Distribución de cola gruesa

Distribución de probabilidad con alta asimetría o curtosis

Una distribución de cola gruesa es una distribución de probabilidad que muestra una gran asimetría o curtosis , en relación con la de una distribución normal o una distribución exponencial . ^{[ cuando se define como? ]} En el uso común, los términos cola gorda y cola pesada son a veces sinónimos; La cola gruesa a veces también se define como un subconjunto de la cola pesada. Diferentes comunidades de investigación favorecen uno u otro en gran medida por razones históricas y pueden tener diferencias en la definición precisa de cualquiera de ellos.

Las distribuciones de cola gruesa se han encontrado empíricamente en una variedad de áreas: física , ciencias de la tierra, economía y ciencias políticas. La clase de distribuciones de cola gruesa incluye aquellas cuyas colas decaen como una ley potencial , que es un punto de referencia común en su uso en la literatura científica. Sin embargo, las distribuciones de cola gruesa también incluyen otras distribuciones que decaen lentamente, como la log-normal . ^[1]

El caso extremo: una distribución de ley de potencias

El caso más extremo de una cola gruesa viene dado por una distribución cuya cola decae como una ley potencial .

Una variedad de distribuciones de Cauchy para diversos parámetros de ubicación y escala. Las distribuciones de Cauchy son ejemplos de distribuciones de cola gruesa.

Es decir, si la distribución acumulativa complementaria de una variable aleatoria X se puede expresar como ^{[ cita necesaria ]}

${\displaystyle \Pr \left\{\ X>x\ \right\}\sim x^{-\alpha }\quad }$como para ${\displaystyle \quad x\to \infty \quad }$ ${\displaystyle \quad \alpha >0\;,}$

entonces se dice que la distribución tiene una cola gruesa si . Para tales valores, la varianza y la asimetría de la cola no están definidas matemáticamente (una propiedad especial de la distribución de ley de potencia) y, por tanto, son mayores que cualquier distribución normal o exponencial. Para los valores de la afirmación de una cola gruesa es más ambiguo, porque en este rango de parámetros, la varianza, la asimetría y la curtosis pueden ser finitas, dependiendo del valor preciso de y, por lo tanto, potencialmente más pequeñas que una cola normal o exponencial de alta varianza. Esta ambigüedad a menudo conduce a desacuerdos sobre exactamente qué es o no una distribución de cola gruesa. Dado que el momento es infinito, para cada distribución de ley de potencia, algunos momentos no están definidos. ^[2] ${\displaystyle \alpha <2}$ ${\displaystyle \ \alpha >2\ ,}$ ${\displaystyle \ \alpha \ ,}$ ${\displaystyle \ k>\alpha -1\ ,}$ ${\displaystyle \ k^{\mathsf {th}}\ }$

Nota

Aquí la notación de tilde " " significa que la cola de la distribución decae como una ley potencial; más técnicamente, se refiere a la equivalencia asintótica de funciones , lo que significa que su relación tiende asintóticamente a una constante. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle \sim }$

Colas gruesas y distorsiones en las estimaciones de riesgo

Vuelo de Lévy a partir de una distribución de Cauchy comparado con el movimiento browniano (abajo). Los eventos centrales son más comunes y los eventos raros son más extremos en la distribución de Cauchy que en el movimiento browniano. Un solo evento puede comprender el 99% de la variación total, de ahí la "varianza indefinida".

Vuelo de Lévy a partir de una distribución normal ( movimiento browniano ).

En comparación con las distribuciones de cola gruesa, en la distribución normal, los eventos que se desvían de la media en cinco o más desviaciones estándar ("eventos 5-sigma") tienen menor probabilidad, lo que significa que en la distribución normal los eventos extremos son menos probables que en el caso de las distribuciones de cola gruesa. -distribuciones de cola. Las distribuciones de cola gruesa como la distribución de Cauchy (y todas las demás distribuciones estables con excepción de la distribución normal ) tienen "sigma indefinida" (más técnicamente, la varianza no está definida).

