . Lectura. Notas Aplicación pura. Matemáticas. vol. 211. Nueva York, Nueva York: Marcel Dekker. págs. 35–42. Zbl  0968.17013.
3. Tian (2008) p.18
4. Tian (2008) p.20
5. Cohn, Paul M. (2000). Introducción a la teoría de los anillos . Serie de Matemáticas de Pregrado de Springer. Springer-Verlag . pag. 56.ISBN​ 1852332069. ISSN  1615-2085.
6. Catalán S., Abdón (1994). " E -ideales en álgebras báricas". Estera. Contemporáneo . 6 : 7–12. Zbl  0868.17023.

• Bernstein, SN (1923), "Principe de stationarité et généralisation de la loi de Mendel", CR Acad. Ciencia. París , 177 : 581–584.
• Bertrand, Monique (1966), Algèbres non associatives et algèbres génétiques , Mémorial des Sciences Mathématiques, Fasc. 162, Gauthier-Villars Éditeur, París, MR  0215885
• Etherington, IMH (1939), "Álgebras genéticas" (PDF) , Proc. R. Soc. Edimburgo , 59 : 242–258, MR  0000597, Zbl  0027.29402, archivado desde el original (PDF) el 6 de julio de 2011.
• Etherington, IMH (1941), "Álgebras de trenes especiales", The Quarterly Journal of Mathematics , segunda serie, 12 : 1–8, doi :10.1093/qmath/os-12.1.1, ISSN  0033-5606, JFM  67.0093.04, Señor  0005111, Zbl  0027.29401
• Lyubich, Yu.I. (2001) [1994], "Problema de Bernstein en genética matemática", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Micali, A. (2001) [1994], "Álgebra bárica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Micali, A. (2001) [1994], "Álgebra de Bernstein", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Reed, Mary Lynn (1997), "Estructura algebraica de la herencia genética", Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense , Nueva Serie, 34 (2): 107–130, doi : 10.1090/S0273-0979-97-00712-X , ISSN  0002-9904, señor  1414973, Zbl  0876.17040
• Schafer, Richard D. (1949), "Estructura de álgebras genéticas", American Journal of Mathematics , 71 : 121–135, doi :10.2307/2372100, ISSN  0002-9327, JSTOR  2372100, MR  0027751
• Tian, ​​Jianjun Paul (2008), Álgebras de evolución y sus aplicaciones , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1921, Berlín: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-74283-8, Zbl  1136.17001
• Wörz-Busekros, Angelika (1980), Álgebras en genética , Lecture Notes in Biomathematics, vol. 36, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-09978-1, señor  0599179
• Wörz-Busekros, A. (2001) [1994], "Álgebra genética", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press

Otras lecturas

• Lyubich, Yu.I. (1983), Estructuras matemáticas en genética de poblaciones. (Matematicheskie struktury v populyatsionnoj genetike) (en ruso), Kiev: Naukova Dumka, Zbl  0593.92011