Una teoría dinámica del campo electromagnético

Artículo de física de James Maxwell de 1865

" Una teoría dinámica del campo electromagnético " es un artículo de James Clerk Maxwell sobre electromagnetismo , publicado en 1865. ^[1] En el artículo, Maxwell deriva una ecuación de onda electromagnética con una velocidad para la luz en estrecho acuerdo con las mediciones realizadas experimentalmente, y deduce que la luz es una onda electromagnética.

Publicación

Siguiendo el procedimiento estándar para la época, el artículo fue leído por primera vez en la Royal Society el 8 de diciembre de 1864, habiendo sido enviado por Maxwell a la sociedad el 27 de octubre. Luego fue sometido a revisión por pares , siendo enviado a William Thomson (más tarde Lord Kelvin ) el 24 de diciembre de 1864. ^[2] Luego fue enviado a George Gabriel Stokes , el secretario de ciencias físicas de la Sociedad, el 23 de marzo de 1865. Fue aprobado para su publicación en Philosophical Transactions of the Royal Society el 15 de junio de 1865, por el Committee of Papers (esencialmente el consejo de gobierno de la sociedad) y enviado a la imprenta al día siguiente (16 de junio). Durante este período, Philosophical Transactions solo se publicó como un volumen encuadernado una vez al año, ^[3] y habría sido preparado para el día del aniversario de la sociedad el 30 de noviembre (la fecha exacta no está registrada). Sin embargo, el impresor habría preparado y entregado a Maxwell separatas para que el autor las distribuyera como quisiera, poco después del 16 de junio.

Ecuaciones originales de Maxwell

En la parte III del artículo, titulada "Ecuaciones generales del campo electromagnético", Maxwell formuló veinte ecuaciones ^[1] que se conocerían como ecuaciones de Maxwell , hasta que este término se aplicó en su lugar a un conjunto vectorizado de cuatro ecuaciones seleccionadas en 1884, que habían aparecido todas en su artículo de 1861 " Sobre las líneas físicas de fuerza ". ^[4]

Las versiones de Heaviside de las ecuaciones de Maxwell se distinguen por el hecho de que están escritas en notación vectorial moderna . En realidad, sólo contienen una de las ocho ecuaciones originales: la ecuación "G" ( Ley de Gauss ). Otra de las cuatro ecuaciones de Heaviside es una amalgama de la ley de corrientes totales de Maxwell (ecuación "A") con la ley circuital de Ampère (ecuación "C"). Esta amalgama, que Maxwell mismo había hecho originalmente en la ecuación (112) en "On Physical Lines of Force", es la que modifica la Ley circuital de Ampère para incluir la corriente de desplazamiento de Maxwell . ^[4]

Ecuaciones de Heaviside

Dieciocho de las veinte ecuaciones originales de Maxwell se pueden vectorizar en seis ecuaciones, etiquetadas (A) a (F) a continuación, cada una de las cuales representa un grupo de tres ecuaciones originales en forma de componentes . La 19.ª y la 20.ª de las ecuaciones de componentes de Maxwell aparecen como (G) y (H) a continuación, lo que hace un total de ocho ecuaciones vectoriales. Estas se enumeran a continuación en el orden original de Maxwell, designadas por las letras que Maxwell les asignó en su artículo de 1864. ^[5]

(A)La ley de las corrientes totales

${\displaystyle \mathbf {J} _{\rm {tot}}=}$ ${\displaystyle \,\mathbf {J} }$ ${\displaystyle +\,{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}$

(B)Definición del potencial magnético

${\displaystyle \mu \mathbf {H} =\nabla \times \mathbf {A} }$

(DO) Ley circuital de Ampère

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{\rm {tot}}}$

(D)La fuerza de Lorentz y la ley de inducción de Faraday

${\displaystyle \mathbf {f} =\mu (\mathbf {v} \times \mathbf {H} )-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}-\nabla \phi }$

(MI)La ecuación de elasticidad eléctrica

${\displaystyle \mathbf {f} ={\frac {1}{\varepsilon }}\mathbf {D} }$

(F) Ley de Ohm

${\displaystyle \mathbf {f} ={\frac {1}{\sigma }}\mathbf {J} }$

(GRAMO) Ley de Gauss

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho }$

(A)Ecuación de continuidad de carga

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {J} =-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,}$.

Notación

${\displaystyle \mathbf {H} }$es el campo magnético , que Maxwell llamó " intensidad magnética ".

${\displaystyle \mathbf {J} }$es la densidad de corriente eléctrica ( siendo la densidad de corriente total incluida la corriente de desplazamiento ). ${\displaystyle \mathbf {J} _{\rm {tot}}}$

${\displaystyle \mathbf {D} }$es el campo de desplazamiento (llamado " desplazamiento eléctrico " por Maxwell).

${\displaystyle \rho }$es la densidad de carga libre (llamada " cantidad de electricidad libre " por Maxwell).