Como consecuencia, cuando los datos surgen de una distribución subyacente de cola ancha, calzar el modelo de riesgo de "distribución normal" -y estimar sigma basándose (necesariamente) en un tamaño de muestra finito- subestimaría el verdadero grado de dificultad predictiva (y de riesgo). Muchos, en particular Benoît Mandelbrot y Nassim Taleb , han notado esta deficiencia del modelo de distribución normal y han propuesto que las distribuciones de cola ancha, como las distribuciones estables, gobiernen los rendimientos de los activos que se encuentran con frecuencia en las finanzas . ^{[3] [4] [5]}

El modelo de Black-Scholes de valoración de opciones se basa en una distribución normal. Si la distribución es realmente de cola gruesa, entonces el modelo subestimará las opciones que están muy lejos del dinero , ya que un evento de 5 o 7 sigma es mucho más probable de lo que predeciría la distribución normal. ^[6]

Aplicaciones en economía

En finanzas , las colas gruesas ocurren a menudo, pero se consideran indeseables debido al riesgo adicional que implican. Por ejemplo, una estrategia de inversión puede tener un rendimiento esperado, después de un año, que sea cinco veces su desviación estándar. Suponiendo una distribución normal, la probabilidad de que fracase (rentabilidad negativa) es inferior a una entre un millón; en la práctica, puede ser mayor. Las distribuciones normales que surgen en las finanzas generalmente lo hacen porque los factores que influyen en el valor o precio de un activo se "comportan bien" matemáticamente, y el teorema del límite central prevé dicha distribución. Sin embargo, los acontecimientos traumáticos del "mundo real" (como una crisis petrolera, la quiebra de una gran empresa o un cambio abrupto en una situación política) no suelen comportarse matemáticamente bien .

Los ejemplos históricos incluyen el desplome de Wall Street de 1929 , el lunes negro (1987) , la burbuja de las puntocom , la crisis financiera de finales de la década de 2000 , el desplome repentino de 2010 , el desplome del mercado de valores de 2020 y la desvinculación de algunas monedas. ^[7]

Las colas gruesas en las distribuciones de rendimiento del mercado también tienen algunos orígenes conductuales (optimismo o pesimismo excesivo de los inversores que conducen a grandes movimientos del mercado) y, por lo tanto, se estudian en las finanzas conductuales .

En marketing , la conocida regla 80-20 que se encuentra con frecuencia (por ejemplo, "el 20% de los clientes representa el 80% de los ingresos") es una manifestación de una distribución de cola gruesa subyacente a los datos. ^[8]

Las "colas gordas" también se observan en los mercados de productos básicos o en la industria discográfica , especialmente en los mercados fonográficos . La función de densidad de probabilidad para el logaritmo de los cambios semanales en las ventas récord es altamente leptocúrtica y se caracteriza por un máximo más grande y estrecho, y por una cola más gruesa que en el caso de la distribución normal. Por otro lado, esta distribución tiene sólo una cola gorda asociada a un aumento en las ventas debido a la promoción de los nuevos discos que entran en las listas. ^[9]

Ver también

• Riesgo de cola
• Teoría del cisne negro
• Siete estados de aleatoriedad
• Distribución taleb

Referencias

1. Bahat; Rabínovich; Viernes (2005). Fracturamiento por tracción en rocas. Saltador.
2. Thomas, Mikosch (1999). Subexponencialidad de variación regular y sus aplicaciones en teoría de la probabilidad (PDF) . eurandom.tue.nl (Informe). Centro Taller en el área de Estocástica, Departamento de Matemáticas e Informática. Eindhoven, NL: Universidad Tecnológica de Eindhoven .
3. Taleb, NN (2007). El Cisne negro . Random House y Pingüino. ISBN 9781400063512.
4. Mandelbrot, B. (1997). Fractales y escalamiento en finanzas: discontinuidad, concentración, riesgo . Saltador.
5. Mandelbrot, B. (1963). «La variación de ciertos precios especulativos» (PDF) . La Revista de Negocios . 36 (4): 394. doi : 10.1086/294632.
6. Steven R. Dunbar, Limitaciones del modelo Black-Scholes, procesos estocásticos y finanzas matemáticas avanzadas 2009 http://www.math.unl.edu/~sdunbar1/MathematicalFinance/Lessons/BlackScholes/Limitations/limitations.xml Archivado en 2014- 26-01 en la Wayback Machine.
7. Dash, enero W. (2004). Finanzas cuantitativas y gestión de riesgos: el enfoque de un físico. Pub científico mundial.
8. Koch, Richard, 1950- (2008). El principio 80/20: el secreto de lograr más con menos (Rev. y edición actualizada). Nueva York: Doubleday. ISBN 9780385528313. OCLC  429075591.{{cite book}}: Mantenimiento CS1: varios nombres: lista de autores ( enlace ) Mantenimiento CS1: nombres numéricos: lista de autores ( enlace )
9. Buda, A. (2012). "¿Existe la música pop? Estructura jerárquica en los mercados fonográficos". Física A. 391 (21): 5153–5159. doi :10.1016/j.physa.2012.05.057.

enlaces externos

• Ejemplos de colas gordas en series temporales financieras
• Distribución de Fat Tail: John A. Robb Archivado el 17 de marzo de 2017 en la Wayback Machine.