La conjetura de Vojta

Sobre alturas de puntos sobre variedades algebraicas sobre campos numéricos

En matemáticas , la conjetura de Vojta es una conjetura introducida por Paul Vojta  (1987) sobre alturas de puntos en variedades algebraicas sobre cuerpos numéricos . La conjetura fue motivada por una analogía entre la aproximación diofántica y la teoría de Nevanlinna (teoría de la distribución de valores) en el análisis complejo . Implica muchas otras conjeturas en aproximación diofántica , ecuaciones diofánticas , geometría aritmética y lógica matemática .

Declaración de la conjetura

Sea un campo numérico, sea una variedad algebraica no singular, sea un divisor efectivo en con, en el peor de los casos, cruces normales, sea un divisor amplio en y sea un divisor canónico en . Elija funciones de altura de Weil y , para cada valor absoluto en , una función de altura local . Fije un conjunto finito de valores absolutos de y deje . Luego hay un conjunto abierto de Zariski constante y no vacío , dependiendo de todas las opciones anteriores, tal que ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X/F}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle h_{H}}$ ${\displaystyle h_{K_{X}}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \lambda _{D,v}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$

${\displaystyle \sum _{v\in S}\lambda _{D,v}(P)+h_{K_{X}}(P)\leq \epsilon h_{H}(P)+C\quad {\hbox{for all }}P\in U(F).}$

Ejemplos :

1. Dejar . Entonces , la conjetura de Vojta es válida para todos . ${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{N}}$ ${\displaystyle K_{X}\sim -(N+1)H}$ ${\displaystyle \sum _{v\in S}\lambda _{D,v}(P)\leq (N+1+\epsilon )h_{H}(P)+C}$ ${\displaystyle P\in U(F)}$
2. Sea una variedad con paquete canónico trivial, por ejemplo, una variedad abeliana , una superficie K3 o una variedad Calabi-Yau . La conjetura de Vojta predice que si es un divisor de cruces normales amplio efectivo, entonces los puntos integrales en la variedad afín no son densos de Zariski. Para las variedades abelianas, esto fue conjeturado por Lang y demostrado por Faltings (1991). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X\setminus D}$
3. Sea una variedad de tipo general , es decir, es amplia en algún subconjunto abierto de Zariski no vacío . Entonces tomando , la conjetura de Vojta predice que Zariski no está denso en . Esta última afirmación para variedades de tipo general es la conjetura de Bombieri-Lang . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S=\emptyset }$ ${\displaystyle X(F)}$ ${\displaystyle X}$

Generalizaciones

Hay generalizaciones en las que se permite variar y hay un término adicional en el límite superior que depende del discriminante de la extensión del campo . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X({\overline {F}})}$ ${\displaystyle F(P)/F}$

Hay generalizaciones en las que las alturas locales no arquimedianas se reemplazan por alturas locales truncadas, que son alturas locales en las que se ignoran las multiplicidades. Estas versiones de la conjetura de Vojta proporcionan análogos naturales de dimensiones superiores de la conjetura ABC . ${\displaystyle \lambda _{D,v}}$

Referencias

• Vojta, Paul (1987). Aproximaciones diofánticas y teoría de la distribución de valores . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 1239. Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . doi :10.1007/BFb0072989. ISBN 978-3-540-17551-3. SEÑOR  0883451. Zbl  0609.14011.
• Faltings, Gerd (1991). "Aproximación diofántica sobre variedades abelianas". Anales de Matemáticas . 123 (3): 549–576. doi :10.2307/2944319. SEÑOR  1109353.