${\displaystyle \mathbf {A} }$es el potencial magnético (llamado " impulso angular " por Maxwell).

${\displaystyle \mathbf {f} }$es la fuerza por unidad de carga (llamada " fuerza electromotriz " por Maxwell, que no debe confundirse con la cantidad escalar que ahora se llama fuerza electromotriz ; ver más abajo).

${\displaystyle \phi }$es el potencial eléctrico (al que Maxwell también llamó " potencial eléctrico ").

${\displaystyle \sigma }$es la conductividad eléctrica (Maxwell llamó a la inversa de la conductividad la " resistencia específica ", lo que ahora se llama resistividad ).

${\displaystyle \nabla }$es el operador vectorial del .

Aclaraciones

Maxwell no consideró materiales completamente generales; su formulación inicial utilizó medios lineales , isótropos y no dispersivos con permitividad ϵ y permeabilidad μ , aunque también discutió la posibilidad de materiales anisotrópicos .

La ley de Gauss para el magnetismo ( ∇⋅  B = 0 ) no está incluida en la lista anterior, pero se deduce directamente de la ecuación (B) tomando divergencias (porque la divergencia del rizo es cero).

Sustituyendo (A) en (C) se obtiene la forma diferencial conocida de la ley de Maxwell-Ampère .

La ecuación (D) contiene implícitamente la ley de fuerza de Lorentz y la forma diferencial de la ley de inducción de Faraday . Para un campo magnético estático , se anula y el campo eléctrico E se vuelve conservativo y está dado por −∇ ϕ , de modo que (D) se reduce a ${\displaystyle \partial \mathbf {A} /\partial t}$

${\displaystyle \mathbf {f} =\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \,}$.

Esta es simplemente la ley de fuerza de Lorentz sobre una base de unidad de carga, aunque la ecuación de Maxwell (D) apareció por primera vez en la ecuación (77) en "On Physical Lines of Force" en 1861, ^[4] 34 años antes de que Lorentz derivara su ley de fuerza, que ahora se presenta generalmente como un suplemento a las cuatro " ecuaciones de Maxwell ". El término de producto vectorial en la ley de fuerza de Lorentz es la fuente de la llamada fem de movimiento en los generadores eléctricos (ver también Problema del imán y el conductor en movimiento ). Donde no hay movimiento a través del campo magnético (por ejemplo, en transformadores ), podemos eliminar el término de producto vectorial y la fuerza por unidad de carga (llamada f ) se reduce al campo eléctrico E , de modo que la ecuación de Maxwell (D) se reduce a

${\displaystyle \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}-\nabla \phi \,}$.

Tomando rizos, notando que el rizo de un gradiente es cero, obtenemos

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} \,=\,-\nabla \times {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,=\,-{\frac {\partial }{\partial t}}{\big (}\nabla \times \mathbf {A} {\big )}\,=\,-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\,,}$

que es la forma diferencial de la ley de Faraday . Por lo tanto, los tres términos del lado derecho de la ecuación (D) pueden describirse, de izquierda a derecha, como el término de movimiento, el término transformador y el término conservativo.

Al derivar la ecuación de onda electromagnética , Maxwell considera la situación sólo desde el marco de reposo del medio y, en consecuencia, omite el término de producto vectorial. Pero sigue trabajando a partir de la ecuación (D), a diferencia de los libros de texto modernos que tienden a trabajar a partir de la ley de Faraday (véase más abajo).

Las ecuaciones constitutivas (E) y (F) ahora suelen escribirse en el marco de reposo del medio como D  = ϵ E  y J  = σ E  .

La ecuación de Maxwell (G), vista de forma aislada tal como aparece impresa en el artículo de 1864, en un principio parece decir que ‍ ρ + ∇⋅  D = 0 . Sin embargo, si rastreamos los signos a través de los dos tripletes de ecuaciones anteriores, vemos que lo que parecen ser los componentes de D son de hecho los componentes de  − D . La notación utilizada en el posterior Tratado sobre electricidad y magnetismo de Maxwell es diferente y evita la primera impresión engañosa. ^[6]

Maxwell – onda de luz electromagnética

Padre de la teoría electromagnética

Una postal de Maxwell a Peter Tait

En la parte VI de "Una teoría dinámica del campo electromagnético", ^[1] subtitulada "Teoría electromagnética de la luz", ^[7] Maxwell utiliza la corrección a la Ley Circuital de Ampère hecha en la parte III de su artículo de 1862, "Sobre las líneas físicas de fuerza", ^[4] que se define como corriente de desplazamiento , para derivar la ecuación de onda electromagnética .

Obtuvo una ecuación de onda con una velocidad que concordaba estrechamente con las determinaciones experimentales de la velocidad de la luz. Comentó:

La concordancia de los resultados parece mostrar que la luz y el magnetismo son afecciones de la misma sustancia y que la luz es una perturbación electromagnética propagada a través del campo de acuerdo con las leyes electromagnéticas.

