Una teoría dinámica del campo electromagnético

Artículo de física de 1865 de James Maxwell

" Una teoría dinámica del campo electromagnético " es un artículo de James Clerk Maxwell sobre electromagnetismo , publicado en 1865. ^[1] En el artículo, Maxwell deriva una ecuación de onda electromagnética con una velocidad de la luz que coincide estrechamente con las mediciones realizadas mediante experimentos. y deduce que la luz es una onda electromagnética.

Publicación

Siguiendo el procedimiento estándar de la época, el documento se leyó por primera vez en la Royal Society el 8 de diciembre de 1864, y Maxwell lo envió a la sociedad el 27 de octubre. Luego se sometió a revisión por pares y se envió a William Thomson (más tarde Lord Kelvin ) el 24 de diciembre de 1864. ^[2] Luego se envió a George Gabriel Stokes , secretario de ciencias físicas de la Sociedad, el 23 de marzo de 1865. Fue aprobado para su publicación en las Transacciones Filosóficas de la Royal Society el 15 de junio de 1865, por el Comité de Artículos (esencialmente el consejo de gobierno de la sociedad) y enviado a la imprenta al día siguiente (16 de junio). Durante este período, Philosophical Transactions solo se publicó como volumen encuadernado una vez al año, ^[3] y se habría preparado para el día del aniversario de la sociedad, el 30 de noviembre (no se registra la fecha exacta). Sin embargo, el impresor habría preparado y entregado a Maxwell separatas, para que el autor las distribuyera como deseara, poco después del 16 de junio.

Las ecuaciones originales de Maxwell.

En la parte III del artículo, titulada "Ecuaciones generales del campo electromagnético", Maxwell formuló veinte ecuaciones ^[1] que se conocerían como ecuaciones de Maxwell , hasta que este término pasó a aplicarse a un conjunto vectorizado de cuatro ecuaciones seleccionadas en 1884, todos los cuales habían aparecido en su artículo de 1861 " On Physical Lines of Force ". ^[4]

Las versiones de Heaviside de las ecuaciones de Maxwell se distinguen por el hecho de que están escritas en notación vectorial moderna . En realidad, sólo contienen una de las ocho originales: la ecuación "G" ( ley de Gauss ). Otra de las cuatro ecuaciones de Heaviside es una fusión de la ley de corrientes totales de Maxwell (ecuación "A") con la ley de circuitos de Ampère (ecuación "C"). Esta fusión, que el propio Maxwell había hecho originalmente en la ecuación (112) en "Sobre las líneas físicas de fuerza", es la que modifica la Ley Circuital de Ampère para incluir la corriente de desplazamiento de Maxwell . ^[4]

ecuaciones de heaviside

Dieciocho de las veinte ecuaciones originales de Maxwell se pueden vectorizar en seis ecuaciones, etiquetadas (A) a (F) a continuación, cada una de las cuales representa un grupo de tres ecuaciones originales en forma de componentes . Las ecuaciones componentes 19 y 20 de Maxwell aparecen como (G) y (H) a continuación, lo que hace un total de ocho ecuaciones vectoriales. Estos se enumeran a continuación en el orden original de Maxwell, designados por las letras que Maxwell les asignó en su artículo de 1864. ^[5]

(A)La ley de las corrientes totales.

${\displaystyle \mathbf {J} _{\rm {tot}}=}$ ${\displaystyle \,\mathbf {J} }$ ${\displaystyle +\,{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}$

(B)Definición del potencial magnético.

${\displaystyle \mu \mathbf {H} =\nabla \times \mathbf {A} }$

(C) Ley del circuito de Ampère

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{\rm {tot}}}$

(D)La fuerza de Lorentz y la ley de inducción de Faraday

${\displaystyle \mathbf {f} =\mu (\mathbf {v} \times \mathbf {H} )-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}-\nabla \phi }$

(MI)La ecuación de la elasticidad eléctrica.

${\displaystyle \mathbf {f} ={\frac {1}{\varepsilon }}\mathbf {D} }$

(F) Ley de Ohm

${\displaystyle \mathbf {f} ={\frac {1}{\sigma }}\mathbf {J} }$

(GRAMO) ley de gauss

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho }$

(H)Ecuación de continuidad de carga.

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {J} =-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,}$.

Notación

${\displaystyle \mathbf {H} }$Es el campo magnético , al que Maxwell llamó " intensidad magnética ".

${\displaystyle \mathbf {J} }$es la densidad de corriente eléctrica ( siendo la densidad de corriente total incluida la corriente de desplazamiento ). ${\displaystyle \mathbf {J} _{\rm {tot}}}$

${\displaystyle \mathbf {D} }$es el campo de desplazamiento (llamado " desplazamiento eléctrico " por Maxwell).

${\displaystyle \rho }$es la densidad de carga libre (llamada " cantidad de electricidad libre " por Maxwell).

${\displaystyle \mathbf {A} }$es el potencial magnético (llamado " impulso angular " por Maxwell).

${\displaystyle \mathbf {f} }$es la fuerza por unidad de carga (llamada " fuerza electromotriz " por Maxwell, que no debe confundirse con la cantidad escalar que ahora se llama fuerza electromotriz ; ver más abajo).

${\displaystyle \phi }$es el potencial eléctrico (que Maxwell también llamó " potencial eléctrico ").

${\displaystyle \sigma }$es la conductividad eléctrica (Maxwell llamó a la inversa de la conductividad la " resistencia específica ", lo que ahora se llama resistividad ).

${\displaystyle \nabla }$es el operador vectorial del .

Aclaraciones

Maxwell no consideró materiales completamente generales; su formulación inicial utilizó medios lineales , isotrópicos y no dispersivos con permitividad ϵ y permeabilidad μ , aunque también discutió la posibilidad de materiales anisotrópicos .

La ley de Gauss para el magnetismo ( ∇⋅  B = 0 ) no está incluida en la lista anterior, pero se deriva directamente de la ecuación (B) al tomar divergencias (porque la divergencia del rizo es cero).

Sustituyendo (A) en (C) se obtiene la forma diferencial familiar de la ley de Maxwell-Ampère .

La ecuación (D) contiene implícitamente la ley de fuerza de Lorentz y la forma diferencial de la ley de inducción de Faraday . Para un campo magnético estático , desaparece y el campo eléctrico E se vuelve conservador y viene dado por −∇ ϕ , de modo que (D) se reduce a ${\displaystyle \partial \mathbf {A} /\partial t}$

${\displaystyle \mathbf {f} =\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \,}$.

Esta es simplemente la ley de fuerza de Lorentz por unidad de carga, aunque la ecuación de Maxwell (D) apareció por primera vez en la ecuación (77) en "Sobre las líneas físicas de fuerza" en 1861, ^[4] 34 años antes de que Lorentz derivara su fuerza. ley, que ahora se suele presentar como complemento de las cuatro " ecuaciones de Maxwell ". El término de producto cruzado en la ley de fuerza de Lorentz es la fuente de la llamada fem de movimiento en los generadores eléctricos (ver también Problema del conductor y el imán en movimiento ). Cuando no hay movimiento a través del campo magnético (por ejemplo, en los transformadores ), podemos eliminar el término del producto cruzado y la fuerza por unidad de carga (llamada f ) se reduce al campo eléctrico E , de modo que la ecuación de Maxwell (D) se reduce a

${\displaystyle \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}-\nabla \phi \,}$.

Tomando rizos y observando que el rizo de un gradiente es cero, obtenemos

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} \,=\,-\nabla \times {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,=\,-{\frac {\partial }{\partial t}}{\big (}\nabla \times \mathbf {A} {\big )}\,=\,-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\,,}$

que es la forma diferencial de la ley de Faraday . Así, los tres términos del lado derecho de la ecuación (D) pueden describirse, de izquierda a derecha, como término mocional, término transformador y término conservador.

Al derivar la ecuación de la onda electromagnética , Maxwell considera la situación sólo desde el sistema de reposo del medio y, en consecuencia, elimina el término del producto cruzado. Pero todavía trabaja a partir de la ecuación (D), a diferencia de los libros de texto modernos que tienden a trabajar a partir de la ley de Faraday (ver más abajo).

Las ecuaciones constitutivas (E) y (F) ahora generalmente se escriben en el sistema de reposo del medio como D  = ϵ E  y J  = σ E. 

La ecuación de Maxwell (G), vista de forma aislada tal como se imprimió en el artículo de 1864, al principio parece decir que ‍ ρ + ∇⋅  D = 0 . Sin embargo, si rastreamos los signos a través de los dos tripletes de ecuaciones anteriores, vemos que lo que parecen ser los componentes de D son en realidad los componentes de  − D. La notación utilizada en el posterior Tratado sobre electricidad y magnetismo de Maxwell es diferente y evita la primera impresión engañosa. ^[6]

Maxwell – onda de luz electromagnética

Padre de la teoría electromagnética

Una postal de Maxwell a Peter Tait

En la parte VI de "Una teoría dinámica del campo electromagnético", ^[1] subtitulada "Teoría electromagnética de la luz", ^[7] Maxwell utiliza la corrección a la Ley Circuital de Ampère realizada en la parte III de su artículo de 1862, "Sobre las líneas físicas de Fuerza", ^[4] que se define como corriente de desplazamiento , para derivar la ecuación de la onda electromagnética .

Obtuvo una ecuación de onda con una velocidad que concordaba estrechamente con las determinaciones experimentales de la velocidad de la luz. Él comentó,

La concordancia de los resultados parece mostrar que la luz y el magnetismo son afecciones de la misma sustancia, y que la luz es una perturbación electromagnética que se propaga a través del campo según leyes electromagnéticas.