La derivación de Maxwell de la ecuación de onda electromagnética ha sido reemplazada en la física moderna por un método mucho menos engorroso que combina la versión corregida de la Ley Circuital de Ampère con la ley de inducción electromagnética de Faraday.

Métodos de ecuaciones modernas

Para obtener la ecuación de onda electromagnética en el vacío utilizando el método moderno, comenzamos con la forma moderna "Heaviside" de las ecuaciones de Maxwell. Utilizando (unidades del SI) en el vacío, estas ecuaciones son

Si tomamos el rizo de las ecuaciones del rizo obtenemos

${\displaystyle \nabla \times \nabla \times \mathbf {E} =-\mu _{o}{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times \mathbf {H} =-\mu _{o}\varepsilon _{o}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}}$

${\displaystyle \nabla \times \nabla \times \mathbf {H} =\varepsilon _{o}{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times \mathbf {E} =-\mu _{o}\varepsilon _{o}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {H} }{\partial t^{2}}}}$

Si observamos la identidad vectorial

${\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {V} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {V} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {V} }$

donde es cualquier función vectorial del espacio, recuperamos las ecuaciones de onda ${\displaystyle \mathbf {V} }$

${\displaystyle {\partial ^{2}\mathbf {E} \over \partial t^{2}}\ -\ c^{2}\cdot \nabla ^{2}\mathbf {E} \ \ =\ \ 0}$

${\displaystyle {\partial ^{2}\mathbf {H} \over \partial t^{2}}\ -\ c^{2}\cdot \nabla ^{2}\mathbf {H} \ \ =\ \ 0}$

dónde

${\displaystyle c={1 \over {\sqrt {\mu _{o}\varepsilon _{o}}}}=2.99792458\times 10^{8}}$metros por segundo

es la velocidad de la luz en el espacio libre.

Legado e impacto

Sobre este artículo y los trabajos relacionados de Maxwell, su colega físico Richard Feynman dijo: "Desde una perspectiva amplia de la historia de la humanidad (vista, digamos, dentro de 10.000 años) no puede haber muchas dudas de que el acontecimiento más significativo del siglo XIX será juzgado como el descubrimiento de las leyes del electromagnetismo por parte de Maxwell".

Albert Einstein utilizó las ecuaciones de Maxwell como punto de partida para su teoría especial de la relatividad , presentada en La electrodinámica de los cuerpos en movimiento , uno de los artículos de Einstein del Annus Mirabilis de 1905. En él se afirma:

Las mismas leyes de la electrodinámica y la óptica serán válidas para todos los marcos de referencia para los cuales las ecuaciones de la mecánica sean válidas.

y

Cualquier rayo de luz se mueve en el sistema de coordenadas "estacionario" con la velocidad determinada c, ya sea que el rayo sea emitido por un cuerpo estacionario o en movimiento.

Las ecuaciones de Maxwell también pueden derivarse extendiendo la relatividad general a cinco dimensiones físicas .

Véase también

• Tratado sobre electricidad y magnetismo
• Teoría de calibre

Referencias

1. Maxwell, James Clerk (1865). "Una teoría dinámica del campo electromagnético". Philosophical Transactions of the Royal Society of London . 155 : 459–512. doi :10.1098/rstl.1865.0008. OL  25533062M. S2CID  186207827. (Documento leído en una reunión de la Royal Society el 8 de diciembre de 1864).
2. Archivos de la Royal Society; registro de documentos
3. royalsociety.org
4. Maxwell, James Clerk (1861). "Sobre las líneas físicas de fuerza" (PDF) . Revista filosófica .
5. Cf. Tai, Chen-To (1972), "Sobre la presentación de la teoría de Maxwell" (Artículo invitado), Actas del IEEE   60  (8): 936–45.
6. Maxwell, James Clerk (1873). Tratado sobre electricidad y magnetismo . Oxford: Clarendon Press. Vol. II , pág. 233, eq. ( J ). 
7. Una teoría dinámica del campo electromagnético/Parte VI

Lectura adicional

• Maxwell, James C.; Torrance, Thomas F. (marzo de 1996). Una teoría dinámica del campo electromagnético . Eugene, OR: Wipf and Stock. ISBN 1-57910-015-5.
• Niven, WD (1952). Los artículos científicos de James Clerk Maxwell . Vol. 1. Nueva York: Dover.
• Johnson, Kevin (mayo de 2002). «El campo electromagnético». James Clerk Maxwell – El gran desconocido . Archivado desde el original el 15 de septiembre de 2008. Consultado el 7 de septiembre de 2009 .
• Darrigol, Olivier (2000). Electromagnetismo desde Ampère hasta Einstein. Oxford University Press. ISBN 978-0198505945
• Katz, Randy H. (22 de febrero de 1997). «'Look Ma, No Wires': Marconi and the Invention of Radio». Historia de las infraestructuras de comunicaciones . Consultado el 7 de septiembre de 2009 .