La derivación de Maxwell de la ecuación de ondas electromagnéticas ha sido reemplazada en la física moderna por un método mucho menos engorroso que combina la versión corregida de la Ley Circuital de Ampère con la ley de inducción electromagnética de Faraday.

Métodos de ecuaciones modernos

Para obtener la ecuación de la onda electromagnética en el vacío utilizando el método moderno, comenzamos con la forma moderna 'Heaviside' de las ecuaciones de Maxwell. Usando (unidades SI) en el vacío, estas ecuaciones son

Si tomamos la curvatura de las ecuaciones de curvatura obtenemos

${\displaystyle \nabla \times \nabla \times \mathbf {E} =-\mu _{o}{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times \mathbf {H} =-\mu _{o}\varepsilon _{o}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}}$

${\displaystyle \nabla \times \nabla \times \mathbf {H} =\varepsilon _{o}{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times \mathbf {E} =-\mu _{o}\varepsilon _{o}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {H} }{\partial t^{2}}}}$

Si observamos la identidad del vector

${\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {V} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {V} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {V} }$

donde está cualquier función vectorial del espacio, recuperamos las ecuaciones de onda ${\displaystyle \mathbf {V} }$

${\displaystyle {\partial ^{2}\mathbf {E} \over \partial t^{2}}\ -\ c^{2}\cdot \nabla ^{2}\mathbf {E} \ \ =\ \ 0}$

${\displaystyle {\partial ^{2}\mathbf {H} \over \partial t^{2}}\ -\ c^{2}\cdot \nabla ^{2}\mathbf {H} \ \ =\ \ 0}$

dónde

${\displaystyle c={1 \over {\sqrt {\mu _{o}\varepsilon _{o}}}}=2.99792458\times 10^{8}}$metros por segundo

es la velocidad de la luz en el espacio libre.

Legado e impacto

De este artículo y de los trabajos relacionados de Maxwell, su colega físico Richard Feynman dijo: "Desde una visión a largo plazo de esta historia de la humanidad (vista, digamos, dentro de 10.000 años) no cabe duda de que el acontecimiento más significativo del siglo XIX ser juzgado como el descubrimiento de Maxwell de las leyes del electromagnetismo."

Albert Einstein utilizó las ecuaciones de Maxwell como punto de partida para su teoría especial de la relatividad , presentada en La electrodinámica de los cuerpos en movimiento , uno de los artículos de Einstein en Annus Mirabilis de 1905 . En él se afirma:

Las mismas leyes de la electrodinámica y la óptica serán válidas para todos los marcos de referencia para los cuales las ecuaciones de la mecánica son válidas.

y

Cualquier rayo de luz se mueve en el sistema de coordenadas "estacionario" con la velocidad determinada c, ya sea que el rayo sea emitido por un cuerpo estacionario o en movimiento.

Las ecuaciones de Maxwell también se pueden derivar extendiendo la relatividad general a cinco dimensiones físicas .

Ver también

• Tratado sobre electricidad y magnetismo
• Teoría del calibre

Referencias

1. Maxwell, James Clerk (1865). "Una teoría dinámica del campo electromagnético". Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres . 155 : 459–512. doi :10.1098/rstl.1865.0008. OL  25533062M. S2CID  186207827. (Documento leído en una reunión de la Royal Society el 8 de diciembre de 1864).
2. Archivos de la Royal Society; registro de papeles
3. royalsociety.org
4. Maxwell, James Clerk (1861). «Sobre líneas de fuerza físicas» (PDF) . Revista Filosófica .
5. Cfr. Tai, Chen-To (1972), "Sobre la presentación de la teoría de Maxwell" (artículo invitado), Actas del IEEE   60  (8): 936–45.
6. Maxwell, James Secretario (1873). Tratado sobre electricidad y magnetismo . Oxford: Prensa de Clarendon. vol. II , pág.‍233, ec. ‍ ( J ). 
7. Una teoría dinámica del campo electromagnético/Parte VI

Otras lecturas

• Maxwell, James C.; Torrance, Thomas F. (marzo de 1996). Una teoría dinámica del campo electromagnético . Eugene, Oregón: Wipf y Stock. ISBN 1-57910-015-5.
• Niven, WD (1952). Los artículos científicos de James Clerk Maxwell . vol. 1. Nueva York: Dover.
• Johnson, Kevin (mayo de 2002). "El campo electromagnético". James Clerk Maxwell - El gran desconocido . Archivado desde el original el 15 de septiembre de 2008 . Consultado el 7 de septiembre de 2009 .
• Darrigol, Olivier (2000). Electromagnetismo de Ampère a Einstein. Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0198505945
• Katz, Randy H. (22 de febrero de 1997). "'Mira mamá, sin cables: Marconi y la invención de la radio ". Historia de las Infraestructuras de Comunicaciones . Consultado el 7 de septiembre de 2009